Notas de Cálculo Numérico

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Notas de Cálculo Numérico"

Transcrição

1 Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002

2 2 Cálculo Numérico

3 Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo numérico. Veremos que qualquer informação quantitativa, e portanto representada por números, tem uma precisão limitada. Esta preocupação com os erros numéricos não deve entretanto ser exagerada a ponto de duvidarmos da resposta que uma tarefa realizada no computador pode dar. No m, saberemos como domar estes erros de modo a não comprometer a informação. Existem basicamente três fontes de erro no cálculo numérico. A primeira está na própria medida que fazemos da quantidade de interesse. Por exemplo, a régua escolar é um instrumento de medida de comprimentos que tem uma precisão de 0.5 milímetro e suas medidas não são exatas. O resultado de uma medição tem este erro (de 0.5mm), para mais ou para menos. E imaginando que este é um dado de entrada num programa de computador, também os dados de saída terão erro, que normalmente serão maiores que este (precisamente o erro relativo, que deniremos adiante, será maior ou igual ao erro de entrada). Temos ainda, estritamente no uso do computador, os erros gerados na conversão de números entre bases e nas operações aritméticas. Vamos ilustrar como estes últimos podem ocorrer. 1.1 Conversão de bases Representamos um número inteiro na base decimal através de uma seqüência de algarismos (e um sinal): e podemos lê-lo como = , que é a soma de um número nito de termos, todos múltiplos de alguma potência (positiva) de 10. Os algarismos usados vão de 0 a 9. 3

4 4 Cálculo Numérico Generalizando, temos que um número na base b > 1 é representado por uma seqüência de algarismos de 0 a b 1 que se traduzem como a soma de termos, todos múltiplos de alguma potência de b: a n... a 1 a 0 = a 0 b 0 + a 1 b a n b n. Exemplos: Na base 3, 122 = Na base 2, 11 = Precisamos portanto de uma maneira de converter números entre as bases, pois com os algarismos queremos representar sempre a mesma idéia de número ou quantidade. Vamos denotar por (x) b o número x na base b. E vamos usar a base 10 como referência para nossos cálculos. Dado um número na base 10, como passá-lo para base b? Vejamos dois exemplos iniciais com inteiros (17) 10 = = (122) 3 Como conseguir os algarismos 122 dado o número 17 na base 10? Observe a expressão entre os dois sinais de igualdade acima. Vemos que o resto da divisão de 17 por 3 é 2, o primeiro algarismo. A parte inteira da fração 17 3 é 5 e o resto é 2. Agora tome o novo dividendo como 5, o quociente da razão anterior. Temos 5 = , resto 2 é o algarismo que multiplica a potência seguinte 3 1. O novo dividendo é 1 que, sendo menor que 3, já é o algarismo nal: = (122) 3. Atenção e cuidado com a inversão dos coecientes/algarismos para formar o número na última igualdade! Deve estar claro que, no parágrafo anterior, podemos substituir os números ou mesmo as bases por outros, e continuaremos com um processo nito. Este processo é o algoritmo de conversão de inteiros. Algoritmo é uma seqüência de instruções que pode ser programada. Acima pode-se abstrair o algoritmo da situação descrita. O fundamento do algoritmo de conversão é o assim chamado algoritmo de divisão de Euclides. Exercícios 1. Escreva o algoritmo da conversão de inteiros da base 10 para base Obtenha o número (17) 10 na base 2, isto é, em binário. 3. Faça o mesmo para os seguintes números: 18, 19, 30, Escreva o algoritmo da conversão de inteiros da base 10 para base b > 1, b inteiro. 5. Escreva o algoritmo de conversão de inteiros entre duas bases quaisquer. Vamos agora considerar o problema de conversão de um número real qualquer entre bases. Veja que um número qualquer na base b é dado por a n a 1 a 0. a 1 a 2 Cada a i é um algarismo. Por exemplo ( ) ( ) 1 1 = ( ) 10, = (0.5) Como cada número é a soma de sua parte inteira e sua parte fracionária, e a parte inteira já foi analisada, vamos olhar apenas a parte fracionária, depois do ponto decimal, pois a parte inteira já foi analisada acima.

