Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de

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1 Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro Curso Profissional de Nível Secundário Componente Técnica Disciplina de Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores 29/21 Módulo 1: Sistemas de Numeração

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3 Conhecer a estrutura de um Sistema de Numeração Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número Os numerais diferem dos números do mesmo modo que as palavras diferem das coisas a que se referem Os símbolos "11", "onze" e "XI" são numerais diferentes, representando todos o mesmo número Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números é representado por numerais de uma forma consistente Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze Em condições ideias, um sistema de numeração deve: Representar uma grande quantidade de números úteis (ex: todos os números inteiros, ou todos os números reais); Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão); Reflectir as estruturas algébricas e aritméticas dos números Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada número inteiro uma representação única como uma sequência finita de algarismos, com as operações aritméticas (adição, subtracção, multiplicação e divisão) estando presentes como os algoritmos padrões da aritmética Contudo, quando a representação decimal é usada para os números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro que se repete periodicamente (como 2, ) Sistema decimal O sistema decimal é um sistema de numeração de posição 1 que utiliza a base dez Baseia-se numa numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc da direita para a esquerda Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo a sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 1, o segundo algarismo 1 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1 Assim: No sistema decimal o símbolo (zero) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu valor representativo Assim: 1; 1; 1 ou 1 representam a mesma grandeza, neste caso a unidade O símbolo zero posto à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 1 (dez) 1 Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que representa uma quantidade O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal) Pág 3/1

4 Sistema binário O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das cifras: zero e um ( e 1) Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão2, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado) Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana3 Em computação, chama-se um dígito binário ( ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term) O sistema binário é base para a álgebra booleana, que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou, ligado e desligado) Toda a electrónica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos electrónicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados em dispositivos (memórias, discos, etc) sob esse formato Binários a decimais Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado Exemplo: Portanto, Decimais a Binários Dado um número decimal, para convertê-lo em binário, basta dividi-lo sucessivamente por 2, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda): Portanto, 12 ( 1) 11 2 Tensão eléctrica é a diferença de potencial eléctrico entre dois pontos Sua unidade de medida é o volt, o nome é homenagem ao físico italiano Alessandro Volta 3 Álgebras booleanas são estruturas algébricas que "capturam a essência" das operações lógicas E, OU e NÃO, bem como das operações da teoria de conjuntos soma, produto e complemento Pág 4/1

5 Soma de números binários Aritmética com números de base binária Recordando as seguintes somas básicas: 1 += 2 +1= =1 Assim, ao se somar com 11111, tem-se: bit 1 bit 9 bit 8 bit 7 bit 6 bit 5 bit 4 bit 3 bit 2 bit Transporte Opera-se como em decimal: começa-se a somar desde a direita, no exemplo, 1+1=1, então escreve-se e vai" 1 Soma-se este 1 à coluna seguinte Subtracção de números binários bit 5 bit 4 bit 3 bit 2 bit 1 Diminuendo Diminuidor Resultado: Transporte A subtracção bit a bit faz-se da seguinte forma: Bit 1: 1 1 (transporte ) Bit 2: 1 1 (transporte 1) Bit 3: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é, 1 1 (transporte da soma é ) Depois realiza-se a subtracção do diminuendo com o resultado da soma 1 1 (transporte 1) Bit 4: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é, 1 1 (transporte da soma é 1) Faz-se a subtracção do diminuendo com o resultado da soma, isto é, 1 1 (transporte ) Bit 5: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é, 1 1 (transporte da soma é ) Faz-se a subtracção do diminuendo com o resultado da soma, isto é, 1 1 (transporte ) Verificar: Pág 5/1

