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1 Questão 1 Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 0% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de: a) 0% d) 6% b) % e) 8% alternativa D c) 4% No início, há 18% 0 = 0,18 0 = 5,4 litros de álcool na mistura. Quando completarmos o tanque, a mistura resultante deve conter 0% 40 = 0,0 40 = 8 litros de álcool. Logo a porcentagem de álcool na nova mistura que será acrescentada deve ser de 8 5,4 = 6% Questão Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeirahoradeuso,r$,00porhoraadicional e tem uma despesa diária de R$ 0,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Sendo n o número de usuários no dia, serão cobradas n primeiras horas e 80 n horas adicionais. Assim, para que o estacionamento obtenha lucro, 80 6n + (80 n) > 0 n > n 7 ou seja, o número mínimo de usuários é 7. Questão Em uma semicircunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo eqüilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semicircunferência. O comprimento da corda AD é: a) R c) R 1 e) R b) R d) R 1 alternativa A Como CD é bissetriz do ângulo ACB,m(ACD) = = 60 o o = 0. O triângulo ACD é isósceles, com CA = CD = R. Aplicando a lei dos co-senos temos: o AD = CA + CD CA CD cos 0 AD = R + R R R AD = R Questão 4 Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 1m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima

2 matemática que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: Questão 5 Das alternativas abaio, a que melhor corresponde ao gráfico da função f ( ) = 1 é: a) b) c) d) a) 18,8m d) 0m b) 19,m e) 0,4m c) 19,6m A distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola é MA, tal que MA LM. e) Temos f() = 1. Para 0, f() = 1, cujo gráfico que pode ser representado por: Sejam B e C os pontos onde LA elmcruzam a linha do meio de campo, respectivamente. Como LA é paralelo à lateral do campo, BC é perpendicular a LA. E uma vez que a linha do meio de campo está à mesma distância dos dois jogadores, LB = BA = 16 m. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao LBC: LC = LB + BC LC = = 0 m. Como m (B LC) = m(m LA) e m (LBC) = m(lma), pelo caso AA temos BLC ~ MLA e assim: LC BC 0 1 = = MA = 19, m LA MA MA Para 0, f() = 1, cujo gráfico é o da curva acima refletido em relação ao eio y. Assim o gráfico de f() = 1 é:

3 matemática ( ) log 4 = = = 0 = 4 +. Questão 8 Questão 6 Um número racional r tem representação decimal da forma r = a1a, a onde 1 a1 9, 0 a 9, 0 a 9. Supondo-se que: a parte inteira de r é o quádruplo de a, a 1, a, a estão em progressão aritmética, a é divisível por, então a vale: a) 1 b) c) 4 d) 6 e) 9 alternativa E Sendo a razão da PA, temos a1 = a e a = a +. Como a parte inteira de r é o quádruplo de a, 10a 1 + a = 4a 10(a ) +a = 4(a + ) a = e, assim, a1 = e a =. Sendo a = divisível por, é múltiplo de, ou seja, = t, t N. Portanto a = = 9t e 0 a 9 0 9t 9 0 t 1. Se t = 0, = 0 e a1 = 0, o que não convém pois 1 a1 9. Logo t = 1 e a = 9t = 9. Questão 7 Se é um número real, > e log ( ) log 4 = 1, então o valor de é: a) 4 b) 4 c) + d) 4 + e) + 4 Uma matriz real A é ortogonal se AA t = I, onde I indica a matriz identidade e A t indica 1 a transposta de A. Se A = é ortogonal, então + y é igual y z a: a) 1 4 b) 4 c) 1 d) e) alternativa E A é ortogonal se e somente se 1 1 t y 1 0 A A = I y z z = = 1 e y + z = 0 e y + z = 1 4 = + = 4 ez = y ey y 1 4 = = 4 ez = y ey. 4 Assim + y =. Questão 9 Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaio em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: alternativa D Para >, temos log ( ) log4 = 1 log ( ) log = 1 4 1/ 4 log 4 ( ) log4 = 1

4 matemática 4 a) 5 1 c) 5 e) 5 + b) 5 d) + 5 Os coeficientes angulares de AD, BC e CD são, respectivamente, m AD = 1 0 = 1, m CD = 1 = = 1 e mbc = =. 1 Logo AD // BC, 5 CD AD e m (ABC) = 45 o. Portanto o quadrilátero ABCD é um trapézio de bases BC = (5 ) + (0 ) = e AD = = e altura CD = ( 0) + ( 1) =. Deste modo, a área de ABCD é: + = 8 Considerando que a área de BCE é > 4,te- mos a >. Logo, sendo BPQ um triângulo retân- gulo isósceles, (5 a) área (BPQ) = 4 = 4 a = 5. Questão 0 Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir. Se V A e V B indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se: a) VA = VB b) VB = VA c) VA = VB d) VA = 4VB e) VB = 4VA alternativa A O comprimento da circunferência da base do cilindro do tipo A é a. Logo o raio da base desse a a cilindro é RA = =. De forma análoga, π π a RB = é o raio da base do cilindro do tipo B. π a Deste modo temos V a A π π = V B a a π π VA = VA = VB. VB Questão 1 A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e VéopontomédiodaarestaEC,entãoovolume da pirâmide de base AMCD e vértice Vé:

5 matemática 5 a) 1 b) 1,5 c) d),5 e) Considere as figuras a seguir: = m(hcv), pelo caso AA, EOC ~ VHC. Já que V é ponto médio de EC, VH= 1 EO e, conforme a figura, sendo M o ponto médio de AB, Área (AMCD) = Área (ABCD). 4 Temos: 1 VolumeVAMCD = Área (AMCD) VH = 1 = 4 Área (ABCD) 1 EO = = Área (ABCD) EO = = 8 4 = 1,5 Questão Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 1 b) 18 c) 6 d) 7 e) 108 Sejam EO aalturadapirâmidedebaseabcdevértice E e VH aalturadapirâmidedebaseamcde vérticev.comom(e OC) = m(v HC) e m (O CE) = Como todas as três empresas devem ser contratadas, uma delas receberá trabalhos. Há 1 maneiras de escolher tal empresa e 4 maneiras de escolher quais serão seus trabalhos. Finalmente, temos! maneiras de distribuir os trabalhos restantes. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, os trabalhos podem ser atribuídos de 4 4! 6 1 = = maneiras distintas.

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