Aula 5. Simplificação de funções lógicas (cont.) Sistemas de numeração

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1 Aula 5 Simplificação de funções lógicas (cont.) Sistemas de numeração

2 Mapa de Karnaugh Exemplo: N=4 variáveis, M=2 4 =16 combinações Extracção da expressão do circuito, pelos maxtermos: extracção pelos 0 s da função (combinações aonde a função vale 0 ) obtém-se uma expressão canónica do tipo OR-AND [produto de somas: (A+B). (C+D)...] marcar no mapa as células em que a função vale 0 agrupar segundo as regras Tabela de Verdade Mapa de Karnaugh B A D C

3 Mapa de Karnaugh Em cada célula do grupo: se uma variável muda de valor é eliminada se uma variável tem o valor 1 (a célula está abrangida pelo traço dessa variável) então entra negada se toma o valor 0 (está fora do traço) então entra directamente grupo mais favorável, elimina 2 variáveis Y = A + B 0 B 0 0 elimina 1 variável Z = A + C + D elimina 1 variável X = B + C + D A C elimina 1 variável D U = A + B + D grupo redundante: os 0 s já estão todos agrupados F = X. Y. Z. U = (B + C + D). (A + B). (A + C + D). (A + B + D) (simplificar)

4 Mapa de Karnaugh Exemplos de funções XOR / NXOR XOR S(A, B)= A + B = A. B + A. B NXOR S(A, B)= A + B = A. B + A. B B B A S = A. B + A. B = A + B S = A. B + A. B = A + B A B B A C A C S = B. C + B. C = B + C S = B. C + B. C = B + C D

5 comporta Funções incompletamente especificadas Mapa de Karnaugh 1) não é fornecida informação sobre todos os casos possíveis de acontecer; 2) determinadas combinações das entradas não estão previstas ou são impossíveis; 3) nestas situações o resultado da função considera-se como indiferente (don t care), sendo representado por X na tabela ou mapa de Karnaugh; 4) o valor X não é um valor lógico válido (apenas o são 0 e 1 ), significa apenas que de momento é indiferente e que mais tarde terá de assumir um valor válido; no mapa de Karnaugh o valor X será substituído por 0 ou por 1 conforme levar a maior simplificação; C Ex: uma barragem tem uma comporta que permite despejar a água quando em demasia. Para tal dispõe de dois sensores, C(detecta barragem cheia) e V(barragem vazia). Pretende-se projectar um circuito para controlar o estado da comporta. C, V 0=sem água 1=com água Comporta 0=fechada 1=aberta V Tabela de Verdade Mapa de Karnaugh V 0 0 Opção1 : X=0 Comporta = C. V C X 1 Opção 2: X=1 Comporta = C

6 Codificação Descodificação Interpretação codificação??? Codificação descodificação??? Sistema Digital fazer corresponder a informação a tratar a um conjunto de sinais digitais ( 0 e 1 ) representação de dados em formato binário ex: valores numéricos, caracteres alfanuméricos valores binários Processamento Descodificação traduzir valores binários para outras representações ex: valores binários valores numéricos, caracteres alfanuméricos

7 Sistemas de Numeração Um valor N pode ser representado em decimal pela expressão: N = A i B i = A n B n + A n-1 B n A 1 B 1 + A 0 B 0 + A -1 B -1 + A -2 B B base do sistema de numeração (ou radix = nº de algarismos da base, incuindo o zero) A i algarismos da base i índice posicional do algarismo B i peso ou significância do algarismo A i Notas 1) Numa base B o algarismo de maior valor é B-1 2) Se B > 10, usam-se letras para representar os algarismos de valor maior que 9

8 Exemplos de Sistemas de Numeração (valores inteiros) Decimal: B=10, A i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, = 1 x x x 10 0 = = 128 Binário: B=2, A i =0, = 1 x x X 2 0 = = 5 Octal: B=8, A i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = 2 x x 8 0 = = 20 Hexadecimal(hexa): B=16, A i =0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F 7CD 16 = 7 x x x 16 0 = = 1997

9 Números em diversas bases TABELA correspondência de números Note-se que para um certo número n de bits o maior valor decimal representado é 2 n -1 Ex: n = 3, maior valor = =7 n = 4, maior valor = =15

