Sistemas de Numeração. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

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1 Sistemas de Numeração

2 Por que Binário? Primeiros computadores projetados eram decimais Mark I e ENIAC John von Neumann propôs processamento com dados binários (1945) Simplificava o projeto de computadores Usado tanto por instruções como por dados On Relação natural entre comutadores Verdadeiro on/off e cálculos com lógica Booleana Sim Off Falso Não 1 0

3 Contagem e Aritmética Decimal ou sistema de base 10 Origem: contando nos dedos Dígito vem do Latim digitus, que significa dedo Base: o número de dígitos diferentes no sistema numérico, incluindo zero Decimal ou base 10: 10 dígitos, 0 até 9 Binário ou base 2: 2 dígitos, 0 e 1 Bit (dígito binário) Octal ou base 8: 8 dígitos, 0 até 7 Hexadecimal ou base 16: 16 dígitos, 0 até F Exemplos: = A 16 ; = B 16

4 Considerando os Bits Bits são normalmente armazenados e manipulados em grupos 8 bits = 1 byte 4 bytes = 1 palavra (em sistemas de 32 bits) Número de bits usados em cálculos Afetam a precisão dos resultados Limitam o tamanho dos números manipulados pelo computador

5 Números: Representação Física Diferentes numerais, mesmo número de laranjas Homem das cavernas: IIIII Romano: V Arábico: 5 Diferentes bases, mesmo número de laranjas

6 Sistemas de Numeração Romanos: independentes da posição Moderno: baseado na notação posicional (valor posicional) Decimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 10. Binário: sistema de notação posicional baseado potências de 2 Octal : sistema de notação posicional baseado em potências de 8 Hexadecimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 16

7 Sistemas Numéricos mais Comuns Sistema Base Símbolos Usado por humanos? Usado por computadores? Decimal 10 0, 1, 9 Sim Não Binário 2 0, 1 Não Sim Octal 8 0, 1, 7 Não Não Hexadecimal 16 0, 1, 9, A, B, F Não Não

8 Quantidades / Contagem (1 de 3) Decimal Binário Octal Hexadecimal

9 Quantidades / Contagem (2 de 3) Decimal Binário Octal Hexadecimal A B C D E F

10 Quantidades / Contagem (3 de 3) Decimal Binário Octal Hexadecimal Etc.

11 Conversão Entre Bases Possibilidades: Decimal Octal Binário Hexadecimal

12 Exemplo = = 31 8 = Base

13 Decimal para Decimal (só para entender) Decimal Octal Binário Hexadecimal

14 Peso => 5 x 10 0 = 5 2 x 10 1 = 20 1 x 10 2 = Base

15 Binário para Decimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

16 Binário para Decimal Técnica Multiplique cada bit por 2 n, onde n é o peso do bit O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita Adicione os resultados

17 Exemplo Bit => 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 0 x 2 4 = 0 1 x 2 5 =

18 Octal para Decimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

19 Octal para Decimal Técnica Multiplique cada bit por 8 n, onde n é o peso do bit O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita Adicione os resultados

20 Exemplo => 4 x 8 0 = 4 2 x 8 1 = 16 7 x 8 2 =

21 Hexadecimal para Decimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

22 Hexadecimal para Decimal Técnica Multiplique cada bit por 16 n, onde n é o peso do bit O peso é a posição do bit, começando de 0 à direita Adicione os resultados

23 Exemplo ABC 16 => C x 16 0 = 12 x 1 = 12 B x 16 1 = 11 x 16 = 176 A x 16 2 = 10 x 256 =

24 Decimal para Binário Decimal Octal Binário Hexadecimal

25 Decimal para Binário Técnica Divida por dois, guardando os restos Primeiro resto é o bit 0 (bit menos significativo) Segundo resto é o bit 1 Etc.

