GA Estudo das Retas. 1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0).

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1 GA Estudo das Retas 1. (Pucrj 01) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 5 e vértices A = (, 5), B = (, 0) e C = (c, 0). A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: a) y x 7 x b) y 5 x c) y 5 x d) y 7 x e) y 7. (Pucrj 01) O triângulo da figura abaixo é equilátero e tem vértices A, B = (, ) e C = (8, ). Página 1 de 16

2 As coordenadas do vértice A são: a) 5, 7 b) 6, c) 8, 5 d) 6, 7 e) 6, 5 7. (Upe 01) A reta r da figura possui equação x y + 6 = 0, e o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de área. Qual é a equação da reta s? a) x,5 = 0 b) x = 0 c) x,5 = 0 d) x = 0 e) x,5 = 0. (Ufpr 01) Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo. a) Escreva a equação da reta r. b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta. 5. (Uern 01) Uma reta tem coeficiente angular igual a e passa pelos pontos (, ) e (, k). A soma do coeficiente linear da reta com o valor de k é a) 5. b) 7. c) 1. d) 1. Página de 16

3 6. (Ufrgs 01) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são x + y = 0, 5x y 8 = 0 e x y + = 0. As equações de r e s são, respectivamente, a) x + y = 0 e x y + = 0. b) x + y = 0 e 5x y 8 = 0. c) 5x y 8 = 0 e x y + = 0. d) x y + = 0 e x + y = 0. e) x y + = 0 e 5x y 8 = (Espm 01) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A(0, 0), B(, ) e C(, 5), a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A será: a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x e) y = 5x 8. (Fgv 01) Considere a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem simultaneamente as inequações: x y 6 x y x 0 y 0 A área dessa região é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Página de 16

4 9. (Insper 01) No plano cartesiano, as retas r e s têm coeficientes angulares iguais a 1 e, respectivamente, e a reta t tem equação y k, sendo k uma constante positiva. Se a área do triângulo destacado na figura é A, então o valor de k é a) b) c) d) e) A. 5 6A. 5 5A. 7A. A. 10. (Unicamp 01) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é a) 1 b) c) 5 d) 7 Página de 16

5 11. (Pucsp 01) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios, N 1 e N, antes de ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I. Considerando que, no momento em que N 1 e N se encontravam atracados em I, um terceiro navio, N, foi localizado no ponto de coordenadas (6; 9), a quantos quilômetros N distava de I? a) 8 b) 0 c) d) 6 e) 0 1. (Ufpr 01) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: a) x y b) x 9y 0 c) x y 1 d) x y e) x y 1. (Epcar (Afa) 01) Considere no plano cartesiano as retas k s: k 1 x y 0, onde k. Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão a) concorrentes perpendiculares. b) concorrentes oblíquas. c) paralelas distintas. d) paralelas coincidentes. x t r: 1 y t e Página 5 de 16

6 1. (Uel 01) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à calçada. a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 15º com a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de metros, calcule o comprimento da rampa. b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na resolução de cada item. 15. (Pucrj 01) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y =, x = e x + y = é: a) b) c) d) e) 16. (Mackenzie 01) Na figura, as retas r e s são paralelas. Se (x,y) é um ponto de s, então x y vale a) b) c) d) e) Página 6 de 16

7 17. (Udesc 011) A região sombreada na figura tem como limitantes as retas y 0, y x, y x, y 7 e y 5 x. A área da região sombreada é: a) 15 b) 19 6 c) 107 d) 1 e) (Uft 011) Qual o perímetro do triângulo ABC representado na figura a seguir, sabendo-se que as retas r e t são definidas pelas equações r : x y 6 0 e t : x y 0 a) 18 unidades de medida. b) 17 unidades de medida. c) 16 unidades de medida. d) 15 unidades de medida. e) 1 unidades de medida. 19. (Upe 011) Sobre a equação reduzida da reta que intercepta o eixo y no ponto (0,) e o eixo x no ponto (,0), é correto afirmar que o coeficiente angular a) da reta será um número positivo ímpar. b) da reta será um número positivo par. c) da reta será um número negativo cujo módulo é um número ímpar. d) da reta será um número negativo cujo módulo é um número par. e) da reta é nulo. Página 7 de 16

8 0. (Ufpr 011) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então: a) (1,7). b) (,8). c) (,1). d) (5,1). e) (6,15). Página 8 de 16

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Sabendo que a área do triângulo ABC mede 5, obtemos AB BC 5 5 (c ) 5 c 1. A equação de r é dada por yc ya 0 5 y y C (x x C) y 0 (x 1) x x 1 C A x y 7. Resposta da questão : [A] Dado que ABC é equilátero e observando que B e C estão sobre a reta abscissa do ponto A é dada por y, segue que a xb xc 8 xa 5. Além disso, como o coeficiente angular da reta AB é igual a tg60, segue que a sua equação é y (x ) y x. Portanto, a ordenada do vértice A é igual a Resposta da questão : [B] ya 5 7. Como a equação explícita da reta r é y x, segue que B y. Sendo C (x C, y C), e sabendo que a área do trapézio OBCD é igual a 9 u.a., vem 1 1 (yb y C ) xc 9 xc xc 9 (xc ) 6 xc. Portanto, a equação da reta s é x 0. Página 9 de 16

