RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 0 DA UNICAMP-FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 3,35 ºC em 995 para 3,8 ºC em 00. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 995 e 00, a temperatura média em 0 deverá ser de a) 3,83ºC. b) 3,86ºC. c) 3,9ºC. d) 3,89ºC. Seja C(t) = at + 3,35 a função que representa a temperatura média anual do planeta, onde t é ordem do ano a partir de 995 (ano 0). Sendo C(5) = 3,8 C, então: 5a + 3,35 = 3,80 5a = 0,45 a =0,03 C(t) = 0,03t + 3,35 a temperatura média em 0 será: C(7) = ,35 = 3,86 RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 0 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a a) 360. b) 344. c) 34. d) 368.

2 O número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a: (S ABCD + S EFGH + S IJLM ) = ( ) = ( ) = 360 RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO 3 O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 670. b) c) d) 0. Para se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças com os 6 alunos e 8 alunas componentes do grêmio estudantil existem C6,3 C8,5 = = 0 56 = maneiras diferentes. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 4 A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é a) /4. b) 3/4. c) 5/4. d) 7/4.

3 A tangente do ângulo α é igual a =. Como AB OC, o coeficiente angular da reta AB é igual a e sua equação reduzida tem a forma * y = x + b, com b R +. Como o ponto C(, ) pertence a AB : = + b 4 = + b b = y = x + A = 5,0 e B = 0, 5 5 Logo a área do triângulo OAB é S = 5 =. 4 RESPOSTA: Alternativa c. ( ). QUESTÃO 5 Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre a) 4, e 4,4 m. b) 3,8 e 4, m. c) 3, e 3,5 m. d) 3,5 e 3,8 m. Considerando como origem do plano cartesiano o ponto de onde o jogador chutou a bola tem-se a parábola ao lado, cuja equação é da forma y = ax(x 40) e que passa no ponto (30, 3). Logo, 900a 00a = 3 300a = 3 a = 40 y = x x

4 O eixo de simetria da parábola descrita pela a reta x = 0, e para esse valor de x, y assume o valor máximo: y = + = 4 A altura máxima atingida pela bola foi de 4m. RESPOSTA: Alternativa b. TEXTO PARA AS QUESTÕES 6 E 7 Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade. QUESTÃO 6 Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários a) 0,5 m de ripas. b) 45,0 m de ripas. c) 403,0 m de ripas. d) 7,5 m de ripas. O desenho abaixo representa a contagem do total de ripas horizontais (representadas em preto), obliquas (representadas em azul marinho) e verticais (representadas em azul). Examinando o desenho vê-se que são n ripas horizontais, n ripas obliquas e n + verticais. A cerca é formada de n retângulos de comprimento m cada um, então em uma cerca de 300m de comprimento, o total de retângulos é encontrado pela resolução da equação: n = 300 n = 50. Tem-se então 50 = 300 ripas horizