Representação de Dados e Sistemas de Numeração

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1 1 Representação de Dados e Sistemas de Numeração Sistema de numeração decimal e números decimais (base 10) Sistema de numeração binário e números binários (base 2) Conversão entre binário e decimal Sistema de numeração hexadecimal e números hexadecimais (base 16) Conversão entre hexadecimal e outras bases Números octais (base 8) Representação de números reais em binário Operações aritméticas com números binários: Soma, subtração, multiplicação e divisão Complemento a 1 e complemento a 2 de números binários Números binários com sinal Operações aritméticas com números binários com sinal Representação de dados alfanuméricos: códigos ASCII e Unicode

2 2 Sistema de Numeração Decimal Forma de representação de números usada no dia-a-dia 10 algarismos: 0 a 9 Números decimais: números na base 10 Notação: Sistema posicional: Posição de cada dígito em um número é associada a um peso Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda: Base 10 Potências de 10:

3 3 Exemplos: Sistema de Numeração Decimal = ( ) + ( ) + ( ) = (6 100) + (4 10) + (7 1) = =

4 4 Sistema de Numeração Binário Forma de representação de n os usada em computadores e sistemas digitais 2 algarismos: 0 e 1 Números binários: números na base 2 Notação: Sistema posicional: Posição de cada bit em um número é associada a um peso Valor do número: somatório dos bits multiplicados pelos pesos Pesos dos bits de números inteiros, da direita para esquerda: Base 2 Potências de 2:

5 5 Exemplos: Sistema de Numeração Binário = (1 2 3 ) + (0 2 2 ) + (0 2 1 ) + (1 2 0 ) = (1 8) + (0 4) + (0 2) + (1 1) = = =

6 Contagem em Binário Contagem de 0 a 3 Contagem de 0 a 7 Com 2 bits: Número Número decimal binário Número Número decimal binário Representa 4 (2 2 ) valores diferentes: de 0 a 3 (2 2 1) Com 3 bits: Representa valores diferentes: de 0 a 6

7 Contagem em Binário: de 0 a 15 Com 4 bits: Representa Número decimal Número binário valores diferentes: de 0 a 7

8 8 Contagem em Binário: de 0 a 15 Número decimal Número binário

9 9 Sistema de Numeração Binário Com n bits: Representa 2 n valores diferentes Conta de 0 a 2 n 1 Com n = 5 bits: Representa 2 5 = 32 valores diferentes Conta de 0 a = 31 Com n = 6 bits: Representa Conta de Com n = 10 bits: Representa Conta de a a valores diferentes valores diferentes

10 10 Exemplos: Conversão de Binário para Decimal = (1 2 6 ) + (1 2 5 ) + (0 2 4 ) + (1 2 3 ) + (1 2 2 ) + (0 2 1 ) + (1 2 0 ) = (1 64) + (1 32) + (0 16) + (1 8) + (1 4) + (0 2) + (1 1) = = bit mais bit menos significativo significativo

11 11 Conversão de Decimal para Binário Método de sucessivas divisões por 2: Divide número decimal por 2 Continuamente, divide quociente por 2, até chegar no quociente 0 Restos da divisão formam número binário 1 o resto: bit menos significativo Último resto: bit mais significativo Exemplo: / 2 = 6 resto 0 bit menos significativo 6 / 2 = 3 resto 0 3 / 2 = 1 resto 1 1 / 2 = 0 resto 1 bit mais significativo =

12 12 Exemplos: Conversão de Decimal para Binário

13 13 Sistema de Numeração Hexadecimal Forma compacta de representar números binários 16 símbolos: 0 a 9 e A a F (valendo de 10 a 15) Números hexadecimais: números na base 16 Notação: 1C 16 ou 1C h Sistema posicional: Posição de cada dígito em um número é associada a um peso Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda: Base 16 Potências de 16:

14 14 Sistema de Numeração Hexadecimal Exemplo: 1C 16 = ( ) + (C 16 0 ) = (1 16) + (C 1) = (1 16) + (12 1) = = 28 10

15 15 Contagem em Hexadecimal: de 0 a 15 Número Número Número decimal binário hexadecimal A B C D E F

16 Contagem em Hexadecimal Base Base Base Base Base A0 240 F A1 241 F A2 242 F A3 243 F A4 244 F A5 245 F A6 246 F A F A8 248 F A9 249 F9 10 A 26 1A 42 2A 170 AA 250 FA 11 B 27 1B 43 2B 171 AB 251 FB 12 C 28 1C 44 2C 172 AC 252 FC 13 D 29 1D 45 2D 173 AD 253 FD 14 E 30 1E 46 2E 174 AE 254 FE 15 F 31 1F 47 2F 175 AF 255 FF 16

