Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão)

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1 Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão) Anderson L. S. Moreira 1

2 O que fazer com essa apresentação 2

3 Agenda Breve revisão da aula anterior Introdução Sistemas de Numeração Conversão de Bases Representação de números Exemplos

4 Breve evolução dos componentes Válvula Circuito Integrado Transistores 4

5 Evolução dos processadores 5

6 6

7 Introdução Não tem como fugir: Matemática Computação Com o sistema se torna o mesmo: Tudo depende em parte de sistemas matemáticos de estudo; Porém qual o método mais prático de contagem?

8 Introdução No início utilizou-se o sistema de correspondência um-para-um, para cada objeto e os dedos das mãos; Aprimoramento foi o uso de traços: Os primeiros algarismos encontrados consistiam de marcas horizontais e verticais (como os acima). Podemos considerar os romanos como a evolução dos traços: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Além disso utilizou uma série de regras para formar números de grandeza maior: VI = 5+1 = 6 IV = 5-1 = 4 CXVI = = 116

9 Introdução A realização de cálculos com esse sistema, especialmente para operações como multiplicação e divisão era extremamente complexa e de aplicação praticamente impossível: Exercício 1 Procurar como realizar operações matemáticas com algarismos romanos. Posteriormente os árabes utilizaram-se de um sistema originário da Índia, que possuía 10 algarismos (0 a 9)

10 Introdução

11 Introdução Esse sistema começou a ser utilizado na Europa no século 12. Destaca-se pelas seguintes características: Existe um símbolo para o valor nulo; Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que seu predecessor; A notação é posicional; Cada posição possui um determinado peso.

12 Representação de números Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, onde a representa o número propriamente dito; B representa a base do sistema de numeração (B >= 2); x i representa os algarismos (0 x i B); e o intervalo de m a n-1 representa o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal. a = n 1 ( x B i i ) i= m

13 Representação de números Para os sistemas de numeração utilizam-se as seguintes regras: A base B de um sistema é igual à quantidade de algarismos distintos utilizados. Para a base decimal, tem-se 10 algarismos distintos (de 0 a 9); Quando uma posição é ocupada pelo maior algarismo e ela deve ser aumentada de uma unidade, esta posição recebe o símbolo nulo e a posição seguinte deve ser aumentada de uma unidade; O algarismo mais à direita (digito menos significativo) tem peso 1, o imediatamente a esquerda tem peso B, o seguinte peso B ao quadrado e assim sucessivamente; O valor de cada algarismo de um número é determinado multiplicando-se o algarismo pelo peso de sua posição; O valor de um número é determinado pela soma dos valores de cada algarismo.

14 A Informação e sua Representação Os computadores manipulam dados (sinais brutos e sem significado individual) para produzir informações. A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona. Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração.

15 A Informação e sua Representação Sistema de Numeração Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação. Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades. As quantidades em si não mudam, mudam apenas os símbolos usados para representá-las. A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. Representação numérica mais empregada: notação posicional.

16 Sistemas de Numeração Não Posicionais Valor atribuído a um símbolo é inalterável, independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade. Sistema de numeração Romano XXI XIX

17 Sistemas de Numeração Posicionais Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representa uma quantidade. Sistema de Numeração Decimal

18 Sistemas de Numeração Sistema de numeração código Operação básica contagem Grupo com um determinado número de objetos base (raiz) Sistemas de numeração básicos: Decimal Binário Octal Hexadecimal

19 Sistemas de Numeração Exemplos de Sistemas de Numeração Sistema Base Algarismos Binário 2 0,1 Ternário 3 0,1,2 Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de difícil manipulação visual, costuma-se representar externamente os valores binários em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos valores.

20 Sistemas de Numeração Padrões de Representação Letra após o número para indicar a base; Número entre parênteses e a base como um índice do número. Exemplo: Sistema Decimal 2763D ou (2763) 10 ou

21 Sistemas de Numeração Sistema Decimal (Base 10) Sistema mais utilizado. 10 símbolos para representar quantidades Peso representar quantidades maiores que a base. Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc. Exemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou = 2574

22 Sistemas de Numeração Sistema Binário (Base 2) Utiliza dois símbolos para representar quantidades. 0 e 1 Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico. Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: Expressão oral - diferente dos números decimais. Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit - MSB. Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - LSB.