26 Exemplo =? =

27 Octal para Binário Decimal Octal Binário Hexadecimal

28 Octal para Binário Técnica Converta cada dígito octal para uma representação binária equivalente de 3 bits

29 Exemplo =? =

30 Hexadecimal para Binário Decimal Octal Binário Hexadecimal

31 Hexadecimal para Binário Técnica Converta cada dígito hexadecimal para uma representação binária equivalente de 4 bits.

32 Exemplo 10AF 16 =? A F AF 16 =

33 Decimal para Octal Decimal Octal Binário Hexadecimal

34 Decimal para Octal Técnica Divida por 8 Guarde os restos

35 Exemplo =? =

36 Decimal para Hexadecimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

37 Decimal para Hexadecimal Técnica Divida por 16 Guarde os restos

38 Exemplo =? = D = 4D2 16

39 Binário para Octal Decimal Octal Binário Hexadecimal

40 Binário para Octal Técnica Divida os bits em grupos de três, começando à direita Converta para dígitos octais

41 Exemplo =? =

42 Binário para Hexadecimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

43 Binário para Hexadecimal Técnica Divida os bits em grupos de quatro, começando à direita Converta para dígitos hexadecimais

44 Exemplo =? B B = 2BB 16

45 Octal para Hexadecimal Decimal Octal Binário Hexadecimal

46 Octal para Hexadecimal Técnica Use Binário como uma representação intermediária

47 Exemplo =? E = 23E 16

48 Hexadecimal para Octal Decimal Octal Binário Hexadecimal

49 Hexadecimal para Octal Técnica Use Binário como uma representação intermediária

50 Exemplo 1F0C 16 =? 8 1 F 0 C F0C 16 =

51 Exercício Converta... Decimal Binário Octal Hexadecimal 1AF Não use calculadora! Pule a resposta Resposta

52 Exercício Converta Resposta Decimal Binário Octal Hexadecimal C AF

53 Potências mais Comuns (1 de 2) Base 10 Potência Prefixo Símbolo pico p 10-9 nano n 10-6 micro µ 10-3 mili m 10 3 kilo k 10 6 mega M 10 9 giga G tera T Valor

54 Potências mais Comuns (2 de 2) Base 2 Potência Prefixo Símbolo 2 10 kilo k 2 20 mega M 2 30 Giga G Valor O que são os valores de k, M, e G? Em computação, em particular com memórias, a interpretação de base-2 geralmente se aplica

55 Exemplo No laboratório 1. Clique duplo em Meu Computador 2. Clique com o botão direito em C: 3. Clique em Propriedades / 2 30 =

56 Exercício Espaço Livre Determine o espaço livre de todos os drives de um computador do laboratório Drive Bytes Espaço Livre GB A: C: D: E: etc.

57 Revisão multiplicando potências Para bases comuns, adicione os expoentes a b a c = a b+c = 2 16 = 65,536 ou = = 64k

58 Adição Binária (1 de 2) Dois valores de 1-bit A B A + B dois

59 Adição Binária (2 de 2) Dois valores de n-bits Adicione os bits individualmente Propague as sobras E.g.,

60 Multiplicação (1 de 3) Decimal (só para entender) 35 x

61 Multiplicação (2 de 3) Binário, dois valores de 1-bit A B A B

62 Multiplicação (3 de 3) Binário, dois valores de n-bits Como no caso de valores decimais E.g., 1110 x

63 Frações Decimal para decimal (só para entender) 3.14 => 4 x 10-2 = x 10-1 = x 10 0 =

64 Frações Binário para decimal => 1 x 2-4 = x 2-3 = x 2-2 = x 2-1 = x 2 0 = x 2 1 =

65 Frações Decimal para Binário x x x x x x etc.

66 Exercício Converta... Decimal Binário Octal Hexadecimal C.82 Não use calculadora! Pule a resposta Resposta

67 Exercício Converta Resposta Decimal Binário Octal Hexadecimal D.CC D C C.82

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