RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão epressos de modo aproimado na tabela e no gráfico abaio. a) Supondo ue a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 0 o segundo. Tempo (segundos) 0 Velocidade (km/h) b) Com base no gráfico, determine o valor aproimado da velocidade máima atingida e o tempo, em segundos, em ue Feli superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a.00 km/h. a) o analisar a variação da velocidade na linha da tabela em relação a t {s, s, s, s,...} verifica-se ue seus valores formam uma P.. com primeiro termo igual a 5 e razão 5, logo para t 0s tem-se: V 5 (0 ) km/h. b) nalisando o gráfico vê-se ue 00km/h < V má < 00km/h e ainda ue km/h < V má < km/h, então pode-se dizer aproimadamente 5 km/h. Vê-se também ue o primeiro instante t em ue V má > 00km/h é um valor em ue 0 < t < 5, pode-se tomar 7s, por eemplo, 5 km/h e 7s.

2 . Os lados do triângulo BC da figura abaio têm as seguintes medidas B 0, BC 5 e C 0. a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal ue BD e traça-se o segmento DE paralelo a C. che a razão entre a altura H do triângulo BC relativa ao lado C e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem eplicitar os valores h e H. b) Calcule o valor eplícito da altura triângulo BC em relação ao lado C. BC 5 H a) Como. BD h. b) Do triângulo BCF: H 5 e do triângulo BF: H 00 (0 ). Logo: 5 00 (0 ) (0 ) H 5 H H superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem m de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaio. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faia de terra livre. Denominada Área de Proteção Permanente (PP), como ilustra a figura abaio. Essa faia deve ter largura constante e igual a 00m, medidos a partir da borda do reservatório. a) Calcule a área da faia de terra denominada PP nesse caso. b) Suponha ue a água do reservatório diminui de acordo com a epressão V(t) V 0. t, em ue V 0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para ue o volume se reduza a 0% do volume inicial? Utilize, se necessário, log 0 0,0.

3 a) faia de terra denominada PP é formada por dois retângulos de dimensões ()m 00m, dois retângulos m 00m e semicírculos de 00m de raio. ) Como a superfície do reservatório de água tem m de área, m. área da faia de terra denominada PP é então: SPP 00 π SPP 0000π ( π ). 0000(π m. b) Como o uestionamento é Qual é o tempo necessário para ue o volume se reduza a 0% do volume inicial?, tem-se: t V0 t t V0. log0 ( ) log0 tlog0() t proimadamente t me0d t me0d. 0, 0. numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de a 5, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de,5 a para homens e de 5 a 5,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaio. Numeração brasileira ( t ) Comprimento do calçado ( ) 5,8 cm 7, cm Suponha ue as grandezas estão relacionadas por funções afins t() a b para a numeração brasileira e (t) ct d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da epressão ue permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da epressão ue fornece o comprimento em termos da numeração. b) numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproimada pela função real f definida por f () 5( 0) /, em ue é o comprimento do calçado em cm. Sabendo ue a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n 5, em ue n k f(c k ), com k natural, calcule o comprimento c 5. t(,8) 5 a ;,8a b b,; 5 c 0,5,8a e db, 5,5a 7 a a) t(7,) 7,a b 7,a b a b, 7c,5 (5),8 5c d,8 5c d,8 c 0,5 () 7, c d 7, c d 7, c d, 5(ck 0) b) Sendo n k f(c k ) e f () 5( 0) / n k. Como a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e n 5 5(c 0) n 5 5 (5 ).0, c c5 c5, 5. c 5,.

4 7. Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por, e z. z 0,0 a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de euações lineares: z 0,55 z 0,5 Calcule e nesse caso. b) Suponha ue para outro fertilizante valem as relações % z 5%, 0%, 0% e z 0%. Indiue no plano cartesiano abaio a região de teores (, ) admissíveis para tal fertilizante. a) z 0,0 0,5 0,0 0,5 0,5 z 0,55 0,5 0,55 0,0 0,0 z 0,5 0,0 e 0,5. b) Se % z 5%, 0%, 0% e z 0% % % e 0% 0% % 0% e % Para 0% % ou 0% e para 0% % ou 0% região de teores (, ) admissíveis para tal fertilizante é a região determinada pelo triângulo de vértices B (0%, 0%); C (%, 0%) e (0%, %).