23 Sistemas de Numeração Sistema Octal (Base 8) Utiliza 8 símbolos Exemplo: Expressão oral - similar ao sistema binário.

24 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal (Base 16) Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade A B C D E F Uso das letras - facilidade de manuseio. Exemplo: 5A3 16 Expressão oral - similar ao sistema binário.

25 Sistemas de Numeração Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se observar o seguinte: O número de dígitos usado no sistema é igual à base. O maior dígito é sempre menor que a base. O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos significativo à direita Um vai-um de uma posição para outra tem um peso igual a uma potência da base. Em geral se toma a base decimal como referência.

26 Sistemas de Numeração Decimal Binário Octal Hexadecimal A B C D E F

27 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Procedimentos básicos: - divisão (números inteiros) - polinômio - agrupamento de bits OCTAL

28 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Divisão (Decimal outro sistema) Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que resto seja menor do que a base. Valor na base = composição do último quociente (MSB) com restos (primeiro resto é o bit menos significativo - LSB)

29 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Divisão (Decimal outro sistema) Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes. Ex.: (125) 10 = (? ) 2 (538) 10 = (? ) 16

30 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Notação Polinomial ou Posicional Válida para qualquer base numérica. LEI DE FORMAÇÃO (Notação ou Representação Polinomial): Número = a n n 1 n 2 0 n b + an 1 b + an 2b a0.b a n = algarismo, b = base do número n = quantidade de algarismo - 1

31 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Ex.: a) ( ) 2 = (? ) 10 ( ) 2 = 1x x x x x x x2 0 = b) (21A) 16 = (? ) 10 (21A) 16 = 2x x x16 0 =

32 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Agrupamento de Bits Sistemas octal e hexa binário (e vice versa) associando 3 bits ou 4 bits (quando octal ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa. Ex.: ( ) 2 = (? ) 16 (A79E) 16 = (? ) 2

33 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Conversão octal hexadecimal Não é realizada diretamente - não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis. Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer - base intermediária (base binária) Conversão em duas etapas: 1 - número: base octal (hexadecimal) binária. 2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal).

34 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Ex.: a) (175) 8 = (? ) 16 (175) 8 = ( ) 2 = (7D) 16 b) (21A) 16 = (? ) 8 (21A) 16 = ( ) 2 = (1032) 8

35 Sistemas de Numeração Conversão entre Sistemas de Numeração Conversão de Números Fracionários Lei de Formação ampliada (polinômio): Exemplo: (101,110) 2 = (? ) = (5,75) 10

36 Sistemas de Numeração Conversão de Números Fracionários Decimal outro sistema Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária do resultado seja zero. Exemplo: (8,375) 10 = (? ) 2

37 Sistemas de Numeração Mostre que: 5,8 10 = 101, (uma dízima). 11,6 10 = 1011, a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, pois 11,6 = 2 x 5,8.

38 Sistemas de Numeração Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena tem um formato humanóide, quantos dedos ele tem nas duas mãos?

39 Sistemas de Numeração Solução: = 25 b 17 = 2xb 1 + 5xb 0 17 = 2b + 5 b = (17-5)/2 b = 6

40 Sistemas de Numeração Elabore um programa que realiza conversões entre sistemas de numeração, conforme descrição apresentada na figura abaixo.

41 Sistemas de Numeração Como um computador identifica que um número é negativo?

42 Sistemas de Numeração A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números. As convenções mais usuais são as seguintes : Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude) Representação em complemento de 2

43 Representação de Números Inteiros (Complemento de 2) Representação de números inteiros positivos igual à representação usual já apresentada Representação de números inteiros negativos mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1. Esta operação equivale a: complemento de Exemplo : (8 bits) Exemplo : (8 bits) = = c2 = c2 =

44 Representação de Números Inteiros (Complemento de 2) Exemplo: Números inteiros codificados em binário de 8 bits em um sistema que utiliza complemento de 2: (-128, -127,..., , 0, +1, +2,..., +127) { , ,..., , , , , ,..., } Bit mais significativo informação de sinal (0 = positivo e 1 = negativo)

45 Representação de Números Inteiros (Complemento de 2) Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração. Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número ). A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos.

