MA14 - Aritmética Unidade 4. Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração)

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1 MA14 - Aritmética Unidade 4 Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração) Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 4 - Seção 4.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Estes resumos contaram com a colaboração de Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 2/21

3 Sistemas de Numeração Sabemos que existem infinitos números naturais. Os primeiros tantos possuem até nomes. Por exemplo: um, dois, três,..., cem, cento e um um trilhão, um trilhão e um... PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 3/21

4 É impossível dar um nome para cada um dos números naturais, mas é possível de modo engenhoso dotar cada um deles de uma representação com um pequeno número de símbolos, por meio dos chamados sistemas de numeração. O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para representar os números inteiros é o sistema decimal posicional. Podemos nos restringir à representação dos números naturais, pois todo número inteiro negativo é representado por um número natural precedido pelo sinal e zero tem seu próprio símbolo que é 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 4/21

5 Sistema decimal No sistema decimal, todo número natural é representado por uma sequência formada pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, acrescidos do símbolo 0 (zero), que representa a ausência de algarismo. Por serem dez os algarismos, o sistema é chamado decimal. O sistema é também chamado posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que ele ocupa no número. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 5/21

6 Peso do algarismo Esse peso, sempre uma potência de dez, varia do seguinte modo: o algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da direita para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o seguinte tem peso mil, etc. Portanto, os números de um a nove são representados pelos algarismos de 1 a 9, correspondentes. O número dez é representado por 10, o número cem por 100, o número mil por Por exemplo, o número 12019, na base 10, é a representação de = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 6/21

7 Ordem de um algarismo/classe de uma terna de ordens Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita para a esquerda. Assim, no número 12019, o primeiro 1 que aparece (não se esqueça, sempre da direita para a esquerda) é de segunda ordem, enquanto que o último é de quinta ordem. O 9 é de primeira ordem, enquanto que o 2 é de quarta ordem. Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda, forma uma classe. As classes são, às vezes, separadas umas das outras por meio de um ponto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 7/21

8 Classes e ordens Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens: Classe das Unidades unidades dezenas centenas 1 a ordem 2 a ordem 3 a ordem Classe do Milhar unidades de milhar dezenas de milhar centenas de milhar 4 a ordem 5 a ordem 6 a ordem Classe do Milhão unidades de milhão dezenas de milhão centenas de milhão 7 a ordem 8 a ordem 9 a ordem PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 8/21

9 Expansão na base b Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no resultado a seguir, que é uma aplicação da divisão euclidiana. Teorema Dados números inteiros a e b, com a > 0 e b > 1, existem números inteiros n 0 e 0 r 0, r 1,..., r n < b, r n 0, univocamente determinados, tais que a = r 0 + r 1 b + r 2 b r n b n. A representação dada no teorema acima é chamada de expansão relativa à base b. Quando b = 10, essa expansão é chamada expansão decimal. Quando b = 2, ela toma o nome de expansão binária. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 9/21

10 Demonstração Aplicamos sucessivamente a divisão euclidiana, permitindo determinar a expansão de a na base b, como segue: a = bq 0 + r 0, 0 r 0 < b, q 0 = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, q 1 = bq 2 + r 2, 0 r 2 < b, e assim por diante. Como a > q 0 > q 1 >, deveremos, em um certo ponto, ter q n 1 < b e, portanto, de q n 1 = bq n + r n, decorre que q n = 0, o que implica 0 = q n = q n+1 = q n+2 =, e, portanto, 0 = r n+1 = r n+2 =. Temos, então, que a = r 0 + r 1 b + + r n b n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 10/21

11 Exemplo 1 Vamos determinar a expansão na base b = 2 do número = 2 (26) }{{} q 0 + }{{} 1 26 = 2 (13) }{{} + }{{} 0 q 1 13 = 2 }{{} 6 + }{{} 1 q 2 6 = 2 }{{} 3 + }{{} 0 ; q 3 r 3 3 = 2 }{{} 1 + }{{} 1 ; q 4 r 4 1 = 2 }{{} 0 + }{{} 1 ; q 5 r 5 r 0 ; r 1 ; r 2 ; Logo, 53 = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 11/21

