Sistemas de Numeração. Bases Numéricas e Conversão entre bases
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- Sandra Figueiroa Arruda
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1 Sistemas de Numeração Bases Numéricas e Conversão entre bases
2 Objetivos Contar em binário, octal, hexadecimal Conversões: DECIMAL BINÁRIO OCTAL HEXADECIMAL
3 Histórico A origem dos conceitos sobre números não é um fato bem determinado no tempo; sabe-se apenas que o homem pré-histórico já empregava algum modo de contar grandezas, como: um homem, dois peixes, ou dois animais. Os primeiros registros sobre o emprego mais ordenado de números remontam a a.c., com as civilizações da Mesopotâmia. Os sumérios e seus sucessores, os babilônios, deixaram muitas informações a respeito do uso de seus sistemas numéricos, relativos a práticas comerciais bastante organizadas.
4 Símbolo é uma marca visual ou gráfica que representa um objeto que desejamos identificar, uma idéia ou conceito que desejamos expressar. Numeral é um símbolo designado para representar um número, como, por exemplo: 2, 7, 6+9, 57%. Número é a ideia que o símbolo representa. Um número pode ser representado por diversos numerais, como, por exemplo: 5 = 7-2 = 4+1
5 Sistema de Numeração não Posicional O sistema de numeração romano é constituído de um conjunto N de 7 algarismos diferentes, cada um representando um valor fixo, independentemente de sua posição relativa no número: N = (I, V, X, L, C, D, M) Indicando, respectivamente, os valores: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000 Observe que neste sistema não há representação para o zero.
6 Sistema de Numeração Posicional Um sistema posicional de formação de números é definido pelo fato de o valor de cada algarismo componente do número ser diferente, conforme sua posição no número, seu valor absoluto é modificado por um fator (ou peso), o qual varia conforma a posição do algarismo, sendo crescente da direita para a esquerda. Por exemplo, no sistema decimal: 547 (10) = 5x x x10 0 =
7 Base A noção de base de numeração está relacionada à ideia de grupamento de valores, para permitir a contagem e as operações aritméticas de qualquer valor, grande ou pequeno, através do emprego de pequena quantidade de símbolos diferentes. O problema é originado na necessidade do homem escrever (ou dizer) números de valor elevado, utilizando, para isso, um mínimo de símbolos possíveis. Pode-se simplesmente definir a base de um sistema de numeração como sendo a quantidade de símbolos ou dígitos ou algarismos diferentes que o referido sistema emprega para representar números.
8 Algarismos e Números Em um sistema posicional de base fixa B, um número é usualmente representado por uma série de algarismos pertencentes ao conjunto disponível para a referida base. Assim, dada uma base B, teremos nessa o conjunto S de algarismos: S = { d b-1, d b-2, d b-3,..., d 1, d 0 } Cada número que se deseja escrever será representado por: N = d n-1, d n-2, d n-3,..., d 1, d 0 Sendo N o número e n a quantidade de algarismos desse número
9 Sistema Decimal: Histórico O sistema decimal parece ter sido desenvolvido (ou pelo menos registrado) na Índia, por volta de 600 a.c., tendo sido passado aos persas e transcrito em arábico, razão pela qual foi introduzido na Europa, quando da invasão bárbara, sendo até hoje seus algarismos chamados arábicos. Embora não fosse o primeiro, teve a particularidade interessante da criação do algarismo zero, incluído na constituição dos números. Outros sistemas posicionais mais antigos, como o sexagonal (base 60) dos babilônios, e o duodecimal (base 12), não possuíam representação para o zero.
10 Sistema Decimal: Como Funciona Zera e vai-um
11 Sistema Numérico Binário Só existem dois algarismos: 0 e Zera e vai-um 11
12 Conversão Decimal Binário Decimal Binário Problema: como converter 37 (10) para a base 2? E (2) para a base 10?
13 Conversão Decimal Binário (10) = (2 )
14 Conversão Decimal Binário 1001 (2) =? (10) = 1x x x x2 0 = = 9 (10) Você conhece algum código binário?
15 Código Morse É Binário Samuel F. B. Em 1844 aperfeiçoou o telégrafo usando um código binário: o código Morse usa combinações de dois símbolos, um ponto (.) e um traço (-) para representar as letras do alfabeto. No código Morse S é... e O é _ Sos:... _...
