Sistemas de Numeração

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1 Sistemas de Numeração

2 Representação da Informação para seres humanos Números (1,2,3,4...) Letras (a,a,b,b,c,c...) Sinais de pontuação (:,;...) Operadores aritméticos (+,-,x,/)

3 Representação da Informação para computadores Apenas usam os dois níveis de sinal eléctrico: zero ou um. Alfabeto apenas com dois símbolos! (digitos binários ou bits) Toda a informação é representada apenas por conjuntos de bits.

4 Cálculos para os seres humanos Os cálculos aritméticos são feitos usando o sistema de numeração decimal. Numeração de base 10.

5 Cálculos para os computadores Executam todas as suas operações (quer sejam aritméticas ou lógicas) usando sistema binário, ou sistema de numeração de base 2.

6 Sistema Decimal

7 Sistema Decimal Ou de base 10 Utiliza 10 símbolos (algarismos) para representar quantidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} De um modo geral dizemos que a base de um sistema de numeração é dada pelo número de diferentes símbolos usados.

8 Sistema Decimal Ou de base 10 Um número decimal é formado por uma combinação de algarismos. Para obter a quantidade representada por um número temos de multiplicar cada um dos algarismos por uma potência de 10.

9 Sistema Decimal Ou de base

10 Sistema Decimal Ou de base ou 2 x x x x x 10 0

11 Sistema Decimal Ou de base 10 Como se representam os seguintes números em potências de 10? = 3x x x10 0 = 6x x x x10 0 = 5x x x10 0

12 Sistema Binário

13 Sistema Binário Ou de base 2 Tal como no sistema decimal temos unidades, dezenas, centenas, milhares, etc.. convencionamos que: Os dígitos binários 0 e 1 são bits 8 bits = 1 byte 16 bits = 1 word 32 bits = 1 double word

14 Sistema Binário Ou de base 2 Para contar em decimal, usamos intuitivamente um algoritmo onde, da direita para a esquerda, incrementamos um contador a 0 e quando passa o valor 9 (valor do símbolo mais elevado) voltamos a zero e incrementamos em um o algarismo imediatamente à esquerda.

15 Sistema Binário Ou de base 2 Para contar em binário usamos exactamente o mesmo algoritmo que no sistema decimal, mas o valor máximo é 1. Assim temos uma contagem que funciona do seguinte modo: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0110, 0111, 1000, etc.

16 Sistema Binário Ou de base 2 Existem 10 tipos de pessoas no mundo. Os que percebem binário e os que não percebem binário.

17 Conversão Entre Binário e Decimal

18 Conversão Binário - Decimal Para converter em decimal um número representado por uma sequência de bits temos de multiplicar cada um dos bits por uma potência de 2, à semelhança do que fazemos no sistema decimal quando representamos um algarismo em potências de 10.

19 Conversão Binário - Decimal 10100

20 Conversão Binário - Decimal x x x x x

21 Conversão Binário - Decimal = = 2010 Indica a base do número!

22 Conversão Binário - Decimal A que correspondem no sistema decimal os seguintes números binários? = 1x x x x x2 0 = 1x x x x2 0 = 1x x2 1

23 Conversão Binário - Decimal A que correspondem no sistema decimal os seguintes números binários? = = = 610

24 Conversão Binário - Decimal = 255

25 Conversão Binário - Decimal Bit mais significativo (MSB: Most Significant Bit) Bit menos significativo (LSB: Least Significant Bit)

26 Conversão Entre Decimal e Binário

27 Conversão Decimal - Binário Para converter um número decimal na sua representação binária existem dois métodos possíveis. 1. Extraír potências de 2; 2. Dividir consecutivamente por 2.

28 Conversão Decimal - Binário 1. Extraír do número decimal potências na base 2 até à potência 2 0. Atribui-se de seguida ao número binário resultante um 1 para cada posição binária correspondente a cada potência extraída;

29 Conversão Decimal - Binário = 32 : demasiado alto = 16 : menor que = = = 8 : menor que = = 4 : demasiado alto = 2 : demasiado alto = 1 : igual a = Podemos ignorar o primeiro bit. Note que e representam o mesmo valor!

30 Conversão Decimal - Binário 2. Dividir o número decimal sucessivamente por dois até não ser possível. Os restos de cada operação formam o número binário. O quociente da última operação é o bit mais significativo. O resto da primeira operação é o bit menos significativo.

31 Conversão Decimal - Binário = LSB MSB

32 Conversão Decimal - Binário = LSB MSB

33 Conversão Decimal - Binário A que correspondem no sistema binário os seguintes números decimais? = = =

34 Operações Binárias

35 Adição Binária A adição binária segue os seguintes princípios: = = = = (0 com transporte de 1 para a posição imediatamente superior)

36 Adição Binária Qual o resultado das seguintes operações em binário?

37 Adição Binária = = = = = = = = = 5310

38 Subtração Binária A subtração binária segue as seguintes regras: 0-0 = = 1 (com empréstimo de 1 da posição imediatamente superior) 1-0 = = 0

39 Subtração Binária Qual o resultado das seguintes subtrações em binário?

40 Subtração Binária * 1001 = = = 510 *** 1000 = = = 710 * *** = = = 9210

41 Multiplicação Binária A multiplicação binária segue as mesmas regras que a decimal. Temos assim: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

42 Multiplicação Binária É necessário proceder à multiplicação parcial de cada um dos bits, começando pelo bit menos significativo. No fim somam-se todas as multiplicações parciais, com base nas regras de soma binária já mencionadas.