6 Octal a Decimal A base octal utiliza oito algarismos ou dígitos:, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; por isso se diz que a base deste sistema de numeração é oito (octal) e cada dígito também tem um valor posicional Para obtermos o equivalente decimal do número na base octal temos que executar as seguintes operações: ( 8) Decimal a Octal Dado um número decimal, para convertê-lo em octal, basta dividi-lo sucessivamente por 8, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda): Portanto, 524 ( 1) 114 Hexadecimal a Decimal A base hexadecimal tem mais vantagem do que a octal, pois representa um número com grande quantidade de bits, numa forma simples e reduzida Por exemplo, o número binário D36 (16) A base hexadecimal é formada por 16 elementos Como a base dez apenas tem 1 símbolos, os restantes 6 símbolos são representados pelas primeiras 6 letras do nosso alfabeto: A, B, C, D, E, F Para obtermos o equivalente decimal do número 9D 36 (16 ) na base hexadecimal temos que executar as seguintes operações: 9D 36 ( 16) D 3 6 ( D 13) Decimal a Hexadecimal Dado um número decimal, para convertê-lo em hexadecimal, basta dividi-lo sucessivamente por 16, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda): Portanto, 193 ( 1) 4A56 (16) Pág 6/1

7 Binário-Octal e vice-versa Utiliza-se o princípio de que para escrever cada dígito octal são necessários somente 3 3 dígitos binários, visto a relação entre as bases respectivas ser uma potência 3, isto é, 8 2 O maior dígito em octal corresponde ao dígito 7: Dado o número 111, podemos realizar a seguinte conversão: Fazendo a operação inversa chegamos da base octal à base binária: Octal Binário O equivalente na base binária é 576 ( 8) Binário-Hexadecimal e vice-versa Utiliza-se o princípio de que para escrever um dígito em hexadecimal chegam 4 dígitos 4 em binário, dada a relação entre as bases respectivas ser a potência 4, isto é, 16 2 Por exemplo, dado o número 11111, podemos efectuar a seguinte conversão: ( D ) 6D (16) Fazendo a operação inversa chegamos da base hexadecimal à base binária: 2 4 A 8 Hexadecimal Binário O equivalente na base binária é: 24 A 8( 16) Octal-Hexadecimal e vice-versa O método que vamos utilizar é a conversão da base octal para binário e de seguida da base binária para a hexadecimal Pág 7/1

8 Números negativos Os computadores lidam com números positivos e números negativos, logo é necessário encontrar uma representação para números com sinal negativo Uma possibilidade é inverter todos os bits de um número para representar o número correspondente com sinal negativo Esta representação é designada por complemento para um Exemplo 1 1 = utilizando 8 bits Invertendo todos os bits obtemos: -1 1 = O problema desta representação é que existem 2 padrões de bits para o Nomeadamente 1 = 2 = A solução encontrada consiste em representar os números em complemento para 2 Para determinar o negativo de um número negam-se todos os seus bits e soma-se uma unidade Exemplo 1 1 = utilizando 8 bits Invertendo todos os bits obtemos: Somando uma unidade: = = -1 1 A representação em complemento para 2 tem as seguintes características: O bit da esquerda indica o sinal; O processo indicado no parágrafo anterior serve para converter um número de positivo para negativo e de negativo para positivo; O tem uma representação única: todos os bits a ; A gama de valores que é possível representar com bits é -2 n-1 2 n-1-1 Exemplo Qual o número representado por ? Como o bit da esquerda é 1 este número é negativo Vamos inverter: Somando uma unidade: = = 28 1 Logo = Exemplo Representar os seguintes números com 16 bits Positivo, logo: Negativo, logo: Pág 8/1

9 Exercícios 1 Dados os números na base decimal, converte-os para as bases binária, hexadecimal e octal 281 a b 2437 c 19 d e f Dados os números na base binária, converte-os para as bases decimal, hexadecimal e octal 1111 a b c d 11 e f Dados os números na base hexadecimal, converte-os para as bases binária, decimal e octal FF a (16) b A 1B (16 ) c 1C A(16) d FFFF (16) e E (16) f D (16) 4 Dados os números na base octal, converte-os para as bases binária, decimal e hexadecimal 7 a b 213 c 77 d 6345 e f Realiza as seguintes operações aritméticas a b c d Pág 9/1

10 6 Para cada uma das contas abaixo a Represente a conta como soma de binários em complemento para 2 usando 8 bits b Faça a conta em binário c Converta o resultado binário obtido em decimal Pág 1/1

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