5 8. O diagrama abaio indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de um a escola. O valor da mensalidade de cada é de R$ 00,00, mas a escola oferece descontos aos alunos ue fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 0% para uem faz dois cursos e de 0% para os matriculados em três cursos. a) Por estratégia de marketing, suponha ue a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total de mensalidade. Calcule o percentual de desconto ue incide sobre a mensalidade do segundo curso para aueles ue fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aueles ue fazem três cursos. b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso? a) Projeto original de desconto para os alunos ue fazem dois cursos: 00 0,0 0 reais. Projeto original de desconto para os alunos ue fazem três cursos: 00 0,0 50 reais. 0 Por estratégia de marketing, para os alunos ue fazem dois cursos, o desconto é de 0,0 0% sobre o segundo curso. Para os alunos ue fazem três cursos, o desconto é de 0,90 90% sobre 00 o terceiro curso. 0% 9 e 90%. b) De acordo com o diagrama, o número total de alunos matriculados na escola (espaço amostral) é , e o total de alunos matriculados em apenas um dos três cursos é 9 8. Então a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso: Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela euação ( p) ( p ) 8 p 0, nas variáveis e, em ue p é um parâmetro real. a) Determine o valor do parâmetro p para ue a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eio. Encontre o ponto de interseção neste caso. b) Considere a reta 0 dessa família para p. Denote por o seu ponto de interseção com o eio e por O a origem do plano cartesiano. Eiba a euação da circunferência em ue o segmento O é um diâmetro. a) euação ( p) ( p ) 8 p 0 pode ser representada na forma reduzida por p 8p p onde é o valor ue da tangente do ângulo ue a reta forma com o p p p semieio positivo O. Sendo a perpendicular ao eio, ela é paralela ao eio e portanto p 0 p 0 p. p 5

6 Poder-se-ia também desenvolver o raciocínio do seguinte modo: Sendo a reta ( p) ( p ) 8 p 0 perpendicular ao eio, ela é paralela ao eio e portanto na sua forma geral o coeficiente de é nulo, portanto p 0 p. 0 b) interseção da reta 0 com o eio dos é o ponto (, 0), logo e (, 0). Sendo O a origem do plano cartesiano, a medida do segmento O é. Sendo o segmento O um diâmetro da circunferência em uestão, o centro dessa circunferência é o ponto (0, ) e seu raio mede. euação da circunferência é ( ) 0 0. Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão >. a) Determine o uociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando e a área total do paralelepípedo igual a 5 m. a) Considerando as arestas da piscina como, e. Perímetro da face de maior área: ( ). Perímetro da face de menor área:. Quociente pedido:. ( ): ( ): ( ). b) área total do paralelepípedo é dada pela epressão:. Fazendo 5 e substituindo por : 5 5 ( ) 5. 7 Logo as arestas do paralelepípedo medem, e, ou seja,, e. O volume da piscina é m m. m.

7 7. Considere o polinômio p() k, em ue é variável real e k um parâmetro fio, também real. a) Para ual valor do parâmetro k o resto do uociente de p() por é igual a? b) Supondo, agora, k, e sabendo ue a e b são raízes de p(), calcule o valor de b π a π sen. Para ue o resto do uociente de p() por seja igual a, tem-se p(). Logo: k k. b) Em p() k, substituindo k por, p(). Se as raízes deste polinômio são os valores a e b, tem-se a b e a.b. 5π 5π sen π sen ab b) π(a sen b π a π sen sen π... Considere a matriz ue depende do parâmetro real > 0. a) Calcule a matriz ( ). b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas é transformado pela matriz em um novo ponto da seguinte forma: ' '. Calcule o valor de, sabendo ue o sistema admite solução. a) a matriz ue depende do parâmetro real > 0, ( ) b) 0 (somando as duas euações).

8 . Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaio. a) Supondo ue o giro é interrompido eatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal ue tg(θ) /, com 0 < θ < π/, calcule o valor numérico da epressão cos(θ) sen(θ). a) Se o recipiente cúbico de aresta a contém água até a altura, o volume da água é V. Se o giro é interrompido eatamente antes de a água começar a derramar, o volume da parte do recipiente vazio de água é. parte do recipiente vazio de água é um prisma de base BC e altura, tg θ : b) Considerando, agora, a inclinação tal ue. tg θ, com 0 < θ < π/ e o triângulo retângulo BC de catetos (oposto a θ) e, BC Logo senθ e cosθ sen θ senθsenθ Logo cos(θ) sen(θ) ( ) e cos( θ) cos θ sen θ

9 . Um satélite orbita a.00 km da superfície da Terra. figura abaio representa uma seção plana ue inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência B. Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às uestões abaio, considerando ue o raio da Terra também mede.00 km. a) Qual o comprimento do arco B indicado na figura? b) Suponha ue o ponto C da figura seja tal ue cos(θ) /. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. l OB 00 a) nalisando a figura conclui-se ue cos OS ue o arco B mede 0 0 l 800π l 00π 0 800π 800π. b) plicando a Lei dos Cossenos ao triângulo COS: r r r r cosθ 5r r 00. r 00 km r 9

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