Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

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1 Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL Conteúdo Ulysses Sodré Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de Introdução aos máximos e mínimos de funções reais 2 2 Pontos especiais 2 3 Teste da segunda derivada para máximos e mínimos 3 4 Funções crescentes e decrescentes 5 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 8 6 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos 11 7 Aplicações de máximos e mínimos 14 Toda Escritura é divinamente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, para corrigir, para instruir em justiça; para que o homem de Deus seja perfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra. A Bíblia Sagrada, II Timóteo 3:16-17

2 Seção 1 Introdução aos máximos e mínimos de funções reais 2 1 Introdução aos máximos e mínimos de funções reais Uma aplicação importante do Cálculo é o estudo de máximos e mínimos de funções, de situações onde a reta tangente ao gráfico é horizontal, isto é, estudo de pontos em que a derivada se anula. Também existem pontos de máximo ou de mínimo em pontos onde a derivada não se anula, quando os pontos estão nas extremidades do intervalo de definição da função. 2 Pontos especiais Pontos Críticos: Ponto crítico para uma função f = f (x) é um ponto x tal que f (x) = 0 ou um ponto onde a derivada não existe. Se f (x) = 0, o gráfico da função possui uma reta tangente horizontal. Existem quatro situações que impedem que uma função tenha derivada em um dado ponto: 1. A função não é contínua no ponto x. Exemplo: A função f (x) = x não é contínua em x = 0. x 2. O gráfico de f = f (x) forma um bico no ponto de abscissa x. Exemplo: A função f (x) = x forma um bico em x = O gráfico da função é suave, mas possui uma tangente vertical. Exemplo: A função f (x) = 3 x possui uma reta tangente em x = O gráfico da função possui uma cúspide no ponto de abscissa x. Exemplo: A função f (x) = 3 x possui uma cúspide em x = 0. Pontos extremos: Uma função f possui um ponto extremo de 1. máximo local em x 0 se os valores f (x) para x próximos de x 0 são menores que f (x 0 ). O gráfico de f próximo de x 0 tem um pico em x mínimo local em x 0 se os valores f (x) para x próximo de x 0 são maiores que f (x 0 ). O gráfico de f próximo de x 0 é semelhante a um vale em x 0. Se o mínimo local é o menor valor de f = f (x) em seu domínio, este mínimo é denominado mínimo global de f. Se o máximo local é o maior valor de f = f (x) em seu domínio, este máximo é denominado máximo global de f.

3 Seção 3 Teste da segunda derivada para máximos e mínimos 3 Ao usar a palavra próximo, sempre estamos tratando com distâncias pequenas relativas ao problema específico, e as palavras pico ou vale no gráfico devem representar algo claro para o estudante para não haver dúvidas nas definições. Pontos de inflexão: Ponto de inflexão de uma curva y = f (x) é um ponto (x, y) da curva onde f (x) = 0. Neste ponto acontece a mudança de concavidade (boca) da curva. Exemplo: A curva y = x 3 possui ponto de inflexão quando x = 0, pois tomando a função f (x) = x 3, temos que f (x) = 3x 2 e f (x) = 6x, logo f (0) = 0. A parte desta curva desenhada no primeiro quadrante tem concavidade (boca) voltada para cima e a parte desta curva desenhada no terceiro quadrante tem concavidade (boca) voltada para baixo. 3 Teste da segunda derivada para máximos e mínimos Seja f = f (x) uma função que possui a primeira e também a segunda derivada em R. Este teste funciona da seguinte forma: 1. Realizar a primeira derivada e a segunda derivada da função f = f (x). 2. Resolver a equação f (x) = 0 para obter os pontos críticos de f = f (x). 3. Construir uma lista com os pontos críticos na forma: {x 1, x 2,..., x n }. 4. Calcular os valores {f (x 1 ), f (x 2 ),.., f (x n )} = {f (x j )} n j =1. 5. Se algum f (x j ) < 0, então este x j é um ponto de máximo de f = f (x). 6. Se algum f (x j ) > 0, então este x j é um ponto de mínimo de f = f (x). Exemplos: Para obter os pontos de máximo ou de mínimo da função: 1. f (x) = 3x 2 6x + 7, obtemos f (x) = 6x 6 e f (x) = 6. Resolvemos a equação 6x 6 = 0 para obter o ponto crítico x 1 = 1. Aplicamos a segunda derivada f em x 1 para obter f (x 1 ) = 6 > 0 e garantimos que x 1 = 1 é um ponto de mínimo.

4 Seção 3 Teste da segunda derivada para máximos e mínimos 4 2. f (x) = x 3 12x +3, calculamos f (x) = 3x 2 12 e f (x) = 6x. Resolvemos a equação 3x 2 12 = 0, que pode ser fatorada como (x 2)(x +2) = 0 para obter dois pontos críticos x 1 = 2 e x 2 = 2. Aplicamos f nestes pontos x 1 e x 2. f (x 1 ) = f ( 2) = 6( 2) = 12 < 0 f (x 2 ) = f (2) = 6(2) = 12 > 0 Pelos sinais de f nos pontos críticos, segue que x 1 = 2 é ponto de máximo e x 2 = 2 é um ponto de mínimo para f = f (x). 3. f (x) = x 4 8x 2 + 5, calculamos f (x) = 4x 3 16x e f (x) = 12x A equação 4x 3 16x = 0, que pode ser escrita na forma x(x 2)(x + 2) = 0 possui três raízes, que são os pontos críticos x 1 = 2, x 2 = 0 e x 3 = 2. Aplicamos f nestes pontos x 1, x 2 e x 3 f (x 1 ) = f ( 2) = 12( 2) 2 16 = 32 > 0 f (x 2 ) = f (0) = 12(0) 2 16 = 16 < 0 f (x 3 ) = f (2) = 12(2) 2 16 = 32 > 0 Pelos sinais de f nos pontos críticos, segue que x 1 = 2 e x 3 = 2 são pontos de mínimo, enquanto que x 2 = 0 é um ponto de máximo para f = f (x). 4. f (x) = ax 2 +bx+c, sendo a 0, cujo gráfico é uma parábola. Calculamos f (x) = 2ax + b e f (x) = 2a. Resolvemos a equação 2ax + b = 0, para obter o ponto crítico x 1 = b 2a. Aplicando a derivada segunda neste ponto, obtemos f (x 1 ) = 2a que pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de a. (a) Se a > 0 então f (x 1 ) = 2a > 0 e o ponto x 1 é um ponto de mínimo. A concavidade (boca) da parábola está voltada para cima. (b) Se a < 0 então f (x 1 ) = 2a < 0 e o ponto x 1 é um ponto de máximo. A concavidade (boca) da parábola está voltada para baixo. Exercícios: 1. Explicar o motivo pelo qual a função f (x) = 1 3 x3 2x 2 +13x 17 não possui nem máximo e nem mínimo em R.

5 Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 5 2. Mostrar a função f (x) = 3x 5 25x x 2 possui os seguintes pontos críticos: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1 e x 4 = 2. Analisar quais deles são pontos de máximo ou de mínimo. 3. Determinar os pontos de máximo e de mínimo para as funções: (a) f (x) = x2 x 1 x 2 + x + 1 (b) f (x) = (x 1)2 (c) f (x) = x2 1 (x + 1) 3 5x 2 + 4x 4 Funções crescentes e decrescentes Definições: 1. Uma função f = f (x) é crescente quando a variável x se move da esquerda para a direita, os valores de f (x) aumentam. Neste caso, se x < y então f (x) f (y), como por exemplo: f (x) = 2x Uma função f = f (x) é decrescente quando a variável x se move da esquerda para a direita, os valores de f (x) diminuem. Neste caso, se x < y então f (x) f (y), como por exemplo: f (x) = 2x Uma função f = f (x) é constante quando a variável x se move da esquerda para a direita, os valores de f (x) permanecem iguais, isto é, se x < y então f (x) = f (y), como por exemplo: f (x) = 7 Nota: Existem funções que são crescentes em alguns intervalos e decrescentes em outros intervalos. Por exemplo, a função f (x) = x 2 é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0. Sinais dos coeficientes angulares: O crescimento ou decrescimento de funções reais pode ser estudado pelos sinais das Declividades (coeficientes angulares das tangentes) das funções. 1. Uma função f = f (x) é crescente em um intervalo I 1 se as inclinações k das retas tangentes são positivas sobre este intervalo I 1. Exemplo: f (x) = 5x 3 tem declividade k = 5 > 0