17 17 Conversão de Binário para Hexadecimal Cada dígito hexadecimal corresponde a 4 bits 16 = 2 4 Método: Quebra número binário em grupos de 4 bits, começando no bit menos significativo Substitui cada grupo de 4 bits pelo símbolo hexadecimal correspondente Exemplos: C A

18 18 Método inverso: Conversão de Hexadecimal para Binário Substitui cada dígito hexadecimal pelo grupo de 4 bits correspondente Exemplo: 1 0 A Exemplos: C F 8 E A 16

19 19 Conversão de Hexadecimal para Decimal 1 o método: Converter de hexadecimal para binário Depois, converter de binário para decimal Exemplos: 1C 16 = A = = = = 28 10

20 20 Conversão de Hexadecimal para Decimal 2 o método: Usar potências de 16 Exemplo: B2F8 16 = (B 16 3 ) + ( ) + (F 16 1 ) + ( ) = (B 4096) + (2 256) + (F 16) + (8 1) = ( ) + (2 256) + (15 16) + (8 1) = =

21 21 Exemplo: Conversão de Hexadecimal para Decimal E5 16 =

22 22 Conversão de Decimal para Hexadecimal 1 o método: Converter de decimal para binário Depois, converter de binário para hexadecimal Exemplo: / 2 = 325 resto / 2 = 162 resto / 2 = 81 resto 0 81 / 2 = 40 resto 1 40 / 2 = 20 resto 0 20 / 2 = 10 resto 0 10 / 2 = 5 resto 0 5 / 2 = 2 resto 1 2 / 2 = 1 resto 0 1 / 2 = 0 resto A 16

23 23 Conversão de Decimal para Hexadecimal 2 o método: Repetidas divisões por 16 até obter quociente 0 Restos formam número hexadecimal Exemplo: / 16 = 40 resto 10 A menos significativo 40 / 16 = 2 resto / 16 = 0 resto 2 2 mais significativo = 28A 16

24 Sistema de Numeração Octal 8 símbolos: 0 a 7 Números octais: números na base 8 Notação: Sistema posicional: Posição de cada dígito em um número é associada a um peso Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda: Base 8 Potências de 8: Exemplo: = (2 8 3 ) + (3 8 2 ) + (7 8 1 ) + (4 8 0 ) = (2 512) + (3 64) + (7 8) + (4 1) = =

25 25 Representação de Números Reais na Base 10 Sistema de numeração decimal: Digitos à esquerda do ponto decimal: potências de 10 positivas Digitos à direita do ponto decimal: potências de 10 negativas..., , 1 0, 01 0,

26 26 Exemplo: Representação de Números Reais na Base , = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = (2 100) + (4 10) + (3 1) + (7 0, 1) + (5 0, 01) = , 7 + 0, 05 = 243, 75

27 27 Representação de Números Reais na Base 2 Sistema de numeração binário: Bits à esquerda do ponto binário: potências de 2 positivas Bits à direita do ponto binário: por potências de 2 negativas..., , 5 0, 25 0,

28 28 Exemplos: Representação de Números Reais na Base , 11 2 = (1 2 3 ) + (1 2 1 ) + (1 2 1 ) + (1 2 2 ) = (1 8) + (1 2) + (1 0, 5) + (1 0, 25) = , 5 + 0, 25 = 10, Conversão de números reais de binário para decimal 11, =

29 Conversão de Números Reais de Decimal para Binário Método de sucessivas multiplicações por 2: Multiplica parte fracionária do número por 2 Continuamente, multiplica parte fracionária do resultado por 2, até chegar no resultado 1 (parte fracionária com zeros) ou quando o número desejado de casas decimais for alcançado Parte inteira dos resultados formam número binário 1 o resultado: bit mais significativo Último resultado: bit menos significativo Exemplo: 4, = Parte inteira: 4 10 = Parte fracionária: 0, = , = 0, 625 parte inteira 0 bit mais significativo 0, = 1, 25 parte inteira 1 0, 25 2 = 0, 5 parte inteira 0 0, 5 2 = 1 parte inteira 1 bit menos significativo 29

30 30 Exemplo: Conversão de Números Reais de Decimal para Binário 3, =

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