Sistemas de Numeração

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Bacharelado em Ciência da Computação IC3A Introdução à Ciência da Computação Sistemas de Numeração Marcos Silvano O. Almeida Baseado no material do prof. Rogério A. Gonçalves

2 Representação de dados Representação de dados no computador Número Um número na memória Caractere Um número na memória Cor Um número na memória de vídeo Circuito eletrônicos presença/ausência de corrente Representação numérica: bit = Binary Digit = ou 0 Usa dispositivo de dois estados: Relé Válvula Transistor Outros: polos magnéticos, dois níveis de tensão/corrente/luz 2

3 Mas como criar lógica somente com chaves (transistores)? 3

4 Imagem (TV, Monitor, LCD...) A imagem é formada por pixels. Pixel = cor = número Modos de cor: bit = 2 cores 2 bits = 4 cores 3 bits = 8 cores 4 bits = 6 cores 6 bits = bits =

5 Texto no computador Cada símbolo é representado por um número binário. A representação depende da tabela de símbolos usada. Um texto corrido é uma sequência de números que presentam: Símbolos: Letras, números, símbolos Controle: Espaço, nova linha, tabulação 5

6 Documento ODT usa UTF-8 6

7 Páginas Web (HTML) usa UTF-8 7

8 8

9 Como contamos? Contamos utilizando os símbolos gradativamente. Quando terminamos a sequência de símbolos possíveis, usamos combinações. Base decimal 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0,,, 8, 9 20, 2,, 28, 29 90, 9,, 98, 99 00, 0,... 9

10 Decimal (base 0) Sistema Decimal Base 0: Base 0 0 dígitos: 0,,2, Exemplo: x0 + 3x0 + 0x0 + 3x0 Notação Posicional = 303 0

11 Base numérica Base: - É a quantidade de algarismos ou símbolos disponíveis para representar todos os números no sistema de numeração é de 0 a (base -) - Exemplos: - Base 0 0 dígitos: 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 - Base 2 2 dígitos: 0 e - Base 6 6 dígitos: 0,,2,...,9,A,B,C,D,E,F Convenção: Bases maiores que 0 usam letras para representar algarismos maiores que 9

12 Sistemas de Numeração Base Binária (2) 2

13 Binário (Base 2) Sistema Binário Base 2: Base 2 2 dígitos: 0 e - Convenção: - dígito: bit - 4 dígitos: nibble - 8 dígitos: byte - Exemplo: 0 3

14 Como contamos (binário) Contamos utilizando os símbolos gradativamente. Quando terminamos a sequência de símbolos possíveis, usamos combinações. Base binária 0, 0, 00, 0, 0, 000, 00, 00, 0, 00, 0, 0,... 4

15 Perguntas Quantos números diferentes podemos representar com dígito/algarismo binário?? E quantos podemos representar com dois? Três? 5

16 Perguntas reversas Quantos dígitos são necessários para representar o número 560 em binário? E o número 000? E o número 4980? 6

17 Perguntas reversas Quantos dígitos são necessários para representar o número 560 em binário? 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = 64; 6 dígitos E o número 000? 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = 28; 7 dígitos E o número 4980? 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = 64; 9 dígitos 7

18 Base 2 base 0 Conversão de Bases: Binário para Decimal Algoritmo: Multiplicação dos dígitos pela base elevada a posição x2 + 0x2 + x2 + x2 + x2 + x2 Notação Posicional = 47 8

19 Base 0 Base 2 Conversão de Base: Decimal para Binário Algoritmo: Divisões sucessivas pela base até resultar em um número menor que a própria base = 02 9

