Sistemas de Numeração. Professor Msc. Rodolfo Lauro Weinert Joinville, 26 de fevereiro de 2018

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1 Sistemas de Numeração Professor Msc. Rodolfo Lauro Weinert Joinville, 26 de fevereiro de 2018

2 Introdução Resumo para próxima aula : Algarismos indo-arábicos O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado no dia a dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Ele possui dez algarismos com os quais podemos formar qualquer número através da lei de formação. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta.

3 Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração e chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: = = Notar que em uma dada base r, um número N pode ser representado na forma N r. Desse modo, o número subscrito indica a base em que o número se encontra. Alternativamente, o número da base pode ser substituído por uma letra, para alguns casos específicos.

4 Principais Bases numéricas Decimal , 297 d Binário ,10011 b Octal , 712 o Hexadecimal , 2FA1 h

5 Relação de algarismos em algumas bases numéricas

6 Sistema Binário de Numeração No sistema binário de numeração existem apenas dois algarismos: o algarismo 0 (zero) e o algarismo 1 (um). Como podemos representar o algarismo 2?

7 Sistema Binário de Numeração DECIMAL BINÁRIO

8 Conversão do Sistema Binário no Sistema Decimal Para explicar a conversão vamos utilizar um número decimal qualquer, por exemplo, x x10+ 4x1 =594; 5x x x10 0 =594; Nesse exemplo podemos notar que o algarismo menos significativo (4) multiplica a unidade ( 1 ou 10 0 ), o segundo algarismo (9) multiplica a dezena (10 ou 10 1 ) e o mais significativo (5) multiplica a centena (100 ou 10 2 ). A soma desses resultados vai representar o número.

9 Conversão do Sistema Binário no Sistema Decimal Utilizando a mesma ideia do sistema decimal vamos converter o número binário x2 2 +0x2 1 +1x2 0 =5; O número é igual ao número Converta os seguintes números para a base decimal; ; ;

10 Conversão do sistema decimal no sistema Binário Converta o número para a base binária. Exemplo: para a base binária; ; Converta o número para a base binária;

11 Conversão de números binários fracionais em decimais Até o momento tratamos de números inteiros. E se aparecesse um número binário fracionário? Como procederíamos para saber a quantidade que ele representa? Vamos utilizar um exemplo do sistema decimal. O número 10,5 é obtido a partir da seguinte regra de formação: 1x x x10-1 Para números binários agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o número 101,101 2.

12 Conversão de números binários fracionais em decimais 1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 +1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 =1x4+0x2+1x1+1x1/2+0x1/4+1x1/8; =4+1+0,5+0,125=5, Converta agora o seguinte número binário para a base decimal. 1010,

13 Conversão de números decimais fracionários em binários Vamos transformar o número 8, para a base 2. Primeiro transformamos a parte inteira O próximo passo é transformar a parte fracionária. Para tal, utilizaremos a regra que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero.

14 Conversão de números decimais fracionários em binários 0,375*2=0,750; 0,750*2=1,500; 0,500*2=1,000; Assim obtemos que 0,011 2 = 0,375 10; Para completar a conversão juntamos a parte inteira e fracionária. 1000,011 2 = 8,375 10; Converta 10, para a base binária.

15 O sistema Octal de Numeração O sistema octal de numeração é de base 8 no qual há oito algarismos assim enumerados: 0,1,2,3,4,5,6,7; DECIMAL OCTAL

16 Conversão do sistema Octal no sistema decimal Vamos utilizar o mesmo conceito de formação de um número em decimal.

17 Conversão do sistema Octal no sistema decimal Vamos utilizar o mesmo conceito de formação de um número em decimal. 1x8 2 +4x8 1 +4x8 0 =1x64+4x8+4= Exercício: Converta 77 8 em decimal.

18 Conversão do Sistema Decimal no Sistema Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal no binário, neste caso utilizamos a divisão por em sistema Octal;

19 Conversão do Sistema Decimal no Sistema Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal no binário, neste caso utilizamos a divisão por em sistema Octal; ; Converta o número em octal.

20 Conversão do Sistema Octal no Sistema Binário Trata-se de uma conversão extremamente simples. Vamos utilizar como exemplo o número octal A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (2 3 =8).

21 Conversão do Sistema Octal no Sistema Binário Trata-se de uma conversão extremamente simples. Vamos utilizar como exemplo o número octal A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (2 3 =8) ; Observe que a regra só é valida entre sistemas numéricos de base múltipla de 2 N, sendo N um número inteiro. Converta para a base 2.

22 Conversão do Sistema Binário no Sistema Octal Para efetuar esta conversão, vamos aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Vamos utilizar o número Vamos separar esse número binário em grupo de 3 bits a partir da direita

23 Conversão do Sistema Binário no Sistema Octal Para efetuar esta conversão, vamos aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Vamos utilizar o número Vamos separar esse número binário em grupo de 3 bits a partir da direita Exercício, para a base 8;

24 O sistema Hexadecimal de Numeração O Sistema Hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F. DECIMAL HEXADECIMAL DECIMAL HEXADECIMAL A B C D E F

25 O sistema Hexadecimal de Numeração Este sistema é muito utilizados na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais, tratando-se de um sistema numérico muito importante, sendo aplicado em projetos de software e hardware. Resumo para a próxima aula: Microprocessadores, microcontroladores

26 Conversão do Sistema Hexadecimal no Sistema decimal 3F 16 para base 10;

27 Conversão do Sistema Hexadecimal no Sistema decimal 3F 16 para base 10; 3x16 1 +Fx16 0 =sendo F 16 = x x16 0 = Converta o número 1C3 16 para a base 10;

28 Conversão do Sistema Decimal no Sistema Hexadecimal Vamos transformar em hexadecimal; Aplicamos a regra da divisão; E8 16 ; Converta o número em hexadecimal;

29 Conversão do sistema Hexadecimal no Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal no sistema binário, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. C13 16 para a base 2;

30 Conversão do sistema Hexadecimal no Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal no sistema binário, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. C13 16 para a base 2; C C13 16 = Converta 1ED 16 para a base 2.

31 Conversão do Sistema Binário no Sistema Hexadecimal É análoga à conversão do sistema binário no sistema octal, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits para a base 16; =98 16 Converta para a base 16.