Sistemas de Numeração e Conversão de Base

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1 1 No estudo de sistemas digitais recorre-se a diferentes sistemas de numeração. Sistema Decimal É o nosso sistema natural. Dígitos 0,1,2,...,9. Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.

2 2 Por exemplo, o número 7986 traduz um valor numérico calculado por: 7986 = 7x x x x10 0 Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.

3 Sistema de Numeração Binário Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2. A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1. Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2. 3

4 Por exemplo, o número (o subscrito indica a base) é representado pela seqüência de dígitos binários: = 1x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x = = Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digital digit), conjuntos de 4 bits são chamados nibble e de 8 bits denominam-se byte. 4

5 5 Conversão binário para decimal Notamos, que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito. O algarismo menos significativo ( base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.

6 6 Abaixo temos algumas potências de

7 7 Exemplo: Converter o número em decimal. Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos: = = 1x2 3 +1x2 2 +1x2 1 +0x2 0 = = = Exemplo: Converter o número em decimal = 1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +0x x x = = 42 10

8 8 Conversão decimal para binário Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado que cada divisão desloca o ponto decimal uma posição para a esquerda temos: N...x8 x4x2x1 x8x4 x2 resto x1 2 2 O dígito menos significativo x 1 corresponde ao resto da divisão inteira e o quociente corresponde a um novo número N =...x 8 x 4 x 2, onde x 2 passa a ser o algarismo menos significativo.

9 9 Aplicando divisões sucessivas e considerando o resto, obtém-se a seqüência de digitos binários que representam o número N no sistema binário. Vejamos o exemplo: =

10 Vejamos outro exemplo: =

11 Sistema de Numeração Octal Neste sistema a base é 8, e os dígitos são 0,1,2, Há uma relação especial entre o sistema octal e o sistema binário que reside no fato de que três dígitos binários representarem oito (2 3 ) números distintos. Esta relação permite efetuar conversões entre estes sistemas de forma quase imediata como veremos adiante.

12 Conversão do sistema Octal para o decimal Utilizamos o conceito básico de formação de um número já explicado. 12 Observemos o exemplo: Converter em decimal = 3x x x = =

13 Vejamos outro exemplo: Converter em decimal = 4x x x = = Conversão do sistema Decimal para o Octal 13 O processo é análogo ao da conversão decimal para binário, ou seja, empregar divisões sucessivas pela base.

14 14 Exemplificando: Converter para octal = Converter para octal = 200 8

15 Conversão do sistema Octal para binário 15 Para realizar a conversão basta converter cada dígito octal no seu correspondente binário. Isto se deve à relação anteriormente mencionada. Exemplificando. Converter 77 8 em binário Converter em binário

16 Conversão do sistema Binário para o Octal Utiliza-se o processo inverso do anterior. 16 Separamos o número binário em grupos de três bits à partir da direita. Depois, convertemos cada grupo de bits para o sistema octal. Exemplificando: Converter em octal

17 = = Vejamos outro exemplo: Converter em octal = = 21 8 Converter em octal = = N.º Decimal 10 N.º Binário 2 N.º Hexadeci mal 16 N.º Octal A B C D E F 17

18 Sistema de Numeração Hexadecimal Este sistema tem base 16 e portanto possui 16 dígitos. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F são os dígitos deste sistema. O dígito A representa a quantidade 10, B representa 11, até o F que representa

19 Este sistema é bastante utilizado em microcomputadores tanto em hardware como em software. Conversão do sistema hexadecimal para o decimal. Novamente usamos o conceito básico de formação de um número já explicado. 19

20 20 Exemplificando. Converter 2D 16 em decimal. 2D 16 = 2x x16 0 = = 45. Vejamos outro exemplo. Converter 1C3 16 em decimal. 1C3 16 = 1x x x16 0 = = Conversão do sistema decimal para o hexadecimal. Novamente usamos divisões sucessivas.

21 Exemplificando. Converter em hexadecimal = 3E

22 22 Converter em hexadecimal = Conversão do sistema hexadecimal para o binário. É análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez, precisamos de quatro bits para representar cada dígito hexadecimal. N.º Decima l 10 N.º Binário 2 N.º Hexade cimal 16 N.º Octal A B C D E F 17

23 Exemplificando. Converter AB3 16 em binário. AB A B 3 Vejamos outro exemplo. Converter F8DD 16 em binário. 23 F8DD F 8 D D

24 24 Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal. Novamente é análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez agrupamos os bits de 4 em 4 à partir da direita. Exemplificando. Converter em hexadecimal = = 4E 16 Converter em hexadecimal = = 31B 16

25 Exercícios Propostos Efetue as conversões indicadas: Converta para o sistema decimal a) b) c) d) e) f) g) e) f) 20F 16 g) 4BE 16 h) 100A 16 i) 9F0 16 Converta para o sistema binário a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) F16 16 k) AA0B 16 l) D99F 16 m) C79 16 n) 200B 16 25

26 Converta para o sistema Octal a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) CBD 16 k) FADA 16 Converta para o sistema Hexadecimal a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

27 Realize as conversões a) em decimal b) em binário c) em sistema base a) em sistema ternário b) em sistema base 9 c) em binário

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