Unidade 9 - Prisma. Introdução Definição de um prisma. Denominação de um prisma. Prisma regular Área de um prisma. Volume de um prisma

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1 Unidade 9 - Prisma Introdução Definição de um prisma Denominação de um prisma Prisma regular Área de um prisma Volume de um prisma

2 Introdução Após a abordagem genérica de poliedros, destacaremos alguns tipos especiais de poliedro, que recebem denominações próprias.

3 Introdução As figuras anteriores são poliedros que têm a forma de um prisma. Os prismas são sólidos poliédricos que apresentam dois polígonos idênticos situados em planos paralelos e faces laterais com forma de paralelogramos.

4 Definição de um prisma Sejam α e β dois planos paralelos, D uma região poligonal contida em α e r uma reta que intersecta α.

5 Definição de um prisma O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em D e a outra em β, paralela a r, é denominada prisma.

6 Definição de um prisma Elementos principais Bases: são as regiões D e D, contidas nos planos a e b, respectivamente. Elas são caracterizadas por polígonos congruentes. Arestas das bases: são os lados das regiões D e D. Arestas laterais: são segmentos paralelos à reta r que unem vértices correspondentes das regiões D e D. Faces laterais: são paralelogramos determinados por dois vértices consecutivos da região D e os respectivos vértices correspondentes da região D. Diagonais: é todo segmento de reta que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face.

7 Classificação dos prismas Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares ás bases. Os prismas retos são os mais importantes, devido à sua utilização nas formas geométricas do nosso mundo físico. Observe que as faces laterais de um prisma reto são retângulos: Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares às bases.

8 Denominação de um prisma De acordo com o número de lados das bases de um prisma, ele recebe um nome especial. Assim, se as bases de um prisma são triângulos, é triangular; se são quadriláteros, é quadrangular, e assim sucessivamente.

9 Prima regular Um prisma é chamado regular quando satisfazer duas condições: For reto e apresentar bases formadas por polígonos regulares.

10 Para você fazer p. 14 1) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um prisma pentagonal? A soma das medidas dos ângulos internos das faces é dada pela soma das medidas dos ângulos internos de dois pentágonos e de cinco quadriláteros. Assim, lembrando que 180º. (n 2) é a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer, temos que: º. (5 2) º. (4 2) = 2880º

11 Para você fazer p. 14 2) Quantas diagonais tem um prisma reto cuja base é um hexágono? Uma diagonal é um segmento de reta que une dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. Assim, a partir do vértice A, podem sair três diagonais, como mostra a figura ao lado. Analogamente, de cada um dos seis vértices da base superior, podem sair três diagonais. Assim, o número de diagonais do prisma é igual a 6. 3 = 18

12 Medida da superfície (área) de um prisma reto Uma caixa tem o formato de um prisma quadrangular, em que a base é um retângulo cujas as dimensões são 10 cm e 20 cm, e a altura mede 8 cm. Desconsiderando-se o material gasto nas dobras e sabendo-se que as caixas são confeccionadas com papelão, qual a quantidade de material utilizada para a construção de cada caixa?

13 Medida da superfície (área) de um prisma reto S S S Para calcular a medida da superfície da caixa, basta adicionar as áreas. t t t = (10.20).2+ ( ).8 = = 880cm² Portanto, são necessários aproximadamente 880 cm² de papelão para confeccionar cada caixa.

14 Você se lembra?

15 Para você fazer Calcule a medida da superfície total do prisma hexagonal reto da figura a seguir: S S S t t t l². 3 = bh. 4 2². = = ( ) cm²

16 Resolução de atividades Página 15 e 16

17 Volume do prisma Para obtermos a expressão do volume de um prisma de base qualquer, podemos utilizar o Princípio de Cavalieri. Considere um prisma de altura h e superfície da base um polígono com área S B e um paralelepípedo retângulo, com a medida da altura e da área da base congruentes ás medidas do prisma. Ambos estão apoiados em um plano α, como mostra a figura a seguir:

18 Volume do prisma Todo plano b que secionar os dois sólidos o fará segundo figurar de mesma área, pois um paralelepípedo é também um prisma e, em qualquer prisma, uma seção paralela à base tem a mesma área desta (da base). Assim, pelo Princípio de Cavalieri, temos que O volume de um prisma qualquer, Cuja superfície da base tem área S B, é dado por: V V prisma prisma = = V S paralelepípedo B. h

19 Para você fazer Calcule, em litros, o volume de um prisma hexagonal regular cuja altura mede 4 3m e cuja aresta da base mede 3m. Por ser mais comum utilizar o milimetro e o litro, é oportuno revisar nesse momento as seguintes equivalências : 1cm 1dm 1m Sendo S S B = 1mL = 1L = 1000L B l² 3 = 6. 4 a medida da supeficie da base, temos : = 6. 2 ( 3) = 6. = = m² 4 O volume V é igual ao produto da área da base pela medida da altura : 9 3 V= SB. h=.4 3= m³ ou litros 2

20 Resolução de atividades Página 17

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