FUVEST a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

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1 FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, sucos de laranja e cocadas, gastando R$ 7,00 Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 0,00, calcule o preço de cada um desses itens Representando o valor de um suco por s, o de um hambúrguer por h e o da cocada por c, de acordo com as informações podemos escrever o sistema: s + h + c = 0 s + h + c =,0 s + 8h + c = 7 Resolvendo: s + h + c = 0 s + h + c = 0 s + h + c = 0 s + h + c =,0 { L L h + c =,0 h + c =,0 { { s + 8h + c = 7 L L h + c = 7 L L h = s + h + c = 0 s =,0 c =,0 c =,0 h = h = RESPOSTA: Os preços são: um suco - R$,0; um hambúrguer - R$,00; uma cocada - R$,0 Q0 No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = e cos Ĉ = Sabendo-se que o 8 BR ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e =, calcule BC 7 a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC b) a área do triângulo ABR

2 Pelas informações do problema concluímos que o triângulo ACR é isósceles, logo H é o ponto médio da base CR Sendo cos Ĉ =, no triângulo retângulo AHR: 8 HR HR cos Ĉ = = = HR = CR = AR 8 a) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo AHR: AR = RH + AH 6 = + AH AH = AH = BR b) Da relação = podemos afirmar que BR = x e BC = 7x, com x diferente de BC 7 zero Pela figura BC = BR + RC Como RC =, temos: 7x = x + x = x = BC = 7 e BR = O triângulo ABR tem base o segmento BR e como altura AH, assim sua área é: = RESPOSTA: a) O segmento AH que é a altura relativa ao lado BC e mede b) A área do triângulo ABR é Q0 Um polinômio de grau possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9 A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é, determine a) a progressão aritmética b) o coeficiente do termo de grau desse polinômio a) Como o polinômio é de grau podemos representá-lo com a igualdade P(x) = a(x x' )(x x' ' )(x x' ' ' ) Como as três raízes reais colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética temos: x = y r, x = y e x = y + r com y, r R * A soma dos termos dessa PA é igual a 9 y r + y = y + r = 9 9 y = y =

3 Assim x = r, x = e x = + r A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é r + r r = + r + r + r r = = r = 7 x = =, x = e x = + = 7 RESPOSTA: A progressão aritmética é:,, b) Existem muitos polinômios equivalentes ao polinômio P(x) = a(x x' )(x x' ' )(x x' ' ' ) a depender do valor não nulo atribuído ao parâmetro a Fazendo a =, temos: P(x) = (x + )(x )(x ) P(x) = x x x + 7 e a resposta será 7 Fazendo a =, temos: P(x) = (x + )(x )(x ) P(x) = x 9x 7x + 7 e a resposta será 7 E assim por diante Q0 O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura Assim, determine: a) a razão entre R e r b) a área do triângulo DEF em função de r

4 a) i O triângulo eqüilátero DEF é circunscrito ao círculo de centro O e raio R, então a medida da altura FH = R e FJ = R ii O triângulo eqüilátero BCF é circunscrito ao círculo de centro O e raio r, então a medida da altura FJ = r R De i e ii vem que FJ = R = r = r RESPOSTA: A razão entre R e r é b) No triângulo retângulo FHD: FD = DH + FH l l l = + ( R) = ( 9r ) l = 08r A área do triângulo DEF pode ser calculada pela fórmula S l = 08r S = S = 7r RESPOSTA: A área do triângulo DEF, em função de r, é 7r Q0 A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz sen x + senx + senx = 0 Assim, a) determine x b) calcule cos x + cosx + cosx π < x < π e verifica a equação a) senx + senx +senxcosx + senx cosx = senx (+cos x sen x) + senx(+cosx)= senx(cos x)+senxcosx+senxcos x senxcos +senx cosx = 0 senx = 0 ou cos x + cosx = 0 π I senx = 0 ( não tem solução, pois < x < π ) II cos x + cosx = 0 cosx(cosx + ) = 0 cosx = 0 ou cosx + = 0 π π π x = (raiz estranha, pois < x < π ) ou cosx = x = π RESPOSTA: O valor de x é π π b) cos x + cosx + cosx = cos + cos + cos π = + = 0 RESPOSTA: 0

5 Q06 São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y =, o ponto P = (, ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência Assim sendo, determine: a) a reta tangente à circunferência no ponto E b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE a) e é paralela ao eixo y, tem equação x = Substituindo, na equação x + y =, x por, temos: + y = y = y = ± Como o ponto E tem ordenada positiva, E = (,) Denominemos de r, a reta que passa pelo ponto E = (,), tangente à circunferência de equação x + y = e perpendicular à reta t que possui o raio OE (sendo O o centro da circunferência), O = (0,0) t: y = ax + b Nesta equação substituindo x e y pelos respectivos valores nos pontos A reta s que passa por P = (, ) a + b = a = E e O t: y = x Como r t, então o coeficiente angular de r b = 0 b = 0 é a reta r tem equação da forma y = x + b Como esta r passa pelo ponto E, = + b b = y = x + y = x + RESPOSTA: A reta tangente à circunferência no ponto E é y = x + b) No triângulo POE, OE r // t A reta t passa pelo ponto P e contém a altura relativa ao lado OE OH EP que o segmento OHcontido no eixo Ox é a altura do triângulo POE em relação ao lado EP O ortocentro do triângulo OPE é, então, é o ponto Q = (x,0), interseção da reta t com o eixo Ox y = x + a equação reduzida da reta t e sendo r // t, a equação de t tem coeficiente angular igual ao da reta r Logo a equação de t é da forma temos: y x + b = Como t passa pelo ponto P = (, ),

6 = + b b = + a equação de t é: y = x + + Nesta equação fazendo y = 0 vem: x + + = 0 x + + = 0 x = + Q = ( +, 0) RESPOSTA: ( +, 0) Q07 Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de a 6 estejam representados nas faces do dado Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada Dessa forma, determine a probabilidade de a) Pedro vencer na primeira rodada b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada c) um dos participantes vencer até a quarta rodada Consideremos como E o conjunto de todos os possíveis resultados de cada rodada E = {(,), (,), (,6), (,), (,),(,6), (,), (,), (,6), (,),(6,6)} n(e) = 6 O conjunto A das possibilidades da diferença entre os pontos ser no mínimo de duas unidades: A = {(,), (,), (,), (,6), (,), (,), (,6), (,), (,6), (,6), (6,), (6,), (6,), (6,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} a) O conjunto das possibilidades de Pedro vencer na primeira rodada: P = {(6,), (6,), (6,), (6,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} n (P) = 0 n( P) 0 A probabilidade de Pedro vencer na primeira rodada é: p = = = n( E) 6 8 RESPOSTA: 8 b) O conjunto das possibilidades de não haver vencedores na primeira rodada é: B = {((,), (,), (,), (,), (,), (,),(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,6), (6,), (6,6)} n(b) = n( P) 6 A probabilidade de não haver vencedor na primeira rodada é: p = = = n( E) 6 9

7 RESPOSTA: 9 c) A probabilidade de não haver vencedor em uma rodada é de 9 e a de haver vencedor é de = 9 9 i probabilidade da disputa ser vencida na primeira rodada: 9 ; 0 ii probabilidade da disputa ser vencida na segunda rodada: = ; iii probabilidade da disputa ser vencida na terceira rodada: = ; iiii probabilidade da disputa ser vencida na quarta rodada: = ; A probabilidade de um dos participantes vencer até a quarta rodada é: p = = = RESPOSTA: 66 Q08 Um poste vertical tem base quadrada de lado Uma corda de comprimento está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura do solo e distando da aresta lateral A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura A corda é então enrolada ao longo das faces e, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face em pontos R e B, conforme a figura Nessas condições, a) calcule PR b) calcule AB Sendo RD // BC // AP', os triângulos PDR, PCB e PP A são semelhantes RD RP RP a) = = RP = AP' AP RESPOSTA: RP = BP BC BP b) = = BP = AP AP' 0 Sendo AB = AP BP AB = = = RESPOSTA: AB =

8 Q09 + i A figura representa o número ω = no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de e de ω ω b) represente e ω na figura ao lado ω c) determine as raízes complexas da equação z = 0 a) + i ω = = ( i ) + = ω + i ω = i = ( i ) ( + i )( i ) = ( i ) ( i ) A forma polar de um número complexo z tem a forma z = ρ( θ + isenθ ) módulo de z e θ o seu argumento = cos onde ρ é o O módulo de um número complexo z é dado pela relação ρ = a + b, onde a é a parte real de z e b a sua parte imaginária + i Determinando o argumento e o módulo de ω = : Considerando como θ o argumento do número complexo, temos que π cosθ = e senθ = θ = ρ = a + b = + = + = + i π π A forma polar de ω = é: ω = cos + isen π π ω = cos + i sen = cos π + isenπ ω = RESPOSTA: Re =, Im = ω ω i b) A forma polar de = é ω ω = cos π + isenπ ω, Re ( ) = ω e Im ( ) = 0 ω π π = cos + isen e a de ω é

9 c) z = 0 z = z = cos 0 o + isen0 o kπ kπ z = cos + isen, com k = 0,ou para k = 0, z = ; π π para k =, z = cos + isen = π π para k =, z = cos + isen = + i i As raízes de z = 0 são, + i e i Outro modo mais rápido de encontrar as raízes de z = 0 a partir dos resultados já obtidos no item a: A equação z = 0 tem o número real como raiz + i No item a vimos que se ω = então ω = que é equivalente a z = 0, + i i logo a segunda raiz desta equação é z = e seu conjugado z' =

10 Q0 Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo O triângulo eqüilátero ABC representa a intersecção do cubo mágico com a borda do copo cujo raio é OC = Sendo OH apótema do triângulo ABC, OH = No triângulo retângulo BHC, HC = BCsen60 o BC = BC = 6 Os triângulos VAB, VAC e VBC são retângulos e congruentes, AB = a 6 = a a = No triângulo retângulo VOC, a h + ( ) ( ) = h + h = 8 h = 6 = O volume da pirâmide VABC é: h BC V = S ABC = = = 9 RESPOSTA: O Volume pedido é 9 cm

1 2 CR 2) CM = Assim: 3 2 = CR 2 CR = 3 3) BC = CR + RB Assim: BC = 3 + 4 BC BC = 7. ( 3) x + y + z = 10,00 + 3x + y + 2z = 21,50 ( 3) ( 8)

1 2 CR 2) CM = Assim: 3 2 = CR 2 CR = 3 3) BC = CR + RB Assim: BC = 3 + 4 BC BC = 7. ( 3) x + y + z = 10,00 + 3x + y + 2z = 21,50 ( 3) ( 8) João entrou na anchonete G e pediu hambúrgueres, suco de aranja e cocadas, gastando $,0. Na mesa ao ado, agumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, sucos de aranja e cocadas, gastando $ 7,00. Sabendo-se que

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