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1 MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada na construção de gráficos de funções. Alguns requisitos necessários à construção de gráficos, já foram apresentados em tópicos de aulas anteriores; além desses requisitos, neste tópico serão introduzidos os conceitos de convexidade, concavidade e ponto de inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar gráficos de funções. Serão introduzidos também os conceitos de assíntotas vertical e horizontal, que auxiliam a esboçar com mais precisão os gráficos de um grupo amplo de funções. O tópico é finalizado com as construções dos gráficos das funções seno e co-seno, que foram apresentados no tópico 2 da aula 02, sem nenhuma justificativa. O esboço de gráficos será necessário a vários assuntos que serão tratados posteriormente, de imediato podem ser citados os cálculos de área e volume a serem vistos no próximo módulo. Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado [a,b] e suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte. OBSERVAÇÃO Quando o ponto P(x,y) se desloca sobre a curva C, a reta tangente a C em P varia continuamente de posição, assim: a reta tangente está acima de algum arco de C em torno de P, como nas partes do gráfico entre A e Q 1 e entre Q 2 e B; a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de P, como na parte do gráfico entre Q 1 e Q 2; e nos pontos de transição, onde a reta tangente muda de cima para baixo (ou de baixo para cima) de C localmente, ela secciona C, como nos pontos Q 1 e Q 2. Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um intervalo aberto I, têm-se os seguintes conceitos: se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está abaixo de S, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO em I (ou ainda, que a função f é convexa em I); se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está acima de S, diz-se que o gráfico de f é CÔNCAVO em I (ou que a função f é côncava em I); e o ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou vice-versa, chama-se um PONTO DE INFLEXÃO. Uma função f é dita CONVEXA ou

2 CÔNCAVA, quando o gráfico de f é convexo ou côncavo no seu domínio, respectivamente. O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico de uma função, podem ser previamente identificadas a partir do sinal da derivada segunda da função. TEOREMA 1. Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto I, então o gráfico de f é: (a) Convexo em I, se para todo (b) Côncavo em I, se para todo DEMONSTRAÇÃO Seja S a parte do gráfico de f correspondente ao intervalo I. Considere e a reta tangente a S no ponto Considere ainda, um ponto de S com e o ponto correspondente da reta tangente. Então, para concluir a demonstração, basta provar que Q está abaixo de P, ou seja, a diferença é maior que zero. A fórmula de Taylor para f em torno de xo com n = 1 - (Clique aqui para abrir) Se n = 1 a fórmula de Taylor para f em torno de X 0,fica assim e O gráfico de P 1 é a reta tangente ao gráfico de f em é o erro cometido na aproximação de f(x) por p 1 (x).

3 (dada no tópico 2 da aula 06) é onde c está entre x 0 e x, e é a equação da reta tangente ao gráfico de f em.assim, fazendo x=1 temse por outro lado, como p 1 (u)=y u, obtém -se Sendo f"(c)>0 pois (por hipótese) f"(x)>0 para todo x em I, temse O que conclui a demonstração da parte (a) do teorema. A demonstração da parte (b) do teorema é análoga a da parte (a) e está proposta no exercício 54 do exercitando deste tópico. Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira, conforme o exercício 55 do exercitando deste tópico. São comuns as definições de convexidade e concavidade num ponto (invés de num intervalo) de acordo com o teorema 1, isto é, diz-se que o gráfico de f é convexo no ponto (a,f(a) se f"(a)> 0 e côncavo no ponto (a,f(a)) se f"(a) < 0. O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de c, onde uma função f tal que f" é contínua em c, tem um ponto de inflexão. TEOREMA 2. Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto contendo c e é contínua em c. Se (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2 Suponha que, então sendo f" contínua em c, tem-se assim (veja corolário 1 do teorema 5 do texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03) ou clique aqui par abrir existe um intervalo aberto I contendo c tal que para todo ou para todo, conforme ou, respectivamente. Logo, pelo teorema 1, em I o gráfico de f é somente côncavo ou apenas convexo, assim (c,f(c)) não pode ser ponto de inflexão. Isto mostra que com as hipóteses do teorema, (c,f(c)) só pode ser ponto de inflexão se