12 Exemplo 2 Vamos determinar a expansão de a = 113 na base b = = 3 (37) }{{} q 0 + }{{} 2 37 = 3 (12) + }{{} }{{} 1 ; q 1 r 1 12 = 3 }{{} 4 + }{{} 0 ; q 2 r 2 4 = 3 }{{} 1 + }{{} 1 ; q 3 r 3 1 = 3 }{{} 0 + }{{} 1. q 4 r 4 r 0 ; Logo, 113 = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 12/21

13 A expansão numa dada base b nos fornece um método para representar os números naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b símbolos S = { s 0, s 1,..., s b 1 }, com s 0 = 0, para representar os números de 0 a b 1. Um número natural a na base b se escreve na forma x n x n 1... x 1 x 0, com x 0,..., x n S, e n variando, dependendo de a, representando o número x 0 + x 1 b + + x n b n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 13/21

14 No sistema decimal, isto é, de base b = 10, usa-se S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se a base b é tal que b 10, utilizam-se os símbolos 0, 1,..., b 1. Se a base b é tal que b > 10, costuma-se usar os símbolos de 0 a 9, acrescentando novos símbolos para 10,..., b 1. No sistema de base b = 2, temos que S = { 0, 1}, e todo número natural é representado por uma sequência de 0 e 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 14/21

15 Representação na base 2 O número 10 na base 2 representa o número 2 (na base 10). Quando estivermos lidando com números em bases diferentes num mesmo contexto, utilizaremos símbolos como [a] b significando que a é a representação de um número na base b. Portanto, [10] 2 = [ ] 10 = [2] 10 ; [11] 2 = [ ] 10 = [3] 10 ; [100] 2 = [ ] 10 = [4] 10 ; [101] 2 = [ ] 10 = [5] 10 ; [110] 2 = [ ] = [6] 10 ; [111] 2 = [ ] 10 = [7] 10 ; [1011] 2 = [ ] 10 = [11] 10. O sistema na base 2 é utilizado nos computadores. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 15/21

16 Exemplo 3 a) Representar na base 2 o número cuja representação na base 10 é 53. Segue do Exemplo 1 que 53 = , então [53] 10 = [110101] 2. b) Representar na base 3 o número cuja representação na base 10 é 113. Segue do Exemplo 2 que 113 = , então [113] 10 = [11012] 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 16/21

17 Exemplo 4 Representar na base 5 o número cuja representação na base 10 é 723. Por divisão euclidiana sucessiva, Portanto, 723 = , 144 = , 28 = , 5 = , 1 = = , e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 17/21

18 Exemplo 5 a) Representar na base b = 11 o número cuja representação na base 10 é Usaremos S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α}, onde α é o símbolo para 10 = b 1. Aplicando sucessivamente o algoritmo euclidiano, temos 3909 = Logo, 3909 é representado na base 11 por 2α34. b) Quais os números na base 10 representados na base b = 11 por 10, 100, 11 e 12? representação na base 11 número decimal b = b = b + 1 b 2 = 11 2 = b = = b = = 13 PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 18/21

19 Critérios de divisibilidade por 5 e por 10 Seja a = r n r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 5 (respectivamente por 10) é que r 0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0). Demonstração Sendo a = 10 (r n r 1 ) + r 0, temos que a é divisível por 5 se, e somente se, r 0 é divisível por 5, e, portanto, r 0 = 0 ou r 0 = 5. Por outro lado, a é divisível por 10 se, e somente se, r 0 é divisível por 10, o que somente ocorre quando r 0 = 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 19/21

20 Critérios de divisibilidade por 3 e por 9 Seja a = r n r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 3 (respectivamente por 9) é que r n + + r 1 + r 0 seja divisível por 3 (respectivamente por 9). Demonstração Temos que a (r n + +r 1 +r 0 ) = r n 10 n + +r 1 10+r 0 (r n + +r 1 +r 0 ) = r n (10 n 1) + + r 1 (10 1). Sabemos que o termo à direita nas igualdades acima é divisível por 9 (Exemplo na Unidade 2), logo, para algum número q, temos que a = (r n + + r 1 + r 0 ) + 9q, de onde segue o resultado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 20/21

21 Exercício Verifique que 9 não divide e 3 divide Solução Aplicaremos, sucessivamente, os critérios de divisibilidade por 9 e por 3. Temos que = 57 e = 12. É claro que 9 12 e Portanto, 9 12 se, e somente se, 9 57 se, e somente se, e e 3 12 se, e somente se, 3 57 se, e somente se, PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Sistemas de Numeração slide 21/21

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