Aula 18 Elipse. Objetivos

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1 MÓDULO 1 - AULA 18 Aula 18 Elipse Objetivos Descrever a elipse como um lugar geométrico. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo focal. Conceitos: Sistemas de coordenadas e distâncias no plano. Esboçar o gráfico da elipse, a partir da equação reduzida, e fazer translações. Identificar os parâmetros a,b e c e a sua excentricidade. Referências: Aulas 13 e 14. Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices, a partir da equação reduzida. Como acabamos de mencionar na aula anterior, há muitas aplicações para a parábola, sendo esta curva plana encontrada em várias situações na prática cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula, não é tão facilmente encontrada na natureza. Porém, observe as seguintes figuras: Figura 18.1: Vemos uma elipse olhando um círculo de lado. Figura 18.2: Elipse na superfície da água num copo inclinado. Figura 18.3: Elipse no telhado do planetário Tycho Brahe em Copenhagen, Dinamarca. Embora os gregos já conhecessem as cônicas, apenas em 1609 o astrônomo alemão Johann Kepler descobriu que as órbitas dos planetas eram elipses. Consideremos fixados no plano dois pontos F 1 e F 2. A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos F 1 e F 2 é constante. Escrevendo esta constante como 2a, temos elipse = {P d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a}. Os pontos F 1 e F 2 são chamados focos da elipse. Kepler, Nasceu perto de Stuttgart. Obteve o modelo para o movimento dos planetas, usando os dados observados pelo astrônomo Tycho Brahe. Foi Kepler quem introduziu o nome foco. 243 CEDERJ

2 Figura 18.4: Vista da órbita que a Terra faz ao redor do Sol. Figura 18.5: A soma das distâncias de um ponto da elipse a F 1 e F 2 é constante: d 1 +d 2 = 2a. Você já deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, constroem canteiros circulares e elípticos. É muito fácil desenhar na terra ou no papel círculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distância menor que o comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse. Você pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades do barbante com tachas e usando um lápis para esticar o barbante. As tachas serão os focos da elipse. Observe que a distância entre os focos é, obviamente, menor do que o comprimento do barbante. Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel. Seja 2c a distância entre F 1 e F 2. Note que 2c < 2a, isto é, c < a. CEDERJ 244 Para encontrar a equação de uma elipse, vamos fixar um sistema de coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F 1 e F 2, com a origem O situada no ponto médio do segmento F 1 F 2, e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orientação do eixo x

3 MÓDULO 1 - AULA 18 é de O para F 2. O eixo y tem a sua orientação, forçosamente, fixada (para relembrar o conceito de orientação, reveja a Aula 13). Figura 18.7: Construção do sistema de coordenadas. Nesse sistema de coordenadas, temos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0), onde c é um número real positivo. Então, P = (x, y) é um ponto da elipse 2a = d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) 2a = d((x, y), ( c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) 2a = (x ( c)) 2 + (y 0) 2 + (x c) 2 + (y 0) 2 2a = (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 2a (x c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2. Elevando ao quadrado ambos os membros da última igualdade, obtemos 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2. Desenvolvendo os quadrados, temos 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + x 2 2cx + c 2 + y 2 = x 2 + 2cx + c 2 + y 2. Cancelando as parcelas iguais e somando 4a 2 + 2cx a ambos os membros da igualdade, obtemos 4a (x c) 2 + y 2 = 4cx 4a 2. Cancelando o fator comum, temos a (x c) 2 + y 2 = cx a 2. Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos a 2 ((x c) 2 + y 2 ) = c 2 x 2 2a 2 cx + a 4. Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos a 2 x 2 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = c 2 x 2 2a 2 cx + a 4. Somando c 2 x 2 + 2a 2 cx a 2 c 2 a ambos os membros desta igualdade, reescrevemos a equação como (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 c 2 = a 2 (a 2 c 2 ). 245 CEDERJ

4 Como a > c > 0, temos que a 2 > c 2. Assim, a 2 c 2 é um número real positivo e podemos escrevê-lo como o quadrado de um número real b > 0, logo b 2 = a 2 c 2. Observe que b < a. A equação anterior se reescreve como b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 que, dividindo por a 2 b 2 0, é equivalente a x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, onde c2 = a 2 b 2. Esta equação é chamada equação reduzida da elipse. A interpretação geométrica para a e b pode ser vista a partir da equação reduzida. Fazendo y = 0 nesta equação, obtemos x2 = 1, que é equivalente a2 a x 2 = a 2. Portanto, x = ±a e os pontos A 1 = ( a, 0) e A 2 = (a, 0) são pontos da elipse, chamados vértices. O eixo maior da elipse é o segmento de reta A 1 A 2, que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos y2 b 2 = 1, que dá y = ±b. Logo, os pontos B 1 = (0, b) e B 2 = (0, b) são os pontos de interseção da elipse com o eixo y e são as extremidades do eixo menor, cujo comprimento é 2b. A origem O é o centro da elipse. Observe que os focos estão situados no eixo maior da elipse. Figura 18.8: elipse. Eixos maior e menor da Figura 18.9: a 2 = b 2 + c 2. Relação dos parâmetros: O gráfico da elipse é Graf = { (x, y) } x2 a + y2 2 b = 1. 2 CEDERJ 246 Ilustramos, nas Figuras e 18.11, os gráficos de x2 4 + y2 1 = 1 e x y2 4 = 1.

