Sistemas de Numeração. 1 Introdução aos sistemas numeração

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1 Sistemas de Numeração 1 Introdução aos sistemas numeração

2 Sistemas de Numeração Base Decimal Base Binária Base Octal Base Hexadecimal

3 Sistemas de numeração ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Base Decimal Os números podem ter uma representação simbólica, como no sistema romano, ou terem um peso de acordo com a posição que ocupam, como no sistema árabe, que usamos normalmente. Porque anatomicamente os seres humanos dispõem de 5 dedos, em cada mão, torna-se natural que a contagem envolva 10 símbolos ou dígitos, ou seja, um sistema de numeração com uma base dez

4 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Base Decimal Cada um dos símbolos de 0 a 9 representa uma certa quantidade. Com este dez dígitos, podemos representar, utilizando dois ou mais dígitos, qualquer grandeza superior a nove. Aposiçãode cada dígito no número diz-nos que grandeza representa. Se, por exemplo, pretendemos representar a grandeza 53, usamos o dígito 5 para representar a quantidade cinquenta e o dígito 3 para representar a quantidade três.

5 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D A posição de cada dígito num número decimal indica a amplitude da quantidade representada e pode ser designada por PESO. Os pesos são potências de 10 e aumentam da direita para a esquerda, iniciando-se em 10 0 = 1.

6 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D O número decimal 286 pode representar-se numa expressão polinomial, como se indica: 200 = 2 * = 8 * = 6 * = 2* * *10 0 = N (10)

7 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D No caso do número (10) é constituído pela combinação de 5 algarismos. O primeiro seis (mais à direita) não tem o mesmo valor do segundo seis, o que nos demonstra que o valor do algarismo está relacionado directamente com a posição que ocupa Demonstre como é obtido o número (10)

8 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Base Decimal Resolução: (Alternativa 1) * = 6 * * = 9 * * = 6 * * = 2 * * = 1 * (10)

9 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D Resolução: (Alternativa 2) Peso:(5) (4) (3) (2) (1) Número: (10) = 1* * * * * = = 1* * * * *10 0 = = 1* * *100 +9*10+6*1= + = (10)

10 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Base Decimal O valor mais à direita e o menos significativo ( LSD Least Significant Digit) e tem peso 1. O valor mais à esquerda é o mais significativo ( MSD Most Significant Digit) it) e tem peso do número de dígitos que constitui o algarismo.

11 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Base Decimal Exemplo: Para um número inteiro = 1* * * *10 0 Em relação ao seu peso: MSD 1987 LSD

12 Exemplo: ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D Para um número fraccionário 1987,65 10 = 1* * * * * *10-2 Em relação ao seu peso: 1987, ,01 0,1

13 ria\base Oct tal\ Base He exadecimal l\base Biná Decimal Base D 1987,65 MSD LSD O dígito mais à direita na parte fraccionária de número é o LSD Menos significante dígito O dígito mais à esquerda na parte fraccionária de númeroéomsd Maissignificantedígito

14 Sistema Binário al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári al\base Base Decim Tal como o sistema decimal, trata-se de um sistema pesado, isto é, onde cada dígito comparticipa p na formação do número com um peso, determinado pela posição que ocupa no número. A diferença é que agora apenas existem dois dígitos: o 0 e o 1. Os dígitos nos números binários são vulgarmente chamados de bits (Binary Digits). Ao agrupamento de oito bits chama-se Byte

15 al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári al\base Base Decim Para melhor percebemos a formação dos números neste sistema vejamos previamente como se efectua a contagem em decimal: Começamos em 0 e contamos de forma crescente até 9; então recomeçamos, agora com um 1 à esquerda, e obtemos o 10, 11 até 99. Esgotadas que estão todas as combinações com dois dígitos, torna-se necessário um terceiro, para se efectuar a contagem de 100 a 999 e assim por diante

16 al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári Base Decimal\Base Uma situação análoga acontece neste sistema binário. Iniciamos i a contagem 0,1. Como se esgotaram os dígitos únicos, inclui-se um segundo dígito (à esquerda) e continua-se a contar 10, 11. Como se esgotaram as combinações possíveis com dois dígitos necessitamos de um terceiro. A contagem continua, 100, 101, 110 e 111. Necessitaríamos agora de um quarto dígito para continuar a contagem e assim sucessivamente

17 al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári al\base Base Decim Uma maneira fácil de recordarmos o modo de escrever uma sequencia de números em binário, por exemplo, para cinco dígitos, é a seguinte: 1 A posição mais à direita do número começa com um zero e muda por cada número 2 A posição seguinte começa com dois zeros e muda por cada dois números. 3 A posição seguinte começa com quatro zeros e muda por cada quatro números. 4 A posição seguinte começa com oito zeros e muda por cada oito números. 5 A posição seguinte começa com dezasseis zeros e muda por cada dezasseis números.