6 Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 6 2. Uma função f = f (x) é decrescente em um intervalo I 2 se as inclinações k das retas tangentes são negativas sobre este intervalo I 2. Exemplo: f (x) = 5x 3 tem declividade k = 5 < 0 3. Uma função f = f (x) é constante em um intervalo I 3 se as inclinações k das retas tangentes são nulas sobre este intervalo I 3. Exemplo: f (x) = 12 tem declividade k = 0 Sinais das derivadas das funções: O crescimento ou decrescimento de funções reais pode ser estudado pelos sinais das derivadas das funções. 1. Uma função f = f (x) é crescente sobre um intervalo I 1 se f (x) > 0 para todo x I 1. Por exemplo: f (x) = x 2 é crescente em I 1 = (0, ), pois f (x) = 2x > 0 para todo x I 1 2. Uma função f = f (x) é decrescente sobre um intervalo I 2 se f (x) < 0 para todo x I 2. Por exemplo: f (x) = x 2 é decrescente em I 2 = (,0), pois f (x) = 2x < 0 para todo x I 2 3. Uma função f = f (x) é constante em um intervalo I 3 se f (x) = 0 para todo x I 3. Por exemplo: f (x) = 7 é constante em I 3 = (,+ ) = R, pois f (x) = 0 para todo x I 3 Não precisamos desenhar o gráfico para saber se uma função é crescente ou decrescente, mas lembramos que a construção do gráfico fornece uma ótima ajuda para o estudante. Os pontos onde o gráfico possui uma reta tangente horizontal, são pontos onde a derivada da função é igual a zero, locais onde ocorrem pontos de máximo ou pontos de mínimo da função. Método para obter intervalos onde a função é crescente ou decrescente: 1. Calculamos a primeira derivada de f. 2. Resolvemos a equação f (x) = 0 para obter os pontos críticos de f. 3. Criamos uma lista ordenada {x 1, x 2,..., x n } com os pontos críticos.

7 Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 7 4. Se existem pontos onde a função não é contínua ou não tem derivada, tais pontos devem ser acrescentados à lista no local próprio, mas lembramos que pontos de descontinuidade ou pontos onde a função não tem derivada não são pontos críticos. 5. Devemos exibir pontos auxiliares t i intercalados com os pontos da lista de modo a cobrir toda a reta real com algo da forma: < t 0 < x 1 < t 1 < x 2 < t 2 <... < x n 1 < t n 1 < x n < t n < 6. Calculamos a derivada f nos pontos auxiliares t i para concluir: (a) Se f (t i+1 ) > 0, então f é crescente no intervalo (x i, x i+1 ), isto é, quando os valores x aumentam, os valores de f (x) aumentam. (b) Se f (t i+1 ) < 0, então f é decrescente no intervalo (x i, x i+1 ), isto é, quando os valores de x aumentam, os valores de f (x) diminuem. 7. Sobre o intervalo (, x 1 ) (primeiro à esquerda), se f (t 0 ) > 0 então a função f é crescente e se f (t 0 ) < 0 então a função f é decrescente. 8. Sobre o intervalo (x n,+ ) (último à direita), se f (t n ) > 0 então a função f é crescente e se f (t n ) < 0 então a função f é decrescente. Existem vários métodos para realizar este processo quando estudamos funções polinomiais de grau baixo ou outras funções simples. Mas, se você consegue calcular valores de (derivadas de) funções com a sua calculadora, você pode usar este procedimento com quaisquer funções. Os pontos auxiliares devem ser timados com cuidado, para que estejam nos intervalos certos, pois necessitamos apenas de um ponto em cada intervalo para saber se f é positiva ou negativa no intervalo. Em geral, tomamos números inteiros ou números fáceis de calcular as derivadas nos pontos desejados. É importante construir este processo, mesmo que a pergunta não esteja diretamente relacionada a pontos críticos, nem se refira a intervalos, ou se está implícito que temos que obter os pontos críticos e analisar se as funções crescem ou decrescem nos intervalos entre os pontos críticos.