20 Exercícios Conversões de Bases Converter 00 2 para decimal Converter para binário 20

21 Conversões de Bases Converter 00 2 para decimal 002 Solução dos Exercícios x23+0x22+0x2+x = 90 2

22 Solução dos Exercícios Conversões de Bases Converter para binário - Método de Divisões Sucessivas: =

23 Decimal Binário: Parte Fracionária Se o número for fracionário, a conversão se fará em duas etapas distintas. Consideremos o valor 5,65 0. Passo - Conversão da parte inteira: 5 0 Algoritmo: divisões sucessivas por 2. (já vimos) Passo 2 - Conversão da parte fracionária: 0,65 0 Algoritmo: multiplicações sucessivas por 2. 23

24 Algoritmo da parte fracionária Consiste em uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário pela base (binária); a parte inteira do resultado é o dígito binário fracionário 0,65 x 2 =,3 binário: 0, A parte fracionária, é novamente multiplicada 0,3 x 2 = 0,6 binário: 0,0 0,6 x 2 =,2 binário: 0,0 0,2 x 2 = 0,4 binário: 0,00 0,4 x 2 = 0,8 binário: 0,000 (precisão de 5 dígitos) Repetir a multiplicação até resultar em zero ou chegar no número desejado de casas decimais. 24

25 Algoritmo da parte fracionária Exemplo, 5,650 para a base 2 5 dígitos e 0 dígitos de precisão Parte inteira se processa normalmente: 50= 2 Parte fracionária: multiplicações sucessivas 5 dígitos de precisão Ampliando para 0 dígitos 0,65 x 2 =,3 0,8 x 2 =,6 0,3 x 2 = 0,6 0,6 x 2 =,2 0,6 x 2 =,2 0,2 x 2 = 0,4 0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 0,4 x 2 = 0,8 0,8 x 2 =,6 Precisão 5 5,650 =,0002 Precisão 0 5,650 =, Com 5 dígitos: 0,65 = 0, Com 0 dígitos: 0,65 = 0,00000

26 Retorno para Decimal Parte inteira: 2 = x x x 2 + x 2 0 = 50 2 = = 50 Parte fracionária com 5 dígitos de precisão: 0,000 2 = x x2-2 + x x x2-5 0,000 2 = / / ,000 2 = 0,5 + 0,25 = 0,625 0 Parte fracionária com 0 dígitos de precisão: 0,00000 = x2 - + x2-3 + x2-6 + x2-7 + x2-0 0,00000 = /2 + /8 + /64 + /28 + /024 = 0, Quanto maior o número de dígitos de precisão, melhor será a aproximação. 26

27 Exercícios Conversões de Bases Converter com 5 casas de precisão 4,5 0 = X = ,5 0 = 0, 2 4,5 0 = 00, 2 32,25 0 = X = ,25 0 = 0,0 2 32,25 0 = 00000,0 2 27

28 Sistemas de Numeração Base Octal (8) 28

29 Base 8 Sistema Octal Base 8: Base 8 8 dígitos: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 29 Decimal Octal

30 Sistemas de Numeração Sistema Octal Conversões de Bases: Octal para Decimal - Exemplo: x82+4x8+4x =

31 Sistemas de Numeração Sistema Octal Conversões de Bases: Decimal para Octal - Exemplo de Divisões Sucessivas: =

32 Exercícios Conversões de Bases Converter 77 8 para decimal Converter 74 0 para octal 32

33 Conversões de Bases Converter 77 8 para decimal 778 Soluções dos Exercícios 0 7x8+7x =

34 Soluções dos Exercícios Conversões de Bases Converter 74 0 para octal - Método de Divisões Sucessivas: = 28 34

35 Sistemas de Numeração Sistema Octal Conversões de Bases: Octal para Binário: Transforma cada algarismo octal no correspondente binário (para cada octal são necessários 3 bits 2 3 = 8 > Base octal) - Exemplo: 278 Octal Binário

36 Sistema Octal Conversões de Bases: Binário para Octal: Processo inverso agrupa-se 3 bits a partir da direita - Exemplo: Sistemas de Numeração =