5 Túlio Carvalho 5 Veja que para escrever 1/3 na base 10 precisamos de um número innito de algarismos, enquanto que para representar 1/2 na base dois só precisamos de um número nito. Aliás (1/2) 2 = = (0.1) 2. É aqui que entra o problema do computador, que só pode `guardar' na sua memória uma quantidade nita de algarismos. O armazenamento de um número no computador, através de sua representação binária, possui sempre o mesmo número de dígitos, que depende do equipamento, mas é sempre nito. Esta é uma fonte de erros, porque nem sempre a representação binária de um número é nita. O interessante e diferente agora é que, mesmo que um número tenha representação nita na base 10, ele não tem necessariamente uma representação nita na base 2. Vejamos como se converte um número fracionário da base 10 para a base 2: (0.25) 10 = = = (0.01) 2 A primeira igualdade é que precisamos generalizar. A idéia é usar que todo número entre 0 e 1 pode ser escrito como a soma da série de potências a a a n 2 n + com a i {0, 1}, e partir desta série absolutamente convergente para obter o algoritmo que determina a seqüência de algarismos a 1, a 2, a 3,. O fato de podermos escrever qualquer número x [0, 1) nesta forma pode ser justicado usando a teoria de séries. Pegue x (0, 1), como descobrir a 1? Multiplicando x por 2, temos 2x = a 1 + a e tomando a parte inteira dos dois lados: a 1 = [2x]. Como 2x < 2, a 1 é 0 ou 1. Para saber a 2, tomamos a parte fracionária de ambos os lados: y def = {2x} = 2x a 1. Este número é sempre menor que 1. a 2 é a parte inteira de 2y. Este processo continua indenidamente, ou até que y seja zero. Vejamos um exemplo. x = (0.2) 10. 2x = 0.4 < 1, logo a 1 = 0. Faça y = 2x a 1 = 0.4. Atribua y a x: x := y 1. Recomeçamos. 2x = 0.8 < 1, logo a 2 = 0, y = 0.8 e x := y. (3) (4) (5) x = 0.8, 2x = 1.6, a 3 = 1, y = 2x a 3, x := y x = 0.6, 2x = 1.2, a 4 = 1, y = 2x a 4, x := y x = 0.2, 2x = 0.4, a 5 = 0, y = 2x a 5, x := y e como ocorre a repetição de 0.2, temos que o processo vai se repetir indenidamente: a 5 = a 1, a 6 = a 2, a 7 = a 3,..., a n 4 = a n. (0.2) 10 tem a seguinte expressão na base Veja que é como uma dízima periódica, mas não é certo dizer dízima, pois esta palavra se refere à base O sinal := é a notação de `atribuição' que iremos usar. É uma operação distinta da igualdade.

6 6 Cálculo Numérico Vejamos outros exemplos de conversão. x = x = 0.125, 2x = 0.25, a 1 = 0, y = 2x a 1, x := y x = 0.25, 2x = 0.5, a 2 = 0, y = 2x a 2, x := y x = 0.5, 2x = 1, a 3 = 1, y = 2x a 3, x := y e o processo termina porque a n = 0, para n 4. Então (0.125) 10 = (0.001) 2. Vamos obter os oito primeiros algarismos depois do ponto 2 na base 2 para x = (0.126) 10 : (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) x = 0.126, 2x = 0.252, a 1 = 0, y = {2x} = 2x a 1, x := y x = 0.252, 2x = 0.504, a 2 = 0, y = {2x} = 2x a 2, x := y x = 0.504, 2x = 1.08, a 3 = 1, y = {2x} = 2x a 3, x := y x = 0.08, 2x = 0.16, a 4 = 0, y = {2x} = 2x a 4, x := y x = 0.16, 2x = 0.32, a 5 = 0, y = {2x} = 2x a 5, x := y x = 0.32, 2x = 0.64, a 6 = 0, y = {2x} = 2x a 6, x := y x = 0.64, 2x = 1.28, a 7 = 1, y = {2x} = 2x a 7, x := y x = 0.28, 2x = 0.56, a 8 = 0 e haveria mais para calcular. Também não sabemos se a seqüência termina ou continua indenidamente. Obtemos a aproximação (0.126) 10 ( ) 2. É importante notar que, assim como (0.126) 10 > (0.125) 10 temos ( ) 2 > (0.001) 2, ou seja, a propriedade da ordem dos números na reta não depende da base em que os representamos. O sinal de aproximação acima foi colocado porque limitamos nossos cálculos para a conversão do número dado: x = É esta exatamente a segunda fonte de erros no computador. Ele estabelece: qualquer número que vou representar tem (digamos) 16 algarismos. Daí ele converte qualquer dado de entrada para um número, normalmente representado na base 2, com 16 algarismos. 6. Calcule os 8 primeiros algarismos, na base 2, de cada número dado na base 10: x = (1.1) 10 ; x = (1.125) 10 ; x = (0.1125) 10 ; x = (4.93) Estenda o algoritmo de conversão de números fracionários para base 3, aplicando-o aos seguintes números (1/3) 10 e (0.5) 10. Agora podemos estudar somas, diferenças, produtos e razões entre números na base 2. 2 Costumamos dizer `depois da vírgula', mas vamos sempre usar o ponto para marcar o início das potências negativas.

