Sistemas de Numeração. Professor: Rogério R. de Vargas INFORMÁTICA 2014/2

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1 INFORMÁTICA Sistemas de Numeração Professor: Rogério R. de Vargas 2014/2

2 Sistemas de Numeração São sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números. Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um número e é, portanto, um sistema numérico na base 10.

3 Sistemas de Numeração Usamos diferentes sistemas de numeração: Base 2 (binário), Base 8 (octal), Base 10 (decimal), Base 16 (hexadecimal), Base 256 e assim por diante.

4 Sistemas de Numeração Base de um Sistema de Numeração: A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada. No comércio pedimos uma dúzia de rosas (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60).

5 Sistemas de Numeração Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 2 4 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 2 3 (base 8 ou sistema octal).

6 Sistemas de Numeração Representação Binária: Os computadores modernos utilizam apenas o sistema binário, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no computador usam apenas DUAS grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1.

7 Sistemas de Numeração Essa decisão de projeto deve-se à maior facilidade de representação interna no computador, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão. Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos computadores foi apelidado de bit (uma contração do inglês binary digit).

8 Sistemas de Numeração Todos os sistemas de numeração, aqui examinados, são posicionais, significando q a posição de um símbolo em relação aos demais determina seu valor. Cada símbolo em um número tem uma posição. A posição inicia, tradicionalmente em 0, vai até n-1, em que n é o número de símbolos.

9 Sistemas de Numeração Por exemplo: Na figura abaixo o número decimal tem cinco símbolos nas posições 0 a 4.

10 Prefixos Binários kilo k/k 2 10 = mega M 2 20 = giga G 2 30 = tera T 2 40 = peta P 2 50 = exa E 2 60 = zetta Z 2 70 = yotta Y 2 80 =

11 Base 2: BINÁRIA O sistema de numeração binário fornece a base para todas as operações em computadores. Os computadores trabalham ativando e desativando a corrente elétrica.

12 Base 2: BINÁRIA O sistema binário usa dois símbolos, 0 e 1, d e m o d o q u e e l e c o r r e s p o n d e naturalmente a um dispositivo de dois estados, como um interruptor, com 0 representando o estado de desligado e 1 representando o estado de ligado. A palavra binário deriva da raiz latina bi, que significa 2.

13 Base 2: BINÁRIA Pesos: No sistema binário, cada peso equivale a 2 elevado a potencia de sua posição. O peso do símbolo na posição 0 é 2 0 (1); O peso do símbolo na posição 1 é 2 1 (2); e assim por diante.

14 Base 2: BINÁRIA Conversão: Vejamos como converter números do sistema binário para o decimal. A figura abaixo ilustra o processo;

15 Base 2: BINÁRIA Conversões de um sistema para outro: Base 10 para Base 2 Divide-se o decimal por 2 até que este seja zero ou um (0 ou 1); Exemplo: 10 (na base 10 )/2 10/2 = 5, resto 0; 5/2 = 2, resto 1; 2/2 = 1 e o resto é 0. A leitura é feita de cima para baixo. Logo temos 1 (da divisão de 2/2), seu resto 0, o resto de 5/2 que é 1 e resto de 10/2 que é 0. Logo temos o binário 1010;

16 Base 2: BINÁRIA Conversões de um sistema para outro: Base 8 para Base 2 Verifica-se na tabela; Exemplo: 764 (8) =

17 Base 2: BINÁRIA Conversões de um sistema para outro: Base 16 para Base 2 Quando existir necessidade de converter números hexadecimais em binários, deve-se separar cada dígito do número hexadecimal e substituí-lo pelo seu valor correspondente de binário (casas de 4 bits) Exemplo: Converter o número hexadecimal 764 em binário. Logo, =

18 Base 8: OCTAL Sistema Octal é um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7; O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.

19 Base 8: OCTAL Conversões de um sistema para outro: Base 10 para Base 8 Divide-se o decimal por 8 até que o resto seja menor que o divisor; Exemplo: 50 (na base 10 )/8 50/8 = 6 e resto 2 (2 é menor que 8. Condição de parada). A leitura é feita de cima para baixo. Logo, 50 na base 8 é 62 (6 quociente e 2 do resto).