43 Multiplicação Binária Qual o resultado das seguintes multiplicações em binário? * * * 10012

44 Multiplicação Binária 1001 = 910 * 0011 = = = 910 * 1011 = = 14310

45 Divisão Binária A divisão binária funciona também de modo semelhante à divisão decimal. O método é o seguinte: 1. Selecciona-se do dividendo o mesmo número de bits que tem o divisor de entre os mais significativos; 2. Tenta-se dividir esse número pelo divisor. Se o número for maior que o divisor o primeiro bit do quociente é 1 senão é 0 e é feita outra tentativa usando outro dígito do dividendo.

46 Divisão Binária 3. Quando a divisão for possível, é introduzido um 1 no quociente e o divisor é subtraído à parte do dividendo usada; 4. O processo continua com o resultado desta subtração até que todo o dividendo seja usado. Da mesma forma que na divisão decimal podem ser acrescentados 0 s à direita da vírgula do dividendo no caso de não se obter o resto zero.

47 Divisão Binária

48 Divisão Binária A B C D A: Divisor B: Quociente C: Dividendo D: Resto

49 Divisão Binária / 5 = 5 (resto 1)

50 Divisão Binária Qual o resultado das seguintes divisões em binário? / / / 112

51 Divisão Binária / 4 = 8 (resto 0) / 3 = 3 (resto 0)

52 Sistema Hexadecimal

53 Sistema Hexadecimal Ou de base 16 No sistema decimal necessitamos de muitos dígitos para representar números relativamente pequenos, dificultando por vezes a vida dos programadores. Uma solução frequente é o uso de uma numeração hexadecimal.

54 Sistema Hexadecimal Ou de base 16 Como o nome indica, este sistema é formado por 16 símbolos diferentes: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} As letras correspondem aos valores decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente.

55 Sistema Hexadecimal Ou de base 16 Convém então ter sempre presente o seguinte quadro: Hex A B C D E F Dec

56 Sistema Hexadecimal Ou de base 16 Como nos sistemas de numeração anteriormente estudados, qualquer número do sistema hexadecimal pode ser desenvolvido em potências da sua base, ou seja, na base 16.

57 Conversão Entre Hexadecimal e Decimal

58 Conversão Hexadecimal - Decimal Para converter um número hexadecimal para o número decimal equivalente basta multiplicar cada dígito pela potência de 16 relativa à posição por ele ocupada e somar os resultados.

59 Conversão Hexadecimal - Decimal 13C

60 Conversão Hexadecimal - Decimal 13C = 1x x x16 0 = = 31610

61 Conversão Hexadecimal - Decimal A que correspondem no sistema decimal os seguintes números hexadecimais? A 16 FCF 16 = 1x x16 0 = 1610 = 1x x16 0 = 2610 = 15x x x16 0 =

62 Conversão Entre Decimal e Hexadecimal

63 Conversão Decimal - Hexadecimal Divide-se o número decimal sucessivamente por 16 até o resultado ser menor que 16. Os restos de cada operação formam o novo número hexadecimal. O valor do primeiro resto é o dígito menos significativo. O valor do último quociente é o dígito mais significativo.

64 Conversão Decimal - Hexadecimal Menos Significativo = 1A = A em hex! Mais Significativo

65 Conversão Decimal - Hexadecimal A que correspondem no sistema hexadecimal os seguintes números decimais?

66 Conversão Decimal - Hexadecimal = FF = = 4C516

67 Conversão Entre Binário e Hexadecimal

68 Conversão Binário - Hexadecimal A conversão entre binário e hexadecimal é bastante simples, tendo em conta que conjuntos de 4 bits só podem ter valores entre 0 e 15 (em decimal) Começando no bit menos significativo fazemse conjuntos de 4 bits convertendo-se cada um dos conjuntos para o correspondente hexadecimal.

69 Conversão Binário - Hexadecimal B D16

70 Adição e Subtração de Hexadecimais

71 Adição e Subtração Hexadecimais As operações no sistema hexadecimal seguem as mesmas regras dos sistemas anteriormente estudados. Em qualquer sistema de numeração o ponto fundamental a ter em conta é a base do sistema, porque as regras são basicamente as mesmas.

72 Adição e Subtração Hexadecimais A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F B C D E F A C D E F A 1B D E F A 1B 1C E F A 1B 1C 1D F A 1B 1C 1D 1E

73 Adição e Subtração Hexadecimais Qual o resultado das seguintes operações em hexadecimal? 1A F8D EA6116 ABC A C4B16

74 Adição e Subtração Hexadecimais 1A = = B = F8D3 = EA61 = E334 =

75 Adição e Subtração Hexadecimais ABC = = A = * * * 4A37 = C4B = DEC =

76 Outros Sistemas de Numeração

77 Outros Sistemas de Numeração Como pudemos ver, as conversões e cálculos seguem sempre regras muito semelhantes independentemente do sistema de numeração. O importante é ter em consideração a base do sistema que estamos a analisar.

78 Outros Sistemas de Numeração Um sistema bastante comum é o Sistema Octal, que usa apenas os dígitos: {0,1,2,3,4,5,6,7} Sistemas que tenham base inferior a 10 apenas usam os algarismos a que estamos habituados (do sistema decimal)

79 Outros Sistemas de Numeração Qual o valor decimal dos seguintes números? = 3x x8 0 = 2610 = 1x x x3 0 = 1010 = 4x x x x5 0 = 58610

80 Outros Sistemas de Numeração Qual o valor binário dos seguintes números? = 2610 = 58610

81 Outros Sistemas de Numeração = =

82 Outros Sistemas de Numeração Qual o resultado das seguintes operações no sistema octal?

83 Outros Sistemas de Numeração = = = * = = =

84 Outros Sistemas de Numeração Qual o resultado da conversão dos seguintes números decimais? em base em base em base 5

85 Outros Sistemas de Numeração = = = 1415

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