8 Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 8 Exemplos: Obter os pontos críticos e intervalos onde a 1. função f (x) = x 2 + 2x + 9 é crescente ou decrescente. Solução: Derivamos a função f para obter f (x) = 2x + 2. Resolvemos a equação 2x + 2 = 0 para obter x 1 = 1. À esquerda de x 1 = 1 usamos o ponto auxiliar t 0 = 2 e à direita usamos o ponto auxiliar t 1 = 0. Assim, f (t 0 ) = f ( 2) = 2 < 0, logo f é decrescente no intervalo (, 1). Como f (t 1 ) = f (0) = 2 > 0, então f é crescente no intervalo ( 1, ). 2. função f (x) = x 3 12x + 3 é crescente ou decrescente. Solução: Derivamos a função f para obter f (x) = 3x Resolvemos a equação 3x 2 12 = 0, obtendo x 1 = 2 e x 2 = 2. À esquerda de x 1 = 2 tomamos o ponto t 0 = 3, entre x 1 = 2 e x 2 = 2 tomamos t 1 = 0, e à direita de x 2 = 2 escolhemos t 2 = 3. Aplicando f nos pontos auxiliares, obtemos f (t 0 ) = f ( 3) = > 0, logo f é crescente em (, 2). Como f (t 1 ) = f (0) = 12 < 0, então f é decrescente em ( 2,+2), e como f (t 2 ) = f (3) = > 0, f é crescente em (2, ). Não do valor exato da derivada em cada ponto auxiliar, basta saber o sinal da derivada neste ponto. Às vezes os cálculos são tão complicados, que devem ser evitados e até interrompidos tão logo tenhamos a informação que a derivada é positiva ou negativa. Exercício: Obter os pontos críticos e intervalos onde ocorre o crescimento ou decrescimento de cada função: (1) f (x) = x 2 + 2x + 9 (2) f (x) = 3x 2 6x + 7 (3) f (x) = x 3 12x Método para obter extremos de função em um intervalo 1. Calculamos a derivada de f, e resolvemos a equação f (x) = 0 para obter a lista dos pontos críticos de f. 2. Excluímos todos os pontos críticos que estão fora do intervalo [a, b]. 3. Anexamos à lista as extremidades a e b do intervalo, e os pontos onde a função não é contínua ou não tem derivada.

9 Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 9 4. Aplicamos a função f em cada ponto da lista, sendo que o maior valor é o valor máximo de f, e o menor valor é o valor mínimo de f. Exemplo: Para obter os mínimos e máximos da função f (x) = x 4 8x sobre o intervalo [ 1, 3], primeiro, derivamos a função e fazemos a derivada igual a zero para obter os pontos críticos, isto é: 4x 3 16x = 0 Dividimos a equação por 4 para obter x 3 4x = 0, fatorando a mesma como: x(x 2)(x + 2) = 0 Os pontos críticos são -2, 0 e 2. Como o intervalo não inclui -2, nós retiramos este ponto da lista. Acrescentamos as extremidades do intervalo: -1 e 3 à lista. Desse modo, a lista de números que podem ser mínimos ou máximos, é formada por: { 1,0,2,3} Aplicando a função a estes valores, obtemos (nesta ordem) f ( 1) = 2, f (0) = 5, f (2) = 11, f (3) = 14. Logo, f (3) = 14 é o máximo e f (2) = 11 é o mínimo. Neste exemplo, o máximo não ocorre em um ponto crítico, mas em uma extremidade do intervalo [a, b]. Exemplo: Temos 200 metros de arame para cercar um jardim retangular com a maior área possível. Qual devem ser as dimensões do jardim? Solução: Seja x a medida da largura e y a medida do comprimento do jardim. A área retangular é dada por A = x y. Como o perímetro é 200 metros, sabemos que 2x + 2y = 200, e extraindo o valor de y nesta relação obtemos y = 100 x. Agora, podemos reescrever a função que fornece a área usando apenas a variável x, na forma: A(x) = x y = x(100 x) = 100x x 2 A derivada desta função com respeito à variável x é A (x) = 100 2x. Tomando a expressão da derivada igual a zero, obtemos 100 2x = 0