10 Conversão de Bases Decimal(10) Binário(2) N = I.F I : parte inteira divisões inteiras sucessivas por 2 parar quando o quociente for zero tomar restos por ordem inversa da sua obtenção F: parte fraccionária multiplicações sucessivas por 2 parar quando se atingir nº casas decimais pretendido tomar parte inteira dos resultados por ordem da obtenção Exemplo: N = (I = 13, F = 0.754) Parte inteira 13 : 2 = 6 : 2 = 3 : 2 = 1 : 2 = 0 restos (LSB) (MSB) = MSB 13 = LSB 1 x x x x = 13 Parte fraccionária x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = (MSB) (LSB) MSB LSB = x x = 0.75 MSB Most Significant Bit (bit mais significativo) LSB Least Significant Bit (bit menos significativo)

11 Conversão de Bases Outro exemplo Parte inteira = 37 converter por divisões sucessivas por 2 Converter para binário N = Parte decimal = 0.41 converter por multiplicações sucessivas por 2 Parte inteira (LSB) (MSB) (LSB) 37 = (MSB) N = = em cada divisão tomar nota do resto parar de dividir quando quociente for zero Parte decimal 0.41 * * * * * (MSB) tomar desde MSB até LSB (LSB) (MSB) (LSB) 0.41 = em cada multiplicação a parte inteira é retirada parar de multiplicar quando der zero, ou atingir a precisão pretendida Verificação = 1x x x x x x x x x x x2-5 = = =

12 Conversão de Bases Binário(2) Decimal(10) : aplicar a expressão dos sistemas de numeração Exemplo: = 1 x x x x x x = = Decimal(10) Hexadecimal(16) : divisões sucessivas por 16 Exemplo: 1997 = B 16? D C 7 (LSB) (MSB) parar quando o quociente for zero tomar restos por ordem inversa da sua obtenção (converter cada resto para hexa) MSB 1997 = 7CD 16 LSB Hexadecimal(16) Decimal(10) : aplicar a expressão dos sistemas de numeração Exemplo: 7CD 16 = 7 x C x D x 16 0 = 7 x x x = 1997

13 Conversão de Bases NOTA: ver TABELA correspondência de números Octal(8) Binário(2) como cada algarismo octal (0,1,...,7) é constituído por 3 bits (000, 001,..., 111) basta converter em grupos de 3 bit Ex: octal binário = = binário octal = = Hexadecimal(16) Binário(2) como cada algarismo hexa (0,1,...,F) é constituído por 4 bits (0000, 0001,..., 1111) basta converter em grupos de 4 bit Ex: hexadecimal binário 2D5 16 = = binário hexadecimal = =

14 Conversão de Bases Decimal(10) Binário(2) : conversão por base intermédia a conversão por divisões sucessivas por 2 pode originar muitas iterações converter primeiro para uma base intermédia (octal ou hexa) e depois para binário Ex: 725 = B 2?? 725 : 2 = 362 : 2 = 181 : 2 = 90 : 2 =... usando 1º) decimal hexa 725 : 16 = 45 : 16 = 2 : 16 = 0 2D5 16 hexadecimal 5 13(D) 2 como base intermédia 2º) hexa binário 2D516 = Binário(2) Decimal(10) : conversão por base intermédia a aplicação da expressão dos sistemas de numeração pode originar muitas iterações Ex: = 1 x x x Base intermédia hexadecimal(16) começando da direita para a esquerda, separar em grupos de 4 bits, convertendo cada grupo para o algarismo hexadecimal correspondente e depois mutiplicar pela potência de 16 de modo a obter o valor decimal Ex: = = 2D5 16 = 2x x x16 0 = =725 2 D 5

15 Outros exemplos Conversão de Bases P1) 317 = binário? R1) usando a base hexadecimal como intermédia: 1º) converter o valor decimal para hexadecimal = 13D D 3 1 (LSB) (MSB) 2º) converter o valor hexadecimal para binário, convertendo cada algarismo hexadecimal em grupos de 4 digitos binários 317 = 13D 16 = P2) = decimal? R2) usando a base hexadecimal como intermédia: 1º) separar em grupos de 4 digitos binários convertendo cada grupo para hexadecimal = = 10E 16 2º) converter o valor hexadecimal para decimal 10E 16 = 1x x Ex16 0 = 1x x x16 0 = = 270

16 Métrica Binária Agrupamentos de n bits Decimal (base 10) prefixo K significa 1000 = 10 3 (potência inteira de 10) Binário (base 2) prefixo K significa 1024 = 2 10 (potência inteira de 2)

17 Agrupamentos de n bytes Métrica Binária

18 Métrica Binária A norma IEC : Quantities and units Part 13: Information science and technology, publicada em 2008 define os seguintes prefixos binários: Consultar: Prefixes for binary multiples - Exemplo: 1 KByte = 10 3 Byte = 1000 Byte (Kilo Byte) 1 KiByte = 2 10 Byte = 1024 Byte (Kibi Byte)