10 Resposta da questão : a) Utilizando a forma segmentária da equação da reta, temos: x y 1 x y 1 0. b) Para que a reta s divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais, deveremos considerar M como ponto médio de AB. Portanto: 0 xm 0 ym / y 0 M0 Logo, m s. x 0 M0 Resposta da questão 5: [C] Se a reta passa pelos pontos (, ) e (, k), e o coeficiente angular é igual a, então k k. Além disso, a equação explícita da reta é dada por y (x ) y x 10. Portanto, o coeficiente linear da reta é igual a 10 e a soma pedida vale Resposta da questão 6: [A] Determinando a equação reduzida de cada equação de reta, temos, de acordo com o valor do coeficiente angular: x y 0 y x Equação da reta r 5 5x y 8 0 y x Equação da reta t 1 x y 0 y x 1 Equação da reta s. Página 10 de 16

11 Resposta da questão 7: [B] Sejam r a reta suporte do lado BC e t a reta suporte da altura relativa ao vértice A. O coeficiente angular da reta r é dado por yc yb 5 1 m r. xc xb ( ) 6 1 Logo, como r t, segue que o coeficiente angular da reta t é mt e, portanto, a mr equação de t é y y m (x x ) y 0 (x 0) A t A y x. Resposta da questão 8: [B] x6 x y 6 y x y y x x 0 y 0 Localizando a região no plano e determinando o ponto P x6 y y x logo P (,) Calculando a área A assinalada, temos: A = A 1 + A + A 1 A A = 7. Página 11 de 16

12 Resposta da questão 9: [A] Seja A o ponto de interseção das retas s e t. As coordenadas do ponto A correspondem à solução do sistema formado pelas equações de s e de t, ou seja, k y x x k xa y k y k ya k. Por outro lado, se B é a interseção das retas r e t, então suas coordenadas são tais que 1 1 y x x k xb k yb k. y k y k Portanto, obtemos 1 1 k A (xb x A ) ya A k k 5k Resposta da questão 10: [C] A A k. 5 1 mr, logo ms (r e s são perpendiculares) 1 1 Equação da reta s: y (x 1) y x 1 x y 5 0 Intersecção com o eixo x: x +.0 = 5 x = 5. Logo, A (5,0). 5 5 Intersecção com o eixo y: = 5 y. Logo, A,0. Calculando a área do triângulo, temos: 5 5 A 5 A Página 1 de 16

13 Resposta da questão 11: [B] Sejam y mrx hr a equação da reta r. Do gráfico segue que hr 1. Além disso, como r intersecta o eixo x no ponto de abscissa 1 x, segue que 0 m r ( ) 1 m r. Por outro lado, como a reta s intersecta o eixo x em (, 0), e o ângulo que ela forma com esse eixo é 5, temos que sua equação é y 0 tg5 (x ) y x. As coordenadas do ponto I constituem a solução do sistema formado pelas equações de r e de s: 1 1 y x 1 x 1 x xi 8. yi 5 y x y x Portanto, a distância pedida é dada por (6 8) (9 5) 18 0km. Resposta da questão 1: [A] O quadrado cinza tem lado medindo e o quadrado hachurado tem lado medindo. Observe a figura: Coeficiente angular da reta r: 1 mr 0 logo, a equação reduzida da reta r será: 1 y x que é equivalente à equação: x y Página 1 de 16

14 Resposta da questão 1: [D] x t Escrevendo a reta r: 1 y t na forma geral, temos: Escrevendo as duas retas na forma reduzida, temos: 1 (r)y x e (s) y (k 1) x k Para que as retas sejam paralelas iguais, devemos ter: K 1 1 k K 1 Como não se pode ter dois valores distintos para k, concluímos que as retas nunca serão paralelas iguais. Resposta da questão 1: a) Equação da reta r. (m r = -1 e passa por (,0)) y 0 = -1. (x ) x + y = 0. Determinando o ponto Q (fazendo x = 0): 0 + y - = 0 y =. Logo, Q(0,). Calculando o tamanho R da rampa: R = + R = m b) Calculando a distância do ponto P(pássaro) à reta r: d = m 1 1 Página 1 de 16

15 Resposta da questão 15: [E] Considere a figura. O triângulo, cujo perímetro queremos calcular, tem vértices nos pontos (0, 0), (0, ) e (, 0). Portanto, como esse triângulo é retângulo e isósceles, segue que seu perímetro é dado por. Resposta da questão 16: [C] Seja A (, 0) o ponto de interseção da reta s com o eixo das abscissas. Como a distância de A até a reta r é igual e o ângulo que a reta r forma com o eixo das abscissas mede 5, segue que. Portanto, x y 0 0. Resposta da questão 17: [C] O ponto B é a intersecção das retas y x x x B (, ). x e y x. Logo, O ponto C é a intersecção das retas y x e y 7. Assim, x 7 x 5 C (5, 7). O ponto D é a intersecção das retas y 7 e y 5 x. Desse modo, 7 5 x x 6 D (6, 7). O ponto E é a intersecção da reta y 5 x com o eixo das abscissas. Por conseguinte, x 0 x E, 0. Portanto, a área pedida é dada por (ABCDE) Página 15 de 16

16 Resposta da questão 18: [A] Ponto A x y 6 0 A(,) x y 0 Ponto B: B(0,0) Ponto C x y 6 0 C(8,0) y 0 AB ( 0) 0 5 AC ( 8) 0 5 BC Calculando o perímetro P, temos: P = = 18 Resposta da questão 19: [D] 0 m = 0 Número negativo, cujo módulo é um número par. Resposta da questão 0: [C] A equação da reta PQ é: y x x Seja R (0, 0). O ponto P é a interseção das retas PQ e RP. Como estas retas são perpendiculares, segue que m. Assim, a equação da reta RP é: RP y 0 (x 0) y x 60. O ponto P é a solução do sistema formado pelas equações de PQ e RP : 1 1 y x y x y 1 P (,1). 5 x y x 60 x 60 Página 16 de 16

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