ARQUITETURA DE COMPUTADORES. Sistemas de Numeração. 1 Arquitetura de Computadores

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1 ARQUITETURA DE COMPUTADORES Sistemas de Numeração 1

2 Sistemas de Numeração e Conversão de Base Sistema Decimal É o nosso sistema natural. Dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.

3 Por exemplo, o número 7986 traduz um valor numérico calculado por: 7986 = 7x x x x10 0 7x x x x10 0 7x1000+9x100+8x10+6x Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.

4 Sistema de Numeração Binário Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2. A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1. Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2.

5 Por exemplo, o número (o subscrito indica a base) é representado pela seqüência de dígitos binários: = 1x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 1x16+0x8+0x4+1x2+1x Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digital digit), conjuntos de 4 bits são chamados nibble e de 8 bits denominam-se byte.

6 Conversão binário para decimal Notamos, que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito. O algarismo menos significativo ( base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.

7 Abaixo temos algumas potências de 2

8 Exemplo: Converter o número em decimal. Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos: = = 1x2 3 +1x2 2 +1x2 1 +0x = 1x8+1x4+1x2+0x = = Exemplo: Converter o número em decimal = 1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +0x x x = = 42 10

9 Conversão decimal para binário Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado que cada divisão desloca o ponto decimal uma posição para a esquerda temos: N 2 =...x 8 x4 x 2 2 x 1 = x 8 x 4 x O dígito menos significativo x 1 corresponde ao resto da divisão inteira e o quociente corresponde a um novo número N =...x 8 x 4 x 2, onde x 2 passa a ser o algarismo menos significativo. 2 + resto x 1

10 Aplicando divisões sucessivas e considerando o resto, obtém-se a seqüência de digitos binários que representam o número N no sistema binário. Vejamos o exemplo: =

11 Vejamos outro exemplo: =

12 Sistema de Numeração Octal Neste sistema a base é 8, e os dígitos são 0,1,2,3,4,5,6 e 7 Há uma relação especial entre o sistema octal e o sistema binário que reside no fato de que três dígitos binários representarem oito (2 3 ) números distintos. Esta relação permite efetuar conversões entre estes sistemas de forma quase imediata como veremos adiante.

13 Conversão do sistema Octal para o Decimal Utilizamos o conceito básico de formação de um número já explicado. Observemos o exemplo: Converter em decimal = 3x x x = 3x64 + 4x8 + 5x = =

14 Vejamos outro exemplo: Converter em decimal = 4x x x = 4x64 + 7x8 + 7x = =

15 Conversão do sistema Decimal para o Octal O processo é análogo ao da conversão decimal para binário, ou seja, empregar divisões sucessivas pela base.

16 Exemplificando: Converter para octal = Converter para octal = 200 8

17 Conversão do sistema Octal para binário Para realizar a conversão basta converter cada dígito octal no seu correspondente binário. Isto se deve à relação anteriormente mencionada. Exemplificando. Converter 77 8 em binário. 7 { 7{ = 778 = Converter em binário 1 { 2{ 3{ = 1238 =

18 Conversão do sistema Binário para o Octal Utiliza-se o processo inverso do anterior. Separamos o número binário em grupos de três bits à partir da direita. Depois, convertemos cada grupo de bits para o sistema octal. Exemplificando: Converter em octal

19 = = Vejamos outro exemplo: Converter em octal = = 21 8 Converter em octal = = 164 8

20 Sistema de Numeração Hexadecimal Este sistema tem base 16 e portanto possui 16 dígitos. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F são os dígitos deste sistema. O dígito A representa a quantidade 10, B representa 11, até o F que representa 15. Este sistema é bastante utilizado em microcomputadores tanto em hardware como em software.

21 Conversão do sistema hexadecimal para o decimal Novamente usamos o conceito básico de formação de um número já explicado.

