Álgebra de Boole. Sistema de Numeração e Códigos. Prof. Ubiratan Ramos

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1 Álgebra de Boole Sistema de Numeração e Códigos Prof. Ubiratan Ramos

2 Sistemas Numéricos Regras para formação: símbolos e posição Por que base 10? Potência de 10 (raiz ou base 10) Representação na Forma Polinomial (FP) 2

3 Sistema de Numeração Decimal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ex: (forma posicional) = = 4x x10 + 6x1 = 4x x x10 0 (forma polinomial) Ex: 36,04 10 = ,0 + 0,04 = 3x10 + 6x1 + 0x0,1 + 4x0,01 = 3x x x x10-2 3

4 Sistema de Numeração Decimal Forma genérica (forma polinomial) D = d m-1 x10 m-1 + d m-2 x10 m d 1 x d 0 x d -1 x d -2 x d -n+1 x10 -n+1 + d -n x10 -n Onde: 10: base decimal m-1 a 0: parte inteira do número (m é o número de algarismos na parte inteira) -1 a -n: parte fracionária do número (n é o número de algarismos na parte fracionária) d m-1 : dígito mais significativo (MSD) d -n : dígito menos significativo (LSD) 4

5 Sistema Genérico de Numeração Forma genérica D = d m-1 xr m-1 + d m-2 xr m d 1 xr 1 + d 0 xr d -1 xr -1 + d -2 xr d -n+1 xr -n+1 + d -n xr -n D m 1 d r i i i n r: base genérica MSD (dígito mais significativo) LSD (dígito menos significativo) Ex: 13496,12 5

6 Sistema de Numeração Binário Dígitos com algarismos (símbolos): 0,1 B = b m-1 x2 m-1 + b m-1 x2 m b 1 x2 1 + b 0 x b -1 x2-1 + b -2 x b -n+1 x2 -n+1 + b -n x2 -n B m 1 b i i n 2 i 6

7 Sistema de Numeração Binário Ex: 10101, = 1 x x x x x x x x x 2-4 = 1 x x x x x x 0,5 + 1 x 0, x 0, x 0,0625 = 21,

8 Sistema de Numeração Octal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ex: 37 8 = 3 x x 8 0 = =

9 Sistema de Numeração Hexadecimal Dígitos com algarismos (símbolos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Ex: 1AE H = 1 x x x 16 0 = = =

10 Conversão entre Bases Binário, Octal e Hexadecimal para Decimal: Utilizar a Forma Polinomial para encontrar o valor. K m 1 i n k i r i 10

11 Conversão entre Bases Decimal para Binário, Octal e Hexadecimal (parte inteira): MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Ex: =?

12 Conversão entre Bases 8 Ex: = 501? Ex: =?

13 Conversão entre Bases 16 Ex: = 31B? H Ex: = 36A? H

14 Conversão entre Bases Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente Ex: 0, = 0,010100? 2 2 0,31947 x 2 = 0, ,63894 x 2 = 1, ,27788 x 2 = 0, ,55576 x 2 = 1, ,11152 x 2 = 0, ,22304 x 2 = 0,

15 Conversão entre Bases Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente Ex: 0, =? 0,EA64C ,9156 x 16 = 14,6496 0,6496 x 16 = 10,3936 0,3936 x 16 = 6,2976 0,2976 x 16 = 4,7616 0,7616 x 16 = 12,

16 Conversão entre Bases 16

17 Conversão entre Bases Binário <-> Octal Método da Codificação Bin Oct

18 Conversão entre Bases Binário <-> Hexadecimal Método da Codificação Bin Hexa A C 1 18

19 Conversão entre Bases Octal <-> Binário Método da Codificação Oct Bin

20 Conversão entre Bases Hexadecimal <-> Binário Método da Codificação Hexa Bin A C 1 20

21 Conversão entre Bases 21

22 Operações Numéricas Soma e Subtração Decimal (relembrando) Vem-1 ou Borrow Vai-1 ou Carry

23 Operações Numéricas Soma Aritmética em Binário 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 e Vai-1 (10) 1+1+1=1 e Vai-1 (11) Ex: Transbordo ou overflow _ 1 1 Vai-1 ou Carry 23

24 Operações Numéricas Subtração Aritmética em Binário 0-0=0 0-1=1 (Vem-1) 1-0=1 1-1=0 Ex: Vem-1 ou Borrow

25 Representação Números Negativos Sinal-módulo O bit mais significativo é o sinal, onde 0 = positivo e 1 = negativo Ex.: B = B = Complemento de 1 É o número binário complementado (bits invertidos) Ex.: B = C, B = C,1 25

26 Representação Números Negativos Complemento de 2 É o número binário complementado (bits invertidos) e adicionado de 1. Ex.: B = C, B = C,2 Algoritmo para efetuar o Complemento de 2: Reescrever o número binário da direita para a esquerda, copiando-o bit a bit. Quando encontrar o primeiro 1, copiar este e inverter todos os bits que vierem a seguir. 26

27 Representação Números Negativos Ex.: N = N = C 2 = = Ex.: N 2 = N C,2 =

28 Representação Números Negativos Subtração com complemento de 2 Ex: 12 5 = (-5) = < Binário de <- C2 do Binário de <-Resultado da adição 0111 <- Reservar a quantidade de dígitos da operação 28

29 Representação Números Negativos Subtração com complemento de 2 Ex: = (-15) = <- Binário de <- C2 do Binário de <- Resultado da adição é negativo e igual a <- Complemento de 2 comprova o resultado 29

30 Operações Numéricas Multiplicação Aritmética em Binário 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Ex: 987 x 5 = x

31 Operações Numéricas Divisão Aritmética em Binário Ex: =

32 Códigos Especiais Código Gray (valores adjacentes diferem entre si de apenas 1 bit). Ex.: disco de rotação e posicionamento, Mapa de Veitch- Karnaugh. 32

33 Códigos Especiais Construção do Código Gray: Regras De Binário para Código Gray Para converter binário em Gray, comece com o bit binário mais significativo e use-o como o Gray MSB. Em seguida, compare o binário MSB com o próximo bit binário; se eles forem iguais, então o bit na codificação Gray será 0; se forem diferentes, será 1. Repita a operação até o último bit. 33

34 Códigos Especiais Construção do Código Gray: Regras De Código Gray para Binário Para converter Gray em binário, comece com o bit Gray mais significativo e use-o como o binário MSB. Nos passos seguintes, cada bit binário é obtido comparando-se o bit binário à esquerda com o bit correspondente em Código Gray. Bits similares produzem um 0 e bits diferentes produzem um 1. 34

35 Códigos Especiais Construção do Código Gray: espelhamento 35

36 Códigos Especiais Complemento de 2 & Código Gray 36

37 Códigos Especiais Código BCD (Binary Coded Decimal). Ex.: display de 7 segmentos Erro = = BCD 37

38 Códigos Especiais Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 38

39 Método de Detecção de Erro - Paridade Transmissor Receptor Adição de 1 bit para indicar a quantidade de 1 s Paridade par: bit adicionado para que a quantidade de 1 s seja PAR Paridade ímpar: bit adicionado para que a quantidade de 1 s seja ÍMPAR Se paridade par: x1 Se paridade ímpar: x0 39

40 Notas Importantes Binário, qual o maior número que pode ser representado usando-se 8 bits? : 2 n 1= 256-1= = B = = FF H 40

41 Notas Importantes 5V Binário 1 2,5V 0,8V Binário 0 41

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