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1 Questão Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 0% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 9 mil reais; Luís e Sílvio, 0 mil reais. a) Quantos reais cada um tinha inicialmente? b) Qual o rendimento da aplicação de risco? Chamando de c, l e s as quantias em reais que tinham, respectivamente, Carlos, Luís e Sílvio depois de um ano do início das aplicações, temos: c + l = c + s = l + s = l = c s = c ( c) + (9 000 c) = l = 000 s = c = 000 Portanto, temos: a) Com uma aplicação de 5% ao ano, Carlos tinha, inicialmente, = reais. Luís, 000,5 000 com uma taxa de 0% ao ano, tinha =, = reais e Sílvio tinha = reais. b) Sílvio aplicou metade do seu dinheiro, isto é, reais, em uma aplicação de 0% ao ano, obtendo, = reais. Aplicou os outros reais na aplicação de risco, obtendo = reais, o que representa rendimento de 0% ao ano. Questão = 0, = Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? Seja n a medida, em centímetros, dos lados das lajotas quadradas. Como os lados devem ser paralelos aos lados da sala, n deve ser um divisor das medidas, em centímetros, desses lados, m= 00cme5m= 500 cm. Logo n deve ser um divisor de mdc (00, 500) = = 00, ou seja, n pode ser igual a,, 4, 5, 0, 0, 5, 50 ou 00. Questão Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa (, )) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 4) (4, 4) e (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (4, ) (4, 4). a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?

2 matemática Questão 4 b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade. Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (, ) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralelaaoeixodosyefoponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima. a) Representemos por A um movimento para uma casa acima e por D um movimento para uma casa à direita. Qualquer caminho da casa (; ) à casa (4; 4) pode ser representado por uma seqüência que contenha três "A" e três "D". Analogamente, qualquer permutação da seqüência AAADDD corresponde a um caminho válido da casa (; ) à casa (4; 4). Portanto o número de caminhos distintos para completar o trajeto é igual ao número de permutações de AAADDD, que é dado por!!! = 0. b) A probabilidade de percorrer um caminho onde ocorra n lançamentos da moeda é n. Assim, um caminho que envolva menos lançamentos tem maior probabilidade de ser percorrido. Esse raciocínio nos leva a procurar os caminhos com maior número possível de casas na borda superior ou na borda direita, únicos lugares do tabuleiro onde não se joga a moeda. Tais caminhos são os correspondentes às seqüências AAADDD e DDDAAA, cada um com probabilidade igual a =. 8 Uma equação da reta BC é y 0 0 = (x 8) y = (x 8). Como 8 D = (u; v) pertence ao segmento BC, v = (u 8). Assim D = u; 8 u. Como E é o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por Deéparalela ao eixo dos y, E = (u; 0),onde0<u<8. Uma equação da reta AC é y 0 0 = y (x 0) y = x x =. 0 Como F é o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por Deéparalela ao eixo dos x, 8 u F = ; 8 u = u 8 8 u ;. 9 a) A área do trapézio AEDF é igual a u 8 u + u AE + DF 9 8 u DE = = 7 = u 4 7 u 7.

3 matemática b b) A área é máxima para u = = a 4 = 7 4 = Questão 5 As raízes do polinômio p(x) = x x + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine a) o valor de m; b) as raízes desse polinômio. a) Sejam α r; α; α+r as raízes do polinômio onde r é a razão da progressão aritmética. Pelas relações entre coeficientes e raízes, ( α r) +α+ ( ) + ( α + r) = α = α =. Logo é uma raiz do polinômio e, portanto, p() = 0 + m = 0 m =. b) Utilizando novamente as relações entre coeficientes e raízes, m ( α r) α ( α + r) = + = ( r) ( r) r = r = r = ±. Assim, as raízes do polinômio são ; ; +. Questão O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC eabmedem e, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN osegmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDB é reto, determine a) o comprimento dos segmentos CN ecm; b) a área do triângulo CMN. Temos tg ACB = AB AC = m(a CB) = 0 o. Como o triângulo é dobrado ao longo de MN de modo que C coincida com D, temos que os triângulos DNM e CNM são congruentes. Assim, DN = CN, DM = CM e m(ndm) = m(ncm) = 0 o. Logo m(adm) 90 o ( DM) o = mn = 0 e, como m(abc) o o = 90 m(acb) = 0,MDé paralelo abc. Além disso, como CM e ND são perpendiculares a AB, temos que elas são paralelas. Em suma, temos que CMDN é um paralelogramo e, como DM = CM, temos que CMDN é um losango. a) Seja o lado do losango. Então sen ADM = = AM MD = =. Logo CM = = CN =. b) Como CM = CN = e m(mcn) = = m(acb) = 0 o, temos que o triângulo CMN é eqüilátero e sua área é =. 4 9 Questão 7 Determine as soluções da equação ( cos x + sen x)(cos x sen x) = 0 que estão no intervalo [0,π]. Temos ( cos x + sen x)(cos x sen x) = 0 ( sen x + senx) cosx = 0