7 Túlio Carvalho Operações aritméticas A limitação no armazenamento de cada dado tem algumas conseqüências nas operações algébricas realizadas no computador. Por isto, para ver como elas funcionam no computador e como geram erros, convém denir o que é, para nossos propósitos, o computador: Denição 1. O sistema numérico de uma máquina é dado por uma base b > 1, um número de algarismos t, um expoente máximo M e um expoente mínimo m. Cada número representável na máquina é dado na forma ±0.d 1 d 2... d t b g e d 1 1 com m g M. Esta máquina é abreviadamente denotada por M(b, t, m, M). Exemplo: Tome b = 10, t = 5, m = 10 e M = 10. A máquina é M(10, 5, 10, 10). Números representáveis na máquina: , , Números que só podem ser aproximados na máquina , , π, Note as seguintes propriedades sobre os números representáveis da máquina (em valor absoluto): existe um maior número positivo representável, existe um menor número representável, e ele é maior que zero! No exemplo acima, o menor número representável é e o maior é Para identicar um número, bastam seus t dígitos e seu expoente g. Os t dígitos são chamados mantissa do número: expoente {}}{ } {{ } 10. mantissa Claro que na interação com a máquina, ela permite outras formas de dados de entrada, mas internamente ela os representa como denido acima. Por exemplo, o número cuja mantissa acabamos de salientar seria convenientemente digitado como 12 (uma dúzia), sendo depois convertido para a representação acima para qualquer uso futuro. Um número escrito à maneira da máquina tem semelhança com a notação cientíca, para a qual o padrão é a base 10 (veja como está escrita a velocidade da luz no seu livro de física). Esta maneira de representar os números internamente explica como são feitas as operações aritméticas. Denição 2. Considere uma máquina M(b, t, m, M). Para efetuar a soma de dois números positivos, a máquina alinha os pontos, colocando os dois números com o expoente igual ao maior dos dois e soma as mantissas. 1 3.

8 8 Cálculo Numérico Para efetuar a subtração de x por y, x y, a máquina alinha os pontos como na soma e subtrai como na aritmética dos reais a mantissa de x da de y. Para efetuar a multiplicação de dois números, a máquina multiplica as mantissas e soma os expoentes. O sinal do resultado segue a regra dos sinais da aritmética usual. Para efetuar a divisão de dois números x/y, a máquina divide a mantissa de x pela de y e subtrai o expoente de y do de x. O sinal do resultado segue a regra dos sinais da aritmética usual. Em todas as operações, se necessário, a máquina realinha o ponto de modo que a sua esquerda que zero e o primeiro dígito à direita do ponto, d 1, seja maior que zero. Depois de posicionado o ponto de modo que d 1 > 0, a máquina trunca o resultado para t dígitos na mantissa. Vamos dar alguns exemplos, começando com a operação de soma na máquina M(b = 10, t = 5, 10, 10) =? x = , y = x + y = = que é mostrado no display como 13. Mas se fosse x = 1 e y = , x + y = = = , truncamento Note que aqui a operação não é exata como a aritmética dos reais. Multiplicação de x = 0.12 e y = xy =( ) 10 2 = = , truncamento. Nos exercícios abaixo, faça os cálculos numa máquina M(b = 10, t = 5, 10, 10). 1. Para x = 0.12 e y = , calcule (xy)/x e compare com y. O que você pode concluir das operações na máquina? 2. No segundo exemplo, vimos que = na máquina. Para y = 1, existe x tal que x + y = y na máquina? 3. Dados x = 5 e y = , calcule (x + x) + y e x + (x + y).

9 Túlio Carvalho 9 4. Quando você digita 0 na máquina, qual valor pode ser usado como zero? Este é o valor que a máquina usa quando tem que calcular x x. Para fazer estes exercícios numa calculadora, é necessário fazer a operação de truncamento à mão, porque a sua calculadora tem provavelmente mais do que 5 dígitos para representar os números (enquanto a nossa máquina tem t = 5). Existem algumas sosticações, como números com precisão dupla, que podem ser (e são) implementadas nas máquinas que usamos, mas o porquê da inexatidão das operações aritméticas é o truncamento. 1.3 Erros Vimos acima que as operações aritméticas na máquina são geralmente diferentes daquelas que estamos habituados. Deveríamos denotá-las por outros símbolos: +,,,, mas não o fazemos. De fato, elas se parecem com as operações usuais e pretendem imitá-las. Precisamos então quanticar o sucesso desta imitação, e para isto denimos os erros. Nosso objetivo é sempre fazer cálculos em que os erros não cresçam tanto de modo que os resultados (que são de fato aproximações) sejam conáveis. Denotemos o valor exato de um número por x e seu valor aproximado por x. Em geral x x, especialmente se x é obtido após uma série de operações aritméticas. O sucesso de um algoritmo está em administrar o módulo da diferença: x x. Denição 3. O erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado de um número: ea(x) = x x. O erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor aproximado do número: er(x) = x x x. Geralmente o valor exato x não é conhecido. Conhecemos x e uma vez que saibamos ea(x) podemos dizer em que intervalo x está. É este o fundamento de uma aritmética computacional rigorosa, chamada aritmética intervalar. Usualmente trabalhamos com estimativas (cotas superiores) para ea(x). Convém ressaltar que as operações de subtração e divisão na denição de erro são exatas. Em primeiro lugar, vamos analisar o erro absoluto para dados de entrada, que suporemos exatos. Em seguida, veremos como as operações aritméticas produzem erros nos resultados. Como geralmente não sabemos o valor exato de um dado de entrada, convém obter o valor máximo que ea(x) ou er(x) podem ter, independente de x. Primeiro note que ea(x) = xer(x). Logo só precisamos obter um limitante superior para er(x) (isto é chamado estimar o erro relativo). Na máquina M(10, 5, 10, 10), note o seguinte = 1 assim como = 1, até = 1. Logo, todo o intervalo de valores [ , ] é entendido pela máquina como 1. Calculando o erro relativo de qualquer x