46 Representação de Números Inteiros (Complemento de 2) Exemplo: Escreva os números decimais abaixo na representação em complemento de 2 (utilizando 8 bits, se existir representação). a) -1 b) 20 c) 127 d) 128

47 Representação de Números Reais Até meados dos anos 1980, cada fabricante de computador tinha seu próprio formato para representar números em ponto flutuante. Solução: criação do Padrão 754 (IEEE 1985). O Padrão IEEE 754 procurou uniformizar a maneira como as diferentes máquinas representam os números em ponto flutuante, bem como devem operá-los. O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.

48 O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante O padrão IEEE 754 define três formatos: Precisão simples (32 bits) Precisão dupla (64 bits) Precisão estendida (80 bits) Os formatos de precisão simples e precisão dupla usam a base 2 para o significando e a notação em excesso para o expoente.

49 O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante Bits Significando Sinal Expoente Precisão simples Bits Significando Sinal Expoente Precisão dupla

50 O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante Precisão Sinal Expoente(+/-) Significando Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00] Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00] Sinal: 0 = + e 1 = - Combinações: Sinal + Expoente + Significando Notação em excesso de 127 (bit de polarização): precisão simples. Notação em excesso de 1023 (bit de polarização): precisão dupla.

51 Grandes números Factor multiplicador :1024 Símbolo Lê-se Equivale a Valor binário Valor decimal Valor decimal aproximado K Kilo M Mega 1024 K G Giga 1024 M T Tera 1024 G Utilizam-se mais frequentemente para expressar a capacidade de memória de um computador (em bytes). Exemplos: 512 MB, 40 GB, 2 TB. José Delgado

52 Cálculo de potências de 2 Potência 2 Decomposição Ou seja Resultado * K * 16 1M * 2 2 1K * / K / 4 16K * 2 7 1M * M * * K * 1K 1M * 1K 1M 4K 1G José Delgado

53 Essencial saber! O computador é a verdadeira caixa que mudou o mundo, mas não por mérito próprio; Computador executa cegamente as instruções que lhe dão sem saber o que está fazendo; A inteligência aparente de alguns programas é apenas do programador; O código de máquina consiste numa seqüência de instruções básicas que o computador sabe executar diretamente e que refletem diretamente os recursos internos que o processador dispõe; Os computadores atuais atuam utilizando a base binária com apenas dois símbolos: 1 e 0. Não entendem a linguagem natural; É preciso converter nossas idéias em código de máquina.

54 Exercícios Considere o número A3F9 C05BH. a) Quantos bits são necessários para o representar? b) Em complemento para 2 com 32 bits, é positivo ou negativo? c) Determine o seu complemento para 2 (apresente-o em hexadecimal).

55 Exercícios 1. Que gama de números em decimal é possível representar em binário com 12 bits: a) sem sinal b) em complemento para 2? Justifique. 2. Indique a que número decimal corresponde o número binário B, supondo que este: a) não tem sinal b) está em complemento para Considere o número decimal 20. Represente-o: a) em complemento para 2 com 8 bits (binário) b) em hexadecimal com 2, 4 e 8 dígitos.

56 Exercícios 4. Qual o maior e o menor número que consegue representar com 8 dígitos em hexadecimal? a) sem sinal b) em complemento para 2? 5. Quantos bits no total têm 12 Kbytes (resposta em decimal)? 6. Qual o valor do expoente da potência de 2 equivalente a K, M, G e T? 7. Utilizando estes factores de escala, indique o valor das seguintes potências de 2 (exemplo: 2 14 = 16 K): 2 26, 2 19, 2 38, 2 45.

57 Dúvidas 57

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