22 Exemplificando. Converter 2D 16 em decimal. 2D 16 = 2x x16 0 = = 45. Vejamos outro exemplo. Converter 1C3 16 em decimal. 1C3 16 = 1x x x16 0 1C3 16 = 1x x16 + 3x1 1C3 16 = C3 16 =

23 Conversão do sistema decimal para o hexadecimal Novamente usamos divisões sucessivas.

24 Exemplificando. Converter em hexadecimal (E) = 3E8 16

25 Converter em hexadecimal = 78 16

26 Conversão do sistema hexadecimal para o binário É análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez, precisamos de quatro bits para representar cada dígito hexadecimal.

27 Exemplificando. Converter AB3 16 em binário. AB3 16 = { { { = A B 3 Vejamos outro exemplo. Converter F8DD 16 em binário. F8 DD16 = { { { { = F 8 D D

28 Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal Novamente é análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez agrupamos os bits de 4 em 4 à partir da direita. Exemplificando. Converter em hexadecimal = = 4E 16 Converter em hexadecimal = = 31B 16

29 Operações Aritméticas ticas no Sistema binário Adição A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma que uma adição no sistema decimal. Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base 2. Seja a operação

30 Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a regra do transporte para a próxima coluna. Assim, dizemos que dá 3 e vai um. Este transporte vai um é computado na soma da próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente usamos o transporte e dizemos que dá 0 e vai um abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1. Obtemos desta forma o resultado 103.

31 Adição no sistema binário Vamos agora para o sistema base 2, como temos apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis casos que ocorrerão na soma por colunas: a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 e) Nos casos a, b e c não houve transporte. 11

32 No caso d houve transporte, o resultado é 0 e vai um e no caso e realizamos a soma de três parcelas incluindo um transporte, o resultado é 1 e vai um. Vamos agora efetuar , temos:

33 Outro exemplo, efetuar Ainda outro exemplo, efetuar

34 Subtração no sistema binário Como o método também é análogo ao da subtração no sistema decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na subtração por colunas. a(1)) 0 b(2)) 0 c(3)) 1 d(4))

35 No caso b, o resultado será 1, mas ocorrerá um transporte para a coluna seguinte, que deve ser acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos efetuar

36 Outro exemplo, vamos efetuar Neste caso 0-1= deve obter um empréstimo da casa superior que também é 0 por isso o empréstimo terá de ser realizado da 4º casa(vira 0) para a 3º casa(vira 10), o empréstimo tem que ser feito para a 1º casa, então a 3º casa empresta 1 (vira de 10 para 1) para a 2º casa que (vira 10) que tem que emprestar 1 (vira de 10 para 1) para a 1º casa que vira 10. Realiza-se a subtração de 10-1 nas primeiras casas resultando 1. Realiza-se a subtração de 1-0 nas segundas casas resultando 1. Realiza-se a subtração de 1-1 nas terceiras casas resultando 0. Realiza-se a subtração de 0-0 nas segundas casas resultando 0. Realiza-se a subtração de 1-0 nas segundas casas resultando 1.

37 Para ilustrar o processo da subtração binária, vamos subtrair 1101 de A linha "empréstimo" nos mostra o valor de cada dígito do minuendo depois da ocorrência de cada transporte. Lembre-se que o binário 10 é igual ao decimal 2. Na primeira coluna, 1 de 1 resulta 0 (regra 2). Então, 0 de 1 na segunda coluna resulta 1 (regra 3). Na terceira coluna, 1 de 0 necessita de um empréstimo da quarta coluna. Assim, 1 de 10 2 resulta 1 (regra 4). O minuendo na quarta coluna é agora 0, devido ao empréstimo. Portanto, um empréstimo é necessário da quinta coluna, de maneira que 1 de 10 2 na quarta coluna resulta 1 (regra 4). Devido ao empréstimo anterior, o minuendo na quinta coluna é agora 0 e o subtraendo é 0 (não existe), de modo que 0 de 0 resulta 0 (regra 1). O 0 na quinta coluna não é mostrado na diferença pois, não é um bit significativo. Assim a diferença entre e é

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