16 Exercícios de Fixação A) (2) =? (10) B)11111 (2) =? (10) C)101 (10) =? (2) D)56 (10) =? (2)
17 Sistema Binário No sistema binário de numeração, existem apenas 2 algarismos: 0 (zero) e 1(um). Por isso sua base é dois. Cada dígito ou algarismo binário é chamado de bit (do inglês binary digit, ou seja dígito binário). Um bit é a menor unidade de informação nos circuitos digitais.
18 Sistema Binário Por exemplo, é um número binário de 6 bits LSB do inglês least significant bit ou seja, bit menos significativo MSB do inglês most significant bit ou seja, bit mais significativo
19 Sistema Octal O sistema octal de numeração é um sistema de base 8. No qual existem 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
20 Decimal Octal Decimal Octal
21 Conversão Decimal Octal (10) = 447 (8 ) 4 4
22 Conversão Octal Decimal 135 (8) = 1x x x8 0 = = (8) = 1x x x x8 0 = = 851
23 Conversão Octal Binário Quando uma base é potência da outra (2 3 = 8) a conversão se faz direto pela tabela. Octal Binário Octal Binário 607 (8) = (2) 34 (8) = (2) Binário Octal (2) = 35 (8) 1011 (2) = 13 (8)
24 Sistema Octal -Exercícios 1) Converter 295 (10) para a base 8? 2) Converter 596 (10) para a base 8? 3) Converter 135 (8) para a base 10? 4) Converter 278 (8) para a base 10? 5) Converter 76 (8) para a base 2? 6) Converter (2) para a base 8? 7) Converter 1043 (8) para a base 2? 8) Converter (2) para a base 8? 9) Converter 1048 (10) para a base 2? 10) Converter 586 (10) para a base 8?
25 Sistema Hexadecimal O sistema hexadecimal tem a base símbolos que constituem a numeração hexadecimal são os seguintes algarismos e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
26 Relação entre numeração decimal e hexadecimal
27 Sistema Hexadecimal Este sistema é muito utilizado na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais, tratando-se de um sistema numérico muito importante, sendo aplicado em projetos de software e hardware.
28 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal Da mesma forma que nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Para exemplificar vamos transformar o número 456 em hexadecimal:
29 Conversão Decimal Hexadecimal Divisão pela Base 16: (10) = 1C8 (16 )
30 Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Decimal A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste caso, a base é 16. Como exemplo, vamos utilizar o número B1 e convertê-lo em decimal:
31 Conversão Hexadecimal para Decimal B1 (16) = 11x x16 0 = = 177 3FA (16) = 3x x x16 0 = = 1018
32 Exercícios de Fixação a) 256 (10) =? (16) b)762 (10) =? (16) c)faca (16) =? (10) d)7cd (16) =? (10) f)4021 =? (10) (16)
33 Trabalho em Dupla 1) Converta os seguintes valores decimais em binário: A) 47 R= B) 136 R= ) Converta os seguintes números binários em decimal: A) R=207 B) R=995 3) Converta cada número octal em seu equivalente decimal: A) 676 R=446 B) 126 R=86 4) Converta cada número octal do item 3 em binário:a) R= B) R= ) Converta cada número binário do item 2 em octal:a) R= 317 B) R= ) Converta os seguintes números decimais em hexa: A)22 R=16 B) 384 R=180 7) Converta os seguintes números hexa em decimal: A) 1CFA R=7418 B) 1D6 R=470 8) Qual o número binário seguinte a 11011? R=11100
34 Conversão Hexadecimal Binário É semelhante à conversão do sistema octal para o sistema binário, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. Decimal Binário Octal Hexa Decimal Binário Octal Hexa A B ) 14 C D E F
35 Conversão Hexadecimal Binário )
36 Conversão Binário Hexadecimal )
37 RESUMO: )
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