4 (a) implica que f(x) > 0; (b) Se implica que f(x) < 0. OBSERVAÇÕES a) A recíproca do teorema 2, em geral, não é verdadeira, por exemplo: se então portanto e x = 1 mas (1,0) não é ponto de inflexão do gráfico de f, pois (1,0) não separa partes convexa e côncava do gráfico de f. b) O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num valor onde a derivada segunda da função não existe, por exemplo: se assim g"(x) não existe se x = 0 ; além disso, o gráfico de g é convexo em e côncavo em pois para x < 0 para x > 0, portanto (0,0) é ponto de inflexão do gráfico de g. c) Assim, pode-se concluir do teorema 2 e do comentário anterior: os possíveis valores de c tais que (c,f(c)) é ponto de inflexão do gráfico de uma função f, são os valores onde f"(c) é igual à zero ou não existe; além disso estes são os valores que determinam os intervalos onde o gráfico de f pode ser convexo ou côncavo. OBSERVAÇÃO As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do gráfico da função, tais como: os intervalos de crescimento e decrescimento, localização dos pontos extremos, os intervalos em que o gráfico é convexo ou côncavo e os pontos de inflexão. O exemplo seguinte ilustra como esboçar o gráfico de uma função a partir de tais informações, onde o item (a) justifica o modelo da parábola cúbica (vá à seção MATERIAL DE APOIO do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) quando a > 0 ; se a < 0 a justificativa do modelo está sugerida no exemplo proposto 1(a) a seguir. EXEMPLO RESOLVIDO 1. Fazer o gráfico da função dada: SOLUÇÃO DO EXEMPLO RESOLVIDO 1.

5 A Tem-se logo f'(x) = 0 se x = b. Sendo obtém-se se x = b. A reta indicada na figura e representando o domínio de f (que é o conjunto dos números reais), foi dividida considerando o valor b, nas partes resultantes da divisão que representam os intervalos e acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f. Assim, conclui-se: (1) f é crescente no seu domínio; (2) O gráfico de f é convexo em e côncavo em,ou seja, (b,c) é ponto de inflexão do gráfico de f; (3) O gráfico é simétrico em relação à (b,c) conforme exercício 29 do exercitando do tópico 2 da aula 02. Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico de f conforme o modelo estabelecido. B Tem-se logo se x = -1 e x = 1. Como obtém-se se x = o. A reta seguinte, representando o domínio de g, foi dividida considerando os valores -1, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão, acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de g. Assim concluí-se; (1) A função g é crescente nos intervalos e e decrescente em (-1,1). Logo g(-1)=4 é máximo local g(1)=0 é mínimo local ; (2) O gráfico de g é côncavo em e convexo em Assim (0,2) é ponto de inflexão do gráfico de g.

6 Com base nestas conclusões, faz-se o gráfico de g, que está na figura a seguir. C Sendo tem-se logo = 0 se x+2 = 0, isto é, se x=-2 e não existe se ou seja, se x = o. Como obtém-se =0 se x = 1 e não existe se x = 0. A reta seguinte, representando do domínio de h, foi dividida pelos valores -2, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente nos intervalos e decrescente em (-2,0). Logo é máximo local h(0) = 0 é mínimo local; (2) O gráfico de h é côncavo em e (0,1) é convexo em Dái apenas (1,6) é ponto de inflexão do gráfico de h.

7 Considerando as informações, faz-se o gráfico de h, que está na figura à seguir. figuras: EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções, pode ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções. Antes é necessário introduzir alguns conceitos. ASSÍNTOTA VERTICAL A reta x = c é uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica: As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, para x próximo de c, na primeira na segunda se e

8 ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta y = L é uma ASSÍNTOTAHORIZONTAL do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica: As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, relativamente à reta y = L, a primeira se e na segunda se a primeira situação, refere-se quando através de valores menores do que L e a segunda é quando através de valores maiores que L. O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente vertical ou horizontal, conforme está definida no enunciado dos exercícios 50 e 51 do exercitando deste tópico. EXEMPLO RESOLVIDO 2 Fazer o gráfico da função dada: SOLUÇÃO A Tem-se assim f'(x) não existe para x = 0. Como obtém - se que f"(x) não existe para x = 0. A reta seguinte foi dividida considerando o valor 0, nas partes resultantes da divisão, acima aparece o sinal da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f. Assim conclui-se (1) f é decrescente no seu domínio;