10 10 Cálculo Numérico neste intervalo er(x) = x 1 1 e er(x) < < = 1 10 t+1. Como a diferença entre y e ȳ, para qualquer y, só pode estar no último dígito da mantissa, y ȳ [ , ] na nossa máquina. Assim (9) er(y) = y ȳ 1 < = } 1 10 {{ t+1 } em geral Concluindo, o erro relativo em cada dado de entrada está sempre no penúltimo algarismo da mantissa. Por isto se diz que a precisão da máquina, isto é, o número de dígitos signicativos exatos de um dado, é t 1. Os erros absolutos e relativos crescem quando efetuamos operações. Pela denição das operações, no nal ocorre um truncamento, se necessário. Sabemos que o erro relativo de truncamento é, para qualquer dado, limitado a 10 t+1. Desta forma, para calcular o erro absoluto da soma, temos que levar em conta os erros de cada fator e o erro devido à própria operação. Assim (10) ea(x + y) = x + y ( x +ȳ) em que x +ȳ é o resultado numérico da soma de x e ȳ. Sabemos que (11) x +ȳ = x + ȳ + eo(+)( x + ȳ) em que eo(+) denota o erro (relativo) da soma. Como se pode notar pela Denição 2, os erros das operações têm origem no truncamento, portanto o erro relativo de qualquer operação vale no máximo 10 t+1. Substituindo (11) em (10) vem que (12) ea(x + y) = (x x) + (y ȳ) + eo(+)( x +ȳ) = ea(x) + ea(y) + 10 t+1 ( x +ȳ). } {{ } } {{ } dos dados da operação Os dois primeiros termos, que convém denotarmos por e 1, são devidos aos erros absolutos dos dados x e y, enquanto o último termo provém da operação aritmética. O erro devido à operação é sempre da forma acima: 10 t+1 z, em que z denota o resultado da operação. Por outro lado, para cada operação, os erros absolutos provenientes de aproximações dos dados se propagam segundo as regras de diferenciação: e 1 da soma é a soma dos erros absolutos dos dados; e 1 da diferença é a diferença dos erros absolutos dos dados; e 1 do produto: e 1 (xy) = xea(y) + ȳea(x); e 1 do quociente: e 1 (x/y) = x ea(y) ȳ ea(x) ȳ 2

11 Túlio Carvalho 11 Para obter o erro relativo, basta dividir o erro absoluto em cada fórmula pelo resultado da operação. Por exemplo (13) er(xy) = e 1(xy) + eo( ) x ȳ x ȳ = xea(y) x ȳ + ȳea(x) x ȳ =er(y) + er(x) + eo( ). + eo( ) Nos cálculos com erros, termo que tem erro multiplicado por outro erro é desprezado. Eles são chamados termos de segunda ordem. Isto justica a última igualdade, porque nela usamos, por exemplo, ȳ/( x ȳ) = 1/ x, mas isto só vale aproximadamente, pois um possível truncamento ocorre em x ȳ. 1. Tome dois dados x = 1234 e y = 1233 com erro relativo padrão de 10 4 na máquina M(10, 5, 10, 10). Calcule o erro relativo de x y e expresse-o em porcentagem. Este problema é chamado de cancelamento subtrativo. 2. Calcule o erro relativo de z = 3 x e w = x + x + x. Note que 3 e x já são números exatos na máquina. Como regra geral a ser seguida, sempre que for somar uma seqüência de números, convém colocá-los em ordem crescente, como ilustra o exercício: 3. Calcule o erro relativo nas seguintes operações, dados x = 5, y = : x + x + y e y + x + x. A associatividade é da esquerda pra direita. 1.4 Instabilidade de algoritmos Os algoritmos fazem operações repetidas vezes. Pode acontecer de os erros das operações aritméticas se acumularem, provocando erros relativos grandes nos resultados. Veremos dois exemplos. Exemplo 1. Cálculo de I n = 1 0 xn e x 1 dx, para n = 1, 2,. Integrando por partes I n = x n e x n x n 1 e x 1 dx = 1 ni n 1 A fórmula I n = 1 ni n 1 é uma fórmula recursiva para o conjunto de integrais I n, porque uma vez conhecido o valor de I n 1, podemos imediatamente calcular o valor de I n. Ela fornece um algoritmo para calcular cada integral I n. Num algoritmo, a execução de um conjunto de instruções (fórmulas, atribuições, etc) que se faz repetidas vezes é chamado laço ou iteração. Para começar, podemor calcular diretamente I 1 = 1/e = 0, na máquina M(10, 6, 19, 20). 0