37 Exercícios Conversões de Bases Converter 34 8 para binário Converter 00 2 para octal 37

38 Conversões de Bases Converter 34 8 para binário 348 Soluções dos Exercícios

39 Conversões de Bases Converter 00 2 para octal 002 Soluções dos Exercícios 2 = 28 Completar com Zeros 39

40 Sistemas de Numeração Base Hexadecimal (6) 40

41 Base 6 Sistema Hexadecimal Base 6: Base 6 6 dígitos: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Decimal Hexadecimal A B C D E F 0 4

42 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Conversões de Bases: Hexadecimal para Decimal - Exemplo: 3F6 0 3x6+5x =

43 Sistema Hexadecimal Conversões de Bases: Decimal para Hexadecimal - Exemplo de Divisões Sucessivas: Sistemas de Numeração = = 3E86 43

44 Exercícios Conversões de Bases Converter C3 6 para decimal Converter 34 0 para hexadecimal 44

45 Conversões de Bases Converter C3 6 para decimal C36 Soluções dos Exercícios 2 0 x62+2x6+3x =

46 Conversões de Bases Converter 34 0 para hexadecimal 34 6 Soluções dos Exercícios 340 =

47 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Conversões de Bases: Hexadecimal para Binário: Transforma cada algarismo hexa no correspondente binário (para cada hexa são necessários 4 bits 2 4 = 6 Base hexa) - Exemplo: C Hexadecimal A B C D E F Binário

48 Sistema Hexadecimal Conversões de Bases: Binário para Hexadecimal: Processo inverso agrupa-se 4 bits a partir da direita - Exemplo: Sistemas de Numeração =

49 Exercícios Conversões de Bases Converter ED 6 para binário Converter para hexadecimal 49

50 Conversões de Bases Converter ED 6 para binário ED6 Soluções dos Exercícios

51 Conversões de Bases Converter para hexadecimal 0002 Soluções dos Exercícios 6 3 = 636 Insere 0 5

52 Conversão Octal Hexadecimal As conversões deste tipo são feitas utilizando-se um passo intermediário: Octal Binário Hexadecimal Exemplo: 5F4 6 X 8 5F46 hexadecimal 5 F 4 binário (agrupados em 4 dígitos) binário (agrupados em 3 dígitos) octal

53 Aritmética Computacional Adição e Subtração 53

54 Aritmética Computacional Circuitos Aritméticos: circuitos utilizados para construir a ULA (Unidade Lógica e Aritmética) Algoritmos de adição e subtração são os mesmos empregados na base decimal. Adição Exemplo de adição em decimal (dígitos de 0 a 9): Cada posição só pode representar um dígito, por isso, gera um carry (vai um) 54

55 Aritmética Computacional Adição em Binário : Exemplo a) 0 b) 0 c) d) Cada posição só pode representar um dígito, por isso, gera um carry c in c out Soma 55

56 Aritmética Computacional Subtração Exemplo de subtração em decimal (dígitos de 0 a 9): Empresta da coluna da esquerda para formar a dezena

57 Aritmética Computacional Subtração em Binário Gera um empresta- (carry out) da coluna seguinte: a a coluna passa a valer 2 0 =0 2 Exemplo O carry out será subtraído da coluna seguinte na continuação da operação a) 0 b) 0 c) d)

58 Aritmética Computacional Subtração em Binário : Exemplo Gera um empresta- (carry out) da coluna seguinte: a a coluna passa a valer 0 2 = c in Subtração 58

59 Resumo Algoritmos de conversão de base: Decimal Qualquer base Divisões sucessivas pela base Qualquer base Decimal Somatória de dígito x base^posição Octal Binário Cada Octal equivale a 3 bits (completar com zeros à esquerda para que o número de bits seja múltiplo de 3) Hexadecimal Binário Cada Hexadecimal equivale a 4 bits (completar com zeros à esquerda para que o número de bits seja múltiplo de 4) Octal Hexadecimal Conversão intermediária para binário Operações sobre números binários Algoritmos são os mesmos das operações com base decimal. Para conferência: 59

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