10 Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 10 Figura 1: Parábola associada ao problema do jardim Resolvendo esta equação, obtemos apenas um ponto crítico x = 50. Qual é o intervalo que representa o domínio desta função? Quais são as extremidades deste intervalo? Aqui, vamos considerar x 0 e y 0 para podermos calcular a área. Como y = 100 x, devemos ter que x 100. Assim, o intervalo é [0,100]. Calculando a função A(x) = x(100 x) nos pontos 0, 50 e 100, obtemos A(0) = 0, A(50) = 2500, A(50) = 0. Assim, temos y = = 50, e a área máxima é A(50) = 50(50) = Exercícios: 1. Obter os mínimos e os máximos da função f (x) = 3x 4 4x sobre o intervalo [ 2, 3]. 2. Obter o valor mínimo e o valor máximo da função f (x) = x 3 +3x+1 sobre o intervalo [ 2, 2]. 3. Obter os pontos de máximo e de mínimo da função f (x) = 2x +3 sobre o intervalo [3, 6]. 4. Se x 1 e y 1 e x.y = 16, qual é a maior e qual é a menor soma possível destes números? 5. Se x 0 e y 0 e x + y = 12, qual é o maior e qual é o menor produto soma possível destes números?

11 Seção 6 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos 11 6 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos Agora estudaremos um método para obter extremos locais de uma função f sobre um intervalo [a, b], utilizando informações sobre os intervalos de crescimento e decrescimento da função, ou obter extremos absolutos (globais). Este processo inicia do mesmo modo que a análise de intervalos de crescimento ou decrescimento, e segue o procedimento para obter extremos (absolutos) de funções. Processo para obter extremos locais de uma função em um intervalo: 1. Calculamos a derivada de f. 2. Resolvemos a equação f (x) = 0 para obter os pontos críticos de f. 3. Geramos a lista com os pontos críticos do intervalo [a,b]. 4. Acrescentamos à lista as extremidades a e b e os pontos onde a função não é contínua ou pontos onde a função não possui derivada). A lista deve estar ordenada com os pontos do intervalo: {a = x 0, x 1,..., x n = b}. 5. Intercalamos pontos auxiliares t i entre os pontos x i da lista, tal que < t 0 < x 1 < t 1 < x 2 < t 2 <... < x n 1 < t n 1 < x n < t n < 6. Calculamos a derivada f em todos os pontos auxiliares t i. 7. Para cada ponto crítico x i, existe um ponto auxiliar à sua esquerda e outro à sua direita: t i < x i < t i+1. Vamos considerar quatro casos: (a) Se f (t i ) > 0 e f (t i+1 ) < 0, então f é crescente à esquerda de x i, f é decrescente à direita de x i, e f possui um máximo local em x i. (b) Se f (t i ) < 0 e f (t i+1 ) > 0, então f é decrescente à esquerda de x i, f é crescente à direita de x i, e f possui um mínimo local em x i. (c) Se f (t i ) < 0 e f (t i+1 ) < 0, então f é decrescente à esquerda de x i e também decrescente à direita de x i, então f não tem nem máximo local máximo nem mínimo local em x i. (d) Se f (t i ) > 0 e f (t i+1 ) > 0, então f é crescente à esquerda de x i e também crescente à direita de x i, então f não possui nem máximo local nem mínimo local em x i.