12 12 Cálculo Numérico Daí que I 1 = 0, I6 = 0, I 2 = 0, I7 = 0, I 3 = 0, I8 = 0, I 4 = 0, I9 = 0, I 5 = 0, O resultado de I 9 tem erro relativo maior que 100%, pois as integrais I n são todas positivas, uma vez que o integrando é positivo. O fato de multiplicarmos por um número n > 1 uma aproximação aumenta o erro na próxima aproximação. De fato, o erro em I 9 é da ordem de 9!10 7 = 0, 16. Podemos escrever a fórmula recursiva do algoritmo da seguinte maneira I n 1 = 1 I n n e obter um algoritmo cujo erro diminui a cada iteração. No entanto precisamos de uma aproximação para n grande. Isto pode ser feito notando que I n = 1 0 x n e x 1 dx 1 0 x n dx = 1 n + 1 e portanto I n 0 quando n. Assim, tomando I 2 0 = 0, podemos calcular I 9 = 0, e além disto o erro diminui a cada iteração (começando pela cota 1/21). Exemplo 2. Cálculo de raízes de equações do segundo grau. A fórmula de Bhaskara para a solução de uma equação do segundo grau, ax 2 + bx + c = 0, x = b ± b 2 4ac 2a dá um resultado ruim quando b é muito grande. Na máquina M(10, 6, 19, 20), para a = 1, b = 10 4 e c = 1, temos x 1 = b b 2 4ac 2a = 10 4 e x 2 = 0. Exatamente por causa do cancelamento subtrativo, temos em x 2 um erro relativo de 100%. Podemos evitar o cancelamento subtrativo (veja exercício 1 da seção anterior), usando as seguintes fórmulas para as soluções: x 1 = b sinal(b) b 2 4ac 2a x 2 = c ax 1

13 Túlio Carvalho 13 em que a última relação decorre da fatoração ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ). No exemplo acima, temos a aproximação em M(10, 6, 19, 20) para x 2 = 10 4, que é bem melhor. Como regra geral, deve-se evitar operações aritméticas que produzam números grande demais ou muito próximos de zero. Nas operações recursivas (como no exemplo 1), evitar que o erro de uma iteração seja multiplicado por um número maior que 1.

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Aula 2 - Cálculo Numérico

Aula 2 - Cálculo Numérico Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

2. Representação Numérica

2. Representação Numérica 2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos

Leia mais

Noções Básicas de Erros

Noções Básicas de Erros Noções Básicas de Erros PROF. ALIRIO SANTOS DE SÁ ALIRIOSA@UFBA.BR MATERIAL ADAPTADA DOS SLIDES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO NUMÉRICO DOS PROFESSORES BRUNO QUEIROZ, JOSÉ QUEIROZ E MARCELO BARROS (UFCG). DISPONÍVEL

Leia mais

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro Sumário 1 Introdução 2 Sistemas de Numeração 3 Representação de Números Inteiros no Computador 4 Representação de Números Reais no Computador 5 Operações

Leia mais

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5 Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar

Leia mais

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Computadores são "binários" Por que 0 ou 1? 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico Transistores

Leia mais

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/48 Sumário Arredondamentos Erros 2/48 Sumário Arredondamentos

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

Matemática Computacional - Exercícios

Matemática Computacional - Exercícios Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2009/2010 - LEMat e MEQ Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base

Leia mais

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 3 (10/08/15) Aritmética de ponto flutuante Representação de ponto flutuante Normalização Binária Decimal Situações

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado

Leia mais

Computadores XII: Aprendendo a Somar A4 Texto 3

Computadores XII: Aprendendo a Somar A4 Texto 3 Computadores XII: Aprendendo a Somar A4 Texto 3 http://www.bpiropo.com.br/fpc20051017.htm Sítio Fórum PCs /Colunas Coluna: B. Piropo Publicada em 17/10/2005 Autor: B.Piropo Na coluna anterior, < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=131250