5 MÓDULO 1 - AULA 18 Figura 18.10: Elipse x2 4 + y2 x2 1 = 1. Figura 18.11: Elipse 9 + y2 4 = 1. Note que: (1) um ponto P = (x, y) está na elipse (x, y) também está na elipse. (2) um ponto P = (x, y) está na elipse ( x, y) também está na elipse. (3) um ponto P = (x, y) está na elipse ( x, y) também está na elipse. As propriedades anteriores são conseqüência das variáveis x e y aparecerem ao quadrado na equação da elipse e significam, respectivamente, que: (1) o gráfico da elipse é simétrico com respeito ao eixo x. (2) o gráfico da elipse é simétrico com respeito ao eixo y. (3) o gráfico da elipse é simétrico com respeito à origem O. Figura 18.12: Visualização das simetrias dos pontos da elipse. A excentricidade da elipse é o número real e = c a, 0 < e < 1. A excentricidade da elipse é responsável pela forma da elipse. Elipses com excentricidade próxima de zero têm os semi-eixos com comprimentos próximos. Elas são aproximadamente um círculo, pois e = c a 0 = c 0 = c2 0 = b 2 = a 2 c 2 a 2 = b a. o símbolo significa aproximadamente. 247 CEDERJ

6 Elipses com excentricidade próxima de um têm uma forma alongada, com o semi-eixo menor de comprimento próximo de zero, pois e = c a 1 = c a = c2 a 2 = b 2 = a 2 c 2 0 = b 0. Os planetas têm órbitas elípticas em torno do Sol, um dos focos, com excentricidade próxima de zero. O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma volta em torno do Sol, com órbita elíptica com excentricidade 0, 96, enquanto a excentricidade da órbita da Terra é 0, 02. Exemplo 18.1 Qual é o subconjunto do plano E = {(x, y) 4x 2 8x + 9y y = 4}? Para responder vamos tentar reescrever a equação anterior, tomando como modelo a equação reduzida da elipse. Temos: 4 = 4x 2 8x + 9y y, isolando os polinômios em x e em y, = (4x 2 8x) + (9y y), colocando 4 e 9 em evidência, na primeira e segunda parcelas, respectivamente, = 4(x 2 2x) + 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinômios em x e y, respectivamente, = 4(x 2 2x + 1 1) + 9(y 2 + 4y + 4 4), reescrevendo, = 4(x 2 2x + 1) 4 + 9(y 2 + 4y + 4) 36, escrevendo os quadrados, = 4(x 1) 2 + 9(y + 2) Esta igualdade é equivalente a 4(x 1) 2 + 9(y + 2) 2 = 36. Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, obtemos (x 1) 2 (y + 2)2 + = 1, 9 4 Figura 18.13: Elipses x2 9 + y2 4 = 1 e (x 1)2 9 + (y+2)2 4 = 1. que é a equação de uma elipse obtida pela translação de 1 unidade, horizontalmente, e de 2 unidades, verticalmente, dos pontos da elipse com equação CEDERJ 248

7 MÓDULO 1 - AULA 18 x y2 4 = 1. O centro (0, 0) desta última elipse é transladado para (1, 2). De modo geral, a elipse x2 a + y2 = 1 tem centro (0, 0) e eixos de simetria 2 b2 x = 0 e y = 0. Quando esta elipse é transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente é obtida tendo equação (x h) 2 (y k)2 + = 1. a 2 b 2 O centro (0, 0) é transladado para o ponto (h, k) e os focos, os vértices, as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria são transladados como indicado a seguir: extremidades do eixo menor x 2 a + y2 2 b = 1 (x h) 2 (y k)2 + = 1 2 a 2 b 2 centro: (0, 0) (h, k) focos: (c, 0) e ( c, 0) (c + h, k) e ( c + h, k) vértices: (a, 0) e ( a, 0) (a + h, k) e ( a + h, k) : (0, b) e (0, b) (h, b + k) e (h, b + k) eixos de simetria: x = 0 e y = 0 x = h e y = k Atenção: A translação não afeta a excentricidade, porque a translação não deforma a figura. Figura 18.14: Elipses x2 a + y2 2 b = 1 e (x h)2 2 a + (y k)2 2 b = 1, com a > b CEDERJ

8 Resumo Você aprendeu a descrever a elipse como um lugar geométrico; a determinar os parâmetros a, b e c da elipse, a partir da equação reduzida obtida no sistema de coordenadas onde o eixo x é o eixo focal e a origem é o centro de simetria da elipse ; a fazer translações; a determinar as coordenadas dos focos, dos vértices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse e o seu significado. Exercícios 1. Esboce o gráfico das elipses: (a) x y2 9 = 1 (b) x2 4 + y2 1 = 1 (c) x y2 16 = 1 (d) 8x 2 + 9y 2 = 72 (e) x 2 + 9y 2 = 36 (x 1)2 (y + 2)2 (f) + = (g) 9(x 3) (y 2) 2 = 144 (h) 4(x + 2) 2 + 9(y 3) 2 = 36 (i) 9x y 2 = Considere as elipses do exercício anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos vértices. (b) a excentricidade. 3. Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada: (a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6. (b) Focos (±3, 0) e vértices (±5, 0). (c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente, (3, 1), (9, 1) e (6, 1), (6, 3). (d) Focos ( 2, 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento Determine as coordenadas do centro, vértices e focos das elipses: 4x 2 8x + 9y 2 36y + 4 = 0 e 16y y + x 2 4x + 52 = O Sputnik, primeiro satélite lançado da Terra em 1957, descrevia uma órbita elíptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equação da sua órbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior CEDERJ 250

9 MÓDULO 1 - AULA 18 altitude foi de 840 km, a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra é de 570 km. Auto-avaliação Se você sabe determinar a equação reduzida da elipse, a partir das propriedades geométricas; esboçar o gráfico da elipse, usando a sua equação reduzida; determinar as coordenadas dos vértices, dos focos e das extremidades do eixo menor, a partir da equação reduzida, então pode passar para a próxima aula. Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a sua interessante propriedade reflexiva! 251 CEDERJ

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