20 Base 8: OCTAL Conversões de um sistema para outro: Base 2 para Base 8 Para converter um número binário em octal, agrupam-se os dígitos binários de 3 em 3 do ponto decimal da direita para a esquerda, substituindo-se cada trio de dígitos binários pelo equivalente dígito octal. Exemplo: A conversão do número binário em octal:

21 Base 8: OCTAL em octal: Assim, tem-se (2) = 1274 (8)

22 Base 8: OCTAL Conversões de um sistema para outro: Base 16 para Base 8 Esta conversão, exige um passo intermediário em que se utiliza o sistema binário. Converte-se o número hexadecimal em binário e este em octal.

23 Base 8: OCTAL E x e m p l o : C o n v e r t e r o n ú m e r o hexadecimal 1F4 em octal: Quando existir necessidade de converter números hexadecimais em binários, devese separar cada dígito do número hexadecimal e substituí-lo pelo seu valor correspondente de binário (ver tabela).

24 Base 8: OCTAL Portanto, o número hexadecimal 1F4 em binário fica: (os zeros iniciais são ignorados); E em octal temos: Resultado de 1F4 (16) = 764 (8)

25 Base 10: DECIMAL O termo decimal é derivado da raiz latina deci, que significa 10. O sistema decimal usa dez símbolos para representar valores quantitativos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

26 Base 10: DECIMAL Pesos: No sistema decimal, cada peso equivale a 10 elevado a potencia de sua posição. O peso do símbolo na posição 0 é 10 0 (1); o peso do símbolo na posição 1 é 10 1 (10); e assim por diante.

27 Base 10: DECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 8 para Base 10 Existem vários métodos, sendo mais comumente utilizado a conversão de forma direta através da fórmula. Exemplo: Converter o número 764 (8) para o sistema decimal: 4 x 8 0 = 4 6 x 8 1 = 48 7 x 8 2 = 448 O resultado é a soma de = 500 (10)

28 Base 10: DECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 2 para Base 10 Existem vários métodos, sendo mais comumente utilizado a conversão de forma direta através da fórmula. Exemplo: Converter o número (2) para o sistema decimal:

29 Base 10: DECIMAL (2) para o sistema decimal: 0 x 2 0 = 0 0 x 2 1 = 0 1 x 2 2 = 4 1 x 2 3 = 8 1x 2 4 = 16 1x 2 5 = 32 1x 2 6 = 64 1x 2 7 = 128 0x 2 8 = 0 1x 2 9 = 512 O resultado é a soma de = 764 (10)

30 Base 10: DECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 16 para Base 10 Existem vários métodos, sendo mais comumente utilizado a conversão de forma direta através da fórmula. Exemplo: Converter o número 2FC (16) para o sistema decimal:

31 Base 10: DECIMAL 2FC (16) para o sistema decimal: C x 16 0 = 0 -> 12 x 16 0 = 12 F x 16 1 = 0 - > 15x 16 1 = x 16 2 = 512 O resultado é a soma de = 764 (10)

32 Base 16: HEXADECIMAL O termo hexadecimal deriva do termo grego hexadec, que significa 16; O sistema de numeração hexadecimal é conveniente para representar de forma abreviada um número binário grande. Usa 16 símbolos: de 0 a 9 e as letras A, B, C, D, E e F.

33 Base 16: HEXADECIMAL O sistema hexadecimal usa os mesmos 10 primeiros símbolos do sistema decimal, mas, em vez de usar 10, 11, 12, 13, 14, e, 15, ele utiliza A, B, C, D, E e F. Isto evita qualquer confusão entre os dois símbolos adjacentes;

34 Base 16: HEXADECIMAL Pesos: No sistema hexadecimal cada peso equivale a 16 elevado a potencia de sua posição. O peso símbolo na posição 0 é 16 0 (1); O peso do símbolo na posição 1 é 16 1 (16); e assim por diante.

35 Base 16: HEXADECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 10 para Base 16 Divide-se o decimal por 16 até que o resto seja menor que o divisor; Exemplo: 764 (na base 10 )/16 764/16 = 47 e resto 12; 47/16 = 2 e o resto 15. O quociente de 47/16 que é 2 foi o último a ser calculado. A leitura é feita de cima para baixo. Logo, 764 na base 16 é 2FC (2 último quociente, 15 é F na tabela em hexa e 12 é C na tabela hexa).

36 Base 16: HEXADECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 8 para Base 16 Para esta conversão é necessário executar um passo intermediário utilizando o sistema binário. Primeiramente converte-se o número octal em binário e depois converte-se o binário para o sistema hexadecimal, agrupando-se os dígitos de 4 em 4 e fazendo cada grupo corresponder a um dígito hexadecimal.