Leia mais

http://www.matematica.br/programas/icg. 5. Uma lousa denominada EPI (registrador de endereço de próxima instrução).

http://www.matematica.br/programas/icg. 5. Uma lousa denominada EPI (registrador de endereço de próxima instrução). Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística DCC Leônidas O. Brandão 1 Computador à Gaveta O objetivo deste texto é introduzir os primeiros conceitos de algoritmos a partir de um modelo

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

Organização e Arquitetura de Computadores I

Organização e Arquitetura de Computadores I Organização e Arquitetura de Computadores I Aritmética Computacional Slide 1 Sumário Unidade Lógica e Aritmética Representação de Números Inteiros Aritmética de Números Inteiros Representação de Números

Leia mais

Aritmética de Ponto Flutuante

Aritmética de Ponto Flutuante Aritmética de Ponto Flutuante Entre 1970 e 1980 um grupo formado por cientistas e engenheiros de diferentes empresas de computação realizou um trabalho intenso na tentativa de encontrar um padrão de representação

Leia mais

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

Computador HIPO. Inicialmente vamos apresentar as unidades fundamentais de um computador:

Computador HIPO. Inicialmente vamos apresentar as unidades fundamentais de um computador: Computador HIPO Para introduzirmos as noções básicas de como funciona um computador, empregaremos um modelo imaginário (hipotético) que denominaremos de computador hipo. O funcionamento desse modelo tem

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980 Questão 1. Uma venda imobiliária envolve o pagamento de 12 prestações mensais iguais a R$ 10.000,00, a primeira no ato da venda, acrescidas de uma parcela final de R$ 100.000,00, 12 meses após a venda.

Leia mais

ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13

ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13 ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13 Índice 1. Circuitos Digitais - Continuação...3 1.1. Por que Binário?... 3 1.2. Conversão entre Bases... 3 2 1. CIRCUITOS DIGITAIS - CONTINUAÇÃO 1.1. POR QUE BINÁRIO?

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) I Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas

Leia mais

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase 36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação

Leia mais

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Atualizado em Prof. Rui Mano E mail: rmano@tpd.puc rio.br SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Sistemas de Numer ação Posicionais Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Erros Objectivos: Arredondar um número para n dígitos significativos. Determinar os erros máximos absoluto e relativo

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO AULA 03 Arquitetura de Computadores Gil Eduardo de Andrade

REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO AULA 03 Arquitetura de Computadores Gil Eduardo de Andrade REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO AULA 03 Arquitetura de Computadores Gil Eduardo de Andrade O conteúdo deste documento é baseado no livro Princípios Básicos de Arquitetura e Organização

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos

Leia mais

CURSO E COLÉGIO APOIO. Professor: Ronaldo Correa

CURSO E COLÉGIO APOIO. Professor: Ronaldo Correa CURSO E COLÉGIO APOIO Professor: Ronaldo Correa Holiday - Christmas.mpg medidas 1-Medidas Grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Medir comparar com um padrão. No Brasil e na maioria dos países as unidades

Leia mais

Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão)

Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão) Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão) Anderson L. S. Moreira anderson.moreira@recife.ifpe.edu.br http://dase.ifpe.edu.br/~alsm 1 O que fazer com essa apresentação 2 Agenda Breve revisão da aula anterior

Leia mais

CCI-22 CCI-22. 2) Erros de arredondamento. Matemática Computacional

CCI-22 CCI-22. 2) Erros de arredondamento. Matemática Computacional Matemática Computacional 2) Erros de arredondamento Carlos Alberto Alonso Sanches Erros de representação e de cálculo Tipos de erros Erro inerente: sempre presente na incerteza das medidas experimentais

Leia mais

Álgebra. SeM MiSTéRio

Álgebra. SeM MiSTéRio Álgebra SeM MiSTéRio Série SeM MiSTéRio Alemão Sem Mistério Álgebra Sem Mistério Cálculo Sem Mistério Conversação em Alemão Sem Mistério Conversação em Espanhol Sem Mistério Conversação em Francês Sem

Leia mais

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating

Leia mais

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES COMO PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Fração como porcentagem Sexto Ano do Ensino Fundamental Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

Sistemas de Numerações.

