O número mínimo de usuários para que haja lucro é 27.

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1 MATEMÁTICA d Um reservatório, com 0 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 8% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 0% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de: a) 0% b) % c) % d) 6% e) 8% Nos 0 litros iniciais de mistura temos 8%. 0 de álcool. Nos 0 litros restantes temos x litros de álcool. Com o tanque completo teremos 0 litros de mistura, com 0% de álcool. Assim sendo, 8%. 0 + x = 0%. 0 5, + x = 8 x =,6 A porcentagem de álcool nos dez litros de mistura a ser,6 acrescentado é = 0,6 = 6%. 0 c Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso, R$,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 0,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Se x é o número de usuários então x é o número de primeiras horas e sendo y o número de horas adicionais, tem-se: 6x + y > 0 { x + y = 80 y = 80 x 6x + (80 x) > 0 6x + 0 x > 0 80 x > 80 x > = 6, O número mínimo de usuários para que haja lucro é 7. a Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscrevese um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo A^CB intercepta a semi-circunferência. O comprimento da corda AD é: a) R b) R d) R e) R c) R FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

2 No triângulo ACD, tem-se: (AD) = R + R. R. R. cos 0 (AD) = R R. AD = R. b (AD) = R. ( ) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 8,8m b) 9,m c) 9,6m d) 0m e) 0,m A menor distância do atacante à trajetória da bola está na perpendicular à trajetória que contém a posição do atacante. Na figura seguinte é a medida do segmento AP. Assim, considerando os dados da figura em metros, temos: ) No triângulo LMB, retângulo em M, (LM) + (MB) = (LB) 6 + = (LB) LB = 0 ) Da semelhança dos triângulos LPA e LMB, AP AL AP 96 = = AP = BM BL 0 5 AP = 9, FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

3 5 c Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = x é: ) O gráfico da função g: definida por g(x) = x é ) O gráfico da função h: definida por h(x) = x é ) O gráfico da função f: definida por f(x) = x FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

4 f(x) = x é 6 e Um número racional r tem representação decimal da forma r = a a,a onde a 9, 0 a 9, 0 a 9. Supondo-se que: a parte inteira de r é o quádruplo de a, a,a,a estão em progressão aritmética, a é divisível por, então a vale: a) b) c) d) 6 e) 9 Seja r = a a,a, com a 9, 0 a 9 e 0 a 9, tal que: 0a + a = a {a = a + a a a = a a = Como a é múltiplo de e a =. 6 a = 6. Logo a = = 9 7 d *, concluímos que Se x é um número real, x > e log (x ) log x =, então o valor de x é: a) b) c) + d) + e) + Sendo x >, temos: log x log (x ) log x = log (x ) = log (x ) log x = log 8 e (x ) x (x ) x = = x x + = x x 8x + = 0 8 ± x = x = ± x = + pois x > Uma matriz real A é ortogonal se AA t = I, onde I indica a a FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

5 matriz identidade e A t indica a transposta de A. Se x A = é ortogonal, então x + y é igual a: y z a) b) c) d) e) x y 0 ) A. A t = I. = 0 y z x z + x y + xz 0 = 0 y + xz y + z + x = x = y + xz = 0 y = xz y + z = y + z = x = x = y = x z y =.. ( y ) z = y x = x + y = 9 b y = Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: a) 5 b) 5 c) 5 d) + 5 e) 5 + FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

6 Notando que a reta que passa pelos pontos (5;0) e (;) tem coeficiente angular igual a, então o ângulo θ é igual a 5. A partir do enunciado, temos: ) A I = A II = (5 a) ) A I + A II + A III + A IV = = (5 a) (5 a).. Portanto: = 5 (5 a) = 8 5 a = (pois a < 5) a = 5 0 a Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado. Se V A e V B indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se: a) V A = V B b) V B = V A c) V A = V B d) V A = V B e) V B = V A FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

7 barril A barril B Sendo h e H as alturas dos barris A e B, respectivamente, tem-se: h = a e H = a. Assim: H = h Sendo R e r os raios das bases dos barris A e B, respectivamente, tem-se: a ) πr = a R = π a ) πr = a r = π Assim: R = r Finalmente, sendo V A e V B, respectivamente, os volumes desses barris tem-se: V πr (r) A h V A h V A = = = V A = V B πr H r h V B b V B A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: a) b),5 c) d),5 e) V B FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

8 De acordo com o enunciado pode-se concluir que a área da base (A b ) da pirâmide AMCDV é da área da base (A B ) da pirâmide ABCDE e que a altura h da pirâmide AMCDV é metade da altura H da pirâmide ABCDE. Assim, sendo v o volume da pirâmide AMCDV, tem-se: A B. H v =. A b. h =.. A B.. H = 8 Por outro lado:. A B. H = A B. H = Logo: v = =,5 8 c Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) b) 8 c) 6 d) 7 e) 08 ) Como há serviços e empresas, nas condições do problema, uma das empresas fará serviços. ) Das empresas, há C, maneiras de escolher a empresa que fará os serviços. ) Dos serviços, há C, maneiras de escolher os serviços que serão feitos por aquela empresa. ) Os outros dois serviços poderão ser permutados pelas duas outras empresas. Logo, os trabalhos podem ser distribuídos de. C,. C,. P =.. = 6 maneiras.. Comentário Com sete testes de álgebra, três de geometria, um de trigonometria e um de geometria analítica, todos muito bem enunciados, a banca examinadora organizou uma excelente prova de Matemática, na qual podemos destacar os seguintes pontos: º) A originalidade de alguns testes. º) A precisão de todos os enunciados. º) A abrangência relativa do programa exigido. º) O cunho prático de algumas questões. FUVEST - (ª Fase)Novembro/00

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