37 Base 16: HEXADECIMAL Passagem de 764 (8) ao binário: Verifica-se na tabela; Resultado: 764 (8) = Passagem de 764 (8) binário para Hexa: Depois verificamos a sequencia de binários na tabela em hexa e temos: F 4

38 Base 16: HEXADECIMAL Conversões de um sistema para outro: Base 2 para Base 16 Para esta conversão é necessário olhar na tabela. Agrupa-se dígitos de 4 em 4; Exemplo: (2) para base 16; Da direita para a esquerda temos: 1010 que na tabela do hexa corresponde a A, os outros 2 dígitos 10 equivalem ao número 2; Portanto o resultado é 2A;

39 Base 256: ENDEREÇOS IP O Sistema de numeração usado na Internet é o de base 256. Os endereços IPv4 usam-na para representar um endereço na notação decimal pontuada. Ao definirmos um endereço IPv4 como , usamos um número na base 256. Nessa base, podemos utilizar até 256 símbolos diferentes; Lembrar-se de todos estes símbolos e seus valores é impraticável;

40 Base 256: ENDEREÇOS IP Os projetistas do endereçamento IPv4 decidiram usar números decimais 0 a 255 como símbolos e, para fazer distinção entre eles, é usado um ponto. Esse ponto é usado para separar os símbolos; Ele marca o limite entre as posições. Por exemplo: o endereço IPv é formado por 4 símbolos (8, 7, 32 e 131), respectivamente, nas posições 0, 1, 2 e 3.

41 Base 256: ENDEREÇOS IP Pesos: Na base 256, cada peso equivale a 256 elevado a potencia de sua posição. O peso do símbolo na posição 0 é (1); o peso do símbolo na posição 1 é (256); e assim por diante;

42 Base 256: ENDEREÇOS IP Conversão: Vejamos um exemplo de conversão do sistema IPV4 para o decimal.

43 Base 256: ENDEREÇOS IP Para converter um endereço IPv4 em decimal, usamos os pesos. Multiplicamos cada símbolo por seu peso e somamos todos os resultados ponderados; A figura anterior mostra como o endereço IPv é convertido em seu equivalente em decimal.

44 Base 256: ENDEREÇOS IP Usamos o mesmo método de conversão decimal para binário de modo a transformar um decimal em um endereço IPv4. A única diferença é que dividimos o número por 256, em vez de 2; Entretanto, precisamos lembrar que endereços IPv4 tem quatro posições. Isso significa que, ao lidarmos com um endereço IPv4, temos de parar após termos encontrado quatro valores.

45 Base 256: ENDEREÇOS IP Outras conversões: Existem outras conversões numéricas possíveis, tais como base 2 para base 16 ou base 16 para base 256. É fácil usar a base 10 como um intermediário. Em outras palavras, para transformar um número de binário para hexadecimal, primeiro, convertemos de binário para decimal e, em seguida, convertemos de decimal para hexadecimal.

46 Base 256: ENDEREÇOS IP Binário e Hexadecimal: Veja a figura abaixo:

47 Base 256: ENDEREÇOS IP Para converter um número de binário para hexadecimal, agrupamos os dígitos binários da direita em quatro grupos. Em seguida, convertemos cada um desses grupos de 4 bits em seu equivalente hexadecimal, usando a tabela. Na figura convertemos os binários para o hexadecimal 0x28E.

48 Base 256: ENDEREÇOS IP Para converter um número hexadecimal em binário, convertemos cada dígito hexadecimal em seu número binário equivalente, usando a tabela e concatenamos o resultado.

49 Base 256: ENDEREÇOS IP Base 256 e Binário: Para converter um número na base 256 em binário, de inicio, precisamos converter o número em cada posição em um grupo binário de 8 bits e, em seguida, concatenamos os grupos. Para converter de binário para base 256, precisamos dividir o número binário em grupos de 8 bits, convertemos cada grupo em decimal e, posteriormente, inserimos separadores (pontos) entre os números decimais.

50 Bibliografia Agradeço ao Professor Cristiano Galafassi por ceder a apresentação. FOROUZAN, B.A. Comunicação de Dados e Redes de Computadores. 3ª Edição. Bookman KUROSE, J. Redes de Computadores e a Internet. 5ª Edição. Addison-Wesley, COMER, D. E. Redes de Computadores e a Internet. 4ª Edição. Bookman S I S T E M A S D E N U M E R A Ç Ã O - wwwusers.rdc.puc-rio.br/rmano/sn1base.html