Sistemas de Numerações. Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema

Leia mais

Exemplo de Subtração Binária

Exemplo de Subtração Binária Exemplo de Subtração Binária Exercícios Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) 37 10 30 10 b) 83 10 82 10 c) 63 8 34 8 d) 77 8 11 8 e) BB 16 AA 16 f) C43 16 195 16 3.5.3 Divisão binária:

Leia mais

Livro de álgebra para ensino fundamental 2 ( 6º ao 9º ano)

Livro de álgebra para ensino fundamental 2 ( 6º ao 9º ano) O ALGEBRISTA Autor: Laércio Vasconcelos www.laercio.com.br Livro de álgebra para ensino fundamental ( º ao º ano) Preparatório para Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar (ensino médio) Pré-IME, Pré-ITA,

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte II) Prof. a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Ambos têm os algarismos 7854 seguidos, a potência de dez apenas moverá a vírgula, que não afeta a quantidade de algarismos significativos.

Ambos têm os algarismos 7854 seguidos, a potência de dez apenas moverá a vírgula, que não afeta a quantidade de algarismos significativos. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Os algarismos significativos são os algarismos que têm importância na exatidão de um número, por exemplo, o número 2,67 tem três algarismos significativos. Se expressarmos o número

Leia mais

Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração Este material é uma adaptação das notas de aula dos professores Edino Fernandes, Juliano Maia, Ricardo Martins e Luciana Guedes Sistemas de Numeração Prover símbolos e convenções

Leia mais

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10.

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. Caro aluno (a): No livro texto (Halliday) cap.01 - Medidas alguns conceitos muito importantes são apresentados. Por exemplo, é muito importante

Leia mais

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional Capítulo 1 - Erros e Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos Balsa Métodos Numéricos

Leia mais

Noções Básicas Sobre Erros

Noções Básicas Sobre Erros Noções Básicas Sobre Erros Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte III) Prof.a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06

DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06 DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06 Este é o 6º artigo da série de dicas para facilitar / agilizar os cálculos matemáticos envolvidos em questões de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira

Leia mais

Capítulo 1 Erros e representação numérica

Capítulo 1 Erros e representação numérica Capítulo 1 Erros e representação numérica Objetivos Esperamos que ao final desta aula, você seja capaz de: Pré-requisitos Identificar as fases de modelagem e os possíveis erros nelas cometidos; Compreender

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos. 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos 1. Números Decimais. Objetivos.

2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos. 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos 1. Números Decimais. Objetivos. Objetivos 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos Revisar o sistema de numeração decimal Contar no sistema de numeração binário Converter de decimal para binário e vice-versa Aplicar operações aritméticas

Leia mais

Introdução à Lógica de Programação. / NT Editora. -- Brasília: 2013. 135p. : il. ; 21,0 X 29,7 cm.

Introdução à Lógica de Programação. / NT Editora. -- Brasília: 2013. 135p. : il. ; 21,0 X 29,7 cm. Autor José Jesse Gonçalves Graduado em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de São Paulo - UNESP, de Presidente Prudente (1995), com especialização em Análise de Sistemas (1999) e mestrado

Leia mais

ARQUITETURA DE COMPUTADORES

ARQUITETURA DE COMPUTADORES ARQUITETURA DE COMPUTADORES Sistema de Numeração Prof Daves Martins Msc Computação de Alto Desempenho Email: daves.martins@ifsudestemg.edu.br Sistemas Numéricos Principais sistemas numéricos: Decimal 0,

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

Estruturas de Repetição

Estruturas de Repetição Estruturas de Repetição Lista de Exercícios - 04 Algoritmos e Linguagens de Programação Professor: Edwar Saliba Júnior Estruturas de Repetição O que são e para que servem? São comandos que são utilizados

Leia mais

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas

Leia mais

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador Capítulo 2 Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador 2.0 Índice 2.0 Índice... 1 2.1 Sistemas Numéricos... 2 2.1.1 Sistema Binário... 2 2.1.2 Sistema Octal... 3 2.1.3 Sistema

Leia mais

0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel

0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel Nível Intermediário 0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel Quando um jovem estudante de matemática começa a estudar os números reais, é difícil não sentir certo desconforto

Leia mais

Curvas em coordenadas polares

Curvas em coordenadas polares 1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.

Leia mais

Sistema de ponto flutuante

Sistema de ponto flutuante Exemplo: FP(,4,,A) e FP(,4,,T) Sistema de ponto flutuante FP( b, p, q,_) = FP(, 4,, _ ) base 4 dígitos na mantissa dígitos no expoente A=Arredondamento T=Truncatura x ± =± m b t x =± d 1d d d 4 dígitos

Leia mais

Sistemas de Computação

Sistemas de Computação Sistemas de Computação Ponto Flutuante Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 26 de abril de 2010 Haroldo Gambini Santos Sistemas de Computação 1/18 Seção 1 Introdução 2 O Padrão

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

Matemática Aplicada II

Matemática Aplicada II Matemática Aplicada II 010G Cópia não autorizada. Reservados todos os MATEMÁTICA direitos APLICADA autorais. II 5E Editora Aline Palhares Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

Gráficos de funções em calculadoras e com lápis e papel (*)