18 Exercícios Construa a tabela binária até 50 Base Decimal\Base Binária\Base Octal\ Base Hexadecimal

19 Conversão binário decimal ia\base Octal\ Base Hex xadecimal Binári Base Decimal\Base Para exprimirmos no seu equivalente decimal uma determinada grandeza binária, basta multiplicar cada bit pelo seu peso e adicionar os respectivos produtos. O bit da direita é o menos significativo (LSD) e tem um peso de 2 0 = 1 para os números inteiros, aumentando o peso da direita para a esquerda, em potências de dois por cada bit.

20 al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári al\base Base Decim Converter o número binário em decimal. Peso Binário Valor do Peso Número Binário =1 *32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = = = =53 10

21 Converter o número binário ,11 em decimal. al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári Base Decimal\Base ,11 2 = 1* * * * * * * *2-2 Em relação ao seu peso: , = 0,25, 2-1 = 0,5 2 1 = = = = = = 16

22 Um valor frequentemente utilizado em binário é o Trata-se al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Base Decimal\Base Binári de 2 10, que, por ser o valor mais próximo de 1000, foi designado por K (Kilo). Assim 1 Kbit = 1024 bits.

23 Sistema Octal Na base octal, cada dígito equivale a um número al\ Base Hex xadecimal ia\base Oct Binári Base Decimal\Base com 3 dígitos. A base octal utiliza oito algarismos ou dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7 10,11,12,13,14,15,16, Neste sistema também se diz que cada dígito tem um valor posicional

24 Para obtermos o equivalente decimal do número 1234 na base octal temos que executar as seguintes operações: = 1* * * *8 0 Em relação ao seu peso:

25 Para um número fraccionário i 1234,56 =1*8 3 +2*8 2 +3*8 1 +4*8 0 +5*8-1 +6*8-2 8 Em relação ao seu peso: 1234, , ,125

26 Exemplo: Converter o número (8) em decimal. Peso:(5) (4) (3) (2) (1) Número: (8) = 4* * * * *8 1-1 = = 4* * * * *8 0 = = = + = (10)

27 Sistema Hexadecimal A base hexadecimal tem mais vantagens que a octal, pois representa um número com grande quantidade d de bits, numa forma simples e reduzida, por exemplo: O número binário (2) = 9D36 (16) A letra D não é engano do Professor

28 Como a base hexadecimal é formada por 16 elementos e como a base decimal só possui até 10 elementos, os restantes 6 elementos são representados pelas 6 primeiras letras do nosso alfabeto (A, B, C, D, E, F). E como se conta em Hexadecimal depois de se alcançar o F?

29 Do mesmo modo que nos outros sistemas estudados, iniciamos a nova coluna em: 10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A,2B,2C,2D,2E,2F

30 Exemplo: Converter o número 9D36 (16) em decimal Peso:(4) (3) (2) (1) Número: 9 D 3 6 (16) = 9* * * * = = 9* * * *16 0 = = = = (10)

31 Para obtermos o equivalente decimal do número 1234 na base hexadecimal temos que executar as seguintes operações: = 1* * * *

32 Para um número fraccionário i 1234,56 =1* * * * * * Em relação ao seu peso: 1234, , ,0625

33 Após termos feito uma apresentação destas quatro bases de numeração e a respectiva conversão de cada base para decimal, apresentamos uma tabela com a equivalência entre as quatro bases de numeração

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35 Até este ponto, estivemos a analisar a conversão das quatro bases para a base decimal, mas é possível fazer a conversão inversa, da base decimal para cada uma das outras três bases, e directa entre as restantes bases. Binária Decimal Octal Hexadecimal

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37 Conversão binária hexadecimal e vice-versaversa O método utilizado aproveita o princípio de que para escrever um dígito em hexadecimal chegam 4 dígitos em binário (4 bit), dada a relação entre as bases respectivas ser a potência de 4, isto é, 16 =2 4. Por exemplo, dado o número (2), podemos efectuar a seguinte conversão:

38 *2 (4-1) +1*2 (3-1) +1*2 (2-1) +0*2 (1-1) = 0* * * *2 0 = 6 1*2 (4-1) + 1*2 (3-1) + 0*2 (2-1) + 1*2 (1-1) = 1* * * *2 0 = 13 (D) =6D

39 Fazendo a operação inversa, partindo do número, na base hexadecimal, 24A8 (16) 2 4 A 8 Hexadecimal Binário 24A8 (16) = (2)

40 Conversão octal hexadecimal e vice- versa O método quevamosutilizar é aconversão da base octal para binário e de seguida da base binária para a hexadecimal No caso do número 1726(8), vamos separar cada dígito

41 Octal Binário 1726 (8) = (2)

42 O segundo passo é realizar a conversão de binário para hexadecimal. O processo utilizado é o agrupamento de 4 dígitos e fazer a correspondência a cada conjunto de 4 bit o valor em hexadecimal binário 3 D 6 hexadecimal