9 (2) O gráfico de f é côncavo em e convexo em O gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero, pois f não está definida nesse valor; (3) A reta x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f, pois (por exemplo) a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f, pois (por exemplo) (4) Como para todo o gráfico de f é simétrico em relação à origem. Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico de f que foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 1 da aula 02. Observe que devido à simetria do gráfico em relação à origem, bastaria analisar a função para x > 0. B Sendo obtém-se logo, g'(x) = 0 para x = 0 e g' (x) não existe para.como tem - se que para todo x e g"(x) não existe para Observe que g não está definida para A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, 0 e 2,nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g. Logo, têm-se as seguintes informações: (1) g é crescente em e (-2,0) e decrescente em (0,2) e Assim é máximo local;

10 (2) O gráfico de g é côncavo em (-2,2) e convexo em e O gráfico não tem ponto de inflexão em -2 e 2, pois g não está definida nestes valores; (3) O gráfico de g não intercepta o eixo X, pois para todo x. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais do gráfico, pois (por exemplo) e ; y = 0 é assíntota horizontal do gráfico, pois Acha-se ainda (4) Sendo para todo x no domínio de f, o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Considerando as informações obtidas, faz-se o gráfico de g, que está na figura a seguir. Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo Y, bastaria analisar a função para C Sendo tem-se logo para x = -1 e h'(x) não existe para x = 1. Como

11 obtém-se =0 se x = -2 e h"(x) não existe se x = 1. Observe que h não está definida para x = 1. A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, -1 e 1, nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente em (-1,1) e decrescente em e Logo, é mínimo local; (2) O gráfico de h é côncavo em e convexo em (-2,1) e Daí é ponto de inflexão do gráfico de h; (3) O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h(0) = 0, a reta x = 1 é assíntota vertical do gráfico pois e y = 0 é assíntota horizontal do gráfico pois Tem-se ainda Considerando estas informações, faz-se o gráfico de h, que está na figura a seguir. EXEMPLO PROPOSTO 2 Se verificar que o gráfico de f está na figura a seguir. EXEMPLO RESOLVIDO 3 Fazer os gráficos das seguintes funções: a) b)

12 c) se Solução. A O domínio da função seno é o conjunto dos números reais, pois todo número real x é possível na equação Como o seno tem período igual a (isto é, para todo x), cada intervalo de comprimento igual a antes de 0 e a partir de, dá a mesma parte do gráfico que for obtida com assim, para obter o gráfico da função seno, basta ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é encontrado através da periodicidade. Considerando tem-se se e se x = 0, O segmento de 0 a em seguida, foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda do seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas. Assim conclui-se (1) O seno é crescente nos intervalos e, e decrescente em ; (2) O gráfico do seno é côncavo em Considerando as informações obtidas, tem-se a justificativa do gráfico da função seno - (Clique aqui para abrir), conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02. Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então as funções seno e co-seno são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados.

13 B A função co-seno tem o mesmo domínio e período de função seno, assim para obter o gráfico da função co-seno, basta ter a parte do gráfico correspondente a o restante é encontrado através da periodicidade. Considerando tem-se se x = 0, x = e x =, e se O segmento de 0 a a seguir, foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda da função co-seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas. Assim conclui-se (1) O co-seno é decrescente no intervalo (2) O gráfico do co-seno é côncavo em e, e convexo em. Considerando as informações obtidas, tem-se o gráfico da função co-seno, conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02. Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então as funções SENO e CO-SENO são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os

14 respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados. C Sendo assim o gráfico de h é simétrico em relação à origem, logo basta analisar a função h em a simetria pode ser usada. Como, tem -se em para x = 0 e. Sendo, obtém-se em para. O segmento de 0 a a seguir, foi dividido por e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente em (2) O gráfico é convexo em é ponto de inflexão do gráfico. Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico em relação à origem, faz o gráfico de h, que está na figura a seguir.

15 EXEMPLO PROPOSTO 3. Sendo e verificar que o gráfico de f está na figura a seguir. LEITURA COMPLEMENTAR Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo EXERCITANDO(AULA07_TOP2).DOC para resolver o exercitando ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2, 7 e 42 do exercitando são as respectivas QUESTÕES 3 ATÉ 5 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado. FONTES DAS IMAGENS Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

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