Gráficos de funções em calculadoras e com lápis e papel (*) Rafael Domingos G Luís Universidade da Madeira/Escola Básica /3 São Roque Departamento de Matemática Gráficos de funções em calculadoras e com lápis e papel (*) A difusão de calculadoras gráficas tem levado

Leia mais

Representação de Dados

Representação de Dados Representação de Dados Introdução Todos sabemos que existem diferentes tipos de números: fraccionários, inteiros positivos e negativos, etc. Torna-se necessária a representação destes dados em sistema

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE. Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1

ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE. Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1 ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1 Objetivos Compreender o que é notação em ponto flutuante Compreender a

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 03 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Computadores II: Bits e Bytes

Computadores II: Bits e Bytes Computadores II: Bits e Bytes A1 Texto 2 http://www.bpiropo.com.br/fpc20050627.htm Sítio Fórum PCs /Colunas Coluna: B. Piropo Publicada em 27/05/2005 Autor: B.Piropo Sistemas numéricos posicionais Pode-se

Leia mais

φ(x,y,y',y'',y''',..., d n y/dx n ) = 0 (1) Esta equação é de n-ésima ordem e tem somente uma variável independente, x.

φ(x,y,y',y'',y''',..., d n y/dx n ) = 0 (1) Esta equação é de n-ésima ordem e tem somente uma variável independente, x. 245 Capítulo 15 Resolução numérica de equações diferenciais Para podermos investigar exemplos de simulação que surgem na Física, Engenharia, Biomatemática etc., estudamos, neste capítulo, alguns métodos

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Aritmética Binária e. Bernardo Nunes Gonçalves

Aritmética Binária e. Bernardo Nunes Gonçalves Aritmética Binária e Complemento a Base Bernardo Nunes Gonçalves Sumário Soma e multiplicação binária Subtração e divisão binária Representação com sinal Sinal e magnitude Complemento a base. Adição binária

Leia mais

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A 4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los

Leia mais

O sinal de menos ( ) colocado antes de um número indica o oposto desse número. Assim: 11 é o oposto de 11.

O sinal de menos ( ) colocado antes de um número indica o oposto desse número. Assim: 11 é o oposto de 11. EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO 7º ANO º BIMESTRE MATEMÁTICA PROFº PAULO 1. Dois números de sinais contrários são opostos? Justifique. O sinal de menos ( ) colocado antes de um número indica o oposto desse número.

Leia mais

Unidade 5: Sistemas de Representação

Unidade 5: Sistemas de Representação Arquitetura e Organização de Computadores Atualização: 9/8/ Unidade 5: Sistemas de Representação Números de Ponto Flutuante IEEE 754/8 e Caracteres ASCII Prof. Daniel Caetano Objetivo: Compreender a representação

Leia mais

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1 Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras

Leia mais

Arquitetura de Computadores

Arquitetura de Computadores Arquitetura de Computadores Prof. Fábio M. Costa Instituto de Informática UFG 1S/2004 Representação de Dados e Aritimética Computacional Roteiro Números inteiros sinalizados e nãosinalizados Operações

Leia mais

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante.

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Leia mais

MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA

MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA PORCENTAGEM MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA Quando é dito que 40% das pessoas entrevistadas votaram no candidato A, esta sendo afirmado que, em média, de cada pessoas, 40 votaram no candidato

Leia mais

Capítulo 2. VARIÁVEIS DO TIPO INTEIRO

Capítulo 2. VARIÁVEIS DO TIPO INTEIRO Capítulo 2. VARIÁVEIS DO TIPO INTEIRO OBJETIVOS DO CAPÍTULO Conceitos de: variáveis do tipo inteiro, atribuição, avisos e erros de compilação, erros de execução, comentários dentro do programa-fonte Operadores

Leia mais

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 4 INTEGRAIS SUMÁRIO Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução 1.2- Integral Indefinida 1.3- Propriedades da Integral Indefinida 1.4- Algumas Integrais Imediatas 1.5- Exercícios para

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

Aula 4 Estatística Conceitos básicos

Aula 4 Estatística Conceitos básicos Aula 4 Estatística Conceitos básicos Plano de Aula Amostra e universo Média Variância / desvio-padrão / erro-padrão Intervalo de confiança Teste de hipótese Amostra e Universo A estatística nos ajuda a

Leia mais

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Introdução É o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração. Fração Quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar

Leia mais

Função polinomial Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais a 0, a 1,,a n, com a n 0. A função definida por

Função polinomial Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais a 0, a 1,,a n, com a n 0. A função definida por Funções polinomiais 4 Antes de ler o capítulo Esse capítulo trata de um grupo particular de funções, de modo que, antes de lê-lo, o leitor precisa dominar o conteúdo do Capítulo 1. Depois de tratarmos

Leia mais