12 Seção 6 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos 12 As extremidades do (intervalo) domínio de definição da função, exigem um tratamento separado: Existe um ponto auxiliar t 1 à direita da extremidade a, e um ponto auxiliar t n à esquerda da extremidade b: 1. Na extremidade esquerda a, se f (t 1 ) < 0 então f é decrescente à direita de a, assim, a é um máximo local. 2. Na extremidade esquerda a, se f (t 0 ) > 0 então f é crescente à direita de a, assim, a é um mínimo local. 3. Na extremidade direita b, se f (t n ) < 0 então f é decrescente à esquerda de b, logo b é um mínimo local. 4. Na extremidade direita b, se f (t n ) > 0 então f é crescente à esquerda de b, logo b é um máximo local. Se houver confusão ao usar a lista, ela deve desaparecer após o seu uso. Já tratamos sobre o cálculo de f em pontos auxiliares entre pontos críticos para analisar se a função é crescente ou decrescente. Agora vamos aplicar aquela informação para analisar se existem picos do gráfico, ou vales do gráfico, ou nada em volta de cada ponto crítico e das extremidades do intervalo. Isto é, o significado geométrico da derivada ser positiva ou negativa é facilmente transformada em conclusões sobre máximos e mínimos locais. Exemplo: Obter os pontos de máximo e mínimo locais (relativos) da função f (x) = 2x 3 9x sobre o intervalo [a,b] = [ 2,2]. Solução: Derivamos a função, resolvemos a equação f (x) = 0, para obter 6x 2 18x = 0, ou seja, x(x 3) = 0, para obter os pontos críticos: 0 e 3. Como 3 não está no intervalo, nós retiramos o 3 da lista. Acrescentamos as extremidades do intervalo a = 2 e b = 2 à lista, para obter a lista ordenada { 2, 0, 2} de pontos especiais. Usaremos os pontos auxiliares - 1 e 1. Assim, f ( 1) = 24 > 0 e a função é crescente. Temos que f (1) = 12 < 0 e a função é decrescente. Assim, como f é crescente à esquerda e f é decrescente à direita de 0, o ponto 0 é um máximo local. Como f é crescente à direita da extremidade esquerda a = 2, a extremidade esquerda deve ter um mínimo local.

13 Seção 6 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos 13 Como f é decrescente à esquerda da extremidade direita b = 2, a extremidade direita deve ser um mínimo local. Os processos para obter extremos absolutos e extremos locais são similares, mas também existem diferenças fundamentais. As únicas relações entre eles são que, pontos críticos e extremidades (e pontos de descontinuidade, etc.) fazem um enorme papel em ambas as situações, e que o máximo absoluto é certamente um máximo local, e da mesma forma, o mínimo absoluto é certamente um mínimo local. Por exemplo, apenas aplicar a função nos pontos críticos não indica sobre quais pontos são extremos locais. Mas, sabendo quais dos pontos críticos são extremos locais, é apenas um pequeno passo para obter quais são extremos absolutos: valores ainda devem ser aplicados na função! Assim, não confunda os dois processos! Desse modo, é fácil criar problemas para obter o valores extremos de uma função em um intervalo, mas é difícil produzir uma aplicação simples de extremos locais. Exercício: Obter todos os máximos e mínimos locais (relativos) da função 1. f (x) = (x + 1) 3 3(x + 1) sobre o intervalo [ 2,1]. 2. f (x) = (x + 1) 3 3(x + 1) sobre o intervalo [ 3,2]. 3. f (x) = 1 12x + x 3 sobre o intervalo [ 3,3]. 4. f (x) = 3x 4 8x 3 + 6x sobre o intervalo [ 3,3].

14 Seção 7 Aplicações de máximos e mínimos 14 7 Aplicações de máximos e mínimos 1. A tabela abaixo indica a concentração y de alumínio (mg/kg) em uma espécie de planta em função do acúmulo de fósforo x (mg/kg) no solo. Fósforo (x) Alumínio (y) A curva de ajuste quadrático é y = a +bx +cx 2, onde os coeficientes tem valores aproximados: a = , b = e c = Figura 2: Concentração de alumínio devido ao fósforo no solo Usando a função de ajuste, obtenha o ponto de menor concentração de alumínio nesta situação? 2. Se y = ax 2 + bx + c é a equação do gráfico de uma função quadrática, obter os valores a, b e c se f ( 1) = 12, f (0) = 8 e f (1) = 6. Usando a função obtida, calcular os valores f (2), f (3), f (4) e f (5). Use a derivada para obter o ponto de máximo ou de mínimo no intervalo [-2,4].

15 Seção 7 Aplicações de máximos e mínimos A tabela mostra a densidade volumétrica y do solo (mg /m 3 ) em diferentes alturas x (m) do perfil do solo, para um dado tipo de manejo. x y A curva de ajuste cúbico é y = a +bx +cx 2 +dx 3, com coeficientes tendo valores aproximados: a = , b = , c = e d = Figura 3: Densidade volumétrica em função da altura do perfil (a) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da densidade volumétrica se 0 < x < 0.5? (b) Qual é o ponto de inflexão desta curva? (c) Em quais intervalos há crescimento e decrescimento desta função? (d) Em quais intervalos, a declividade da curva é positiva ou negativa?

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