4 matemática 4 sen x + senx + = 0 ou cos x = 0 sen x = ou sen x = ou cos x = 0 7 π sen x = ou cos x = 0 x = + kπ π π ou x = + kπ ou x = + kπ, k Z 7 π x = + kπ ou x = π + kπ ou x = π k 4 + π, k Z. Logo as soluções da equação que estão no intervalo [0; π] são 7 π π π,, 4, π 5 π 7 π, e Questão 8 Na figura abaixo, as circunferências C e C, de centros O e O, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C e C ; a reta s passa por O e O e β éo ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C é4,odec éequesenβ= 5, calcule: a) a área do quadrilátero OQOP ; b) sen α, onde α=qô P. OO = OO senβ = 0 e O O = O O senβ = 5 = = 5, do que se conclui que OO = 5 = 0 5 = 5. Dessa forma, os triângulos OPO e OQO têm lados de medidas OP = OQ = 4, O P = = O Q = eoo = 5, ou seja, são triângulos retângulos congruentes e cada um deles tem área dada por 4 =. Logo a área do quadrilátero OQO P é igual à área OPO + área OQO = b) Os triângulos OPO e OQO são congruentes, logo m(o O P) = α. Como OPO é triângulo retângulo em P: α 4 sen = 5 α α senα = sen cos α cos = 5 = 4 4 = = Questão 9 Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4cm e altura 0 cm, com de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 0 o com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo. a) Seja O o vértice do ângulo de medida β e sejam O e O as projeções ortogonais de O e O, respectivamente, sobre r, como na figura a seguir: Assim OO 4 = e O O =. Portanto

5 matemática 5 As figuras a seguir mostram o bloco em duas posições: Portanto OP = OB + BP = MN + BP = = 4 cm. Por fim, o ângulo agudo que OP forma com o solo o o o o tem medida = 0, do que se conclui que: h = OP sen 0 o = 4 = cm Questão 0 São dados, a seguir, os pontos AeMeareta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD; o lado AB está na reta s; M é o ponto médio do lado BC e o ângulo CAB tem medida 0 o. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção. Na posição vertical, seja M o ponto médio do segmento AB, contido na superfície da água e paralelo a arestas da base, como mostra o primeiro desenho. Seja N a projeção ortogonal de M sobre a base do bloco. Temos MN = 40 0 = cm. Sejam OePdois vértices do trapézio retângulo destacado, como mostra o segundo desenho. Temos m(pmb) = 0 o emb= 4 = cm, logo Descrição de uma construção possível: i) Traçamos a semi-reta r, com origem A e formando ângulo de 0 o com s. ii) Traçamos a reta t, paralela a s pelo ponto M, obtendo em r o ponto O. iii) Obtemos na semi-reta r o ponto C tal que AO = OC. iv) Traçamos a semi-reta CM, obtendo em s o ponto B. v) Com o compasso, traçamos um arco de centro A e raio BC e um arco de centro C e raio AB. A intersecção desses arcos é o ponto D, o que completa o paralelogramo ABCD. BP = tg 0 o = cm.

6 matemática Justificativa da construção: De fato AB está na reta s, pois B fica determinado pela intersecção de s com CM (passo iv). Temos OM // AB (passo ii), do que decorre que CO CM = ; como CO = OA (passo iii), CM = MB, OA MB isto é, M é ponto médio de BC. O ângulo C AB tem medida 0 o, pois r e s formam ângulo de 0 o (passo i). Por fim, como AB = CD e AD = BC (passo v), concluímos que ABCD é um paralelogramo.

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100 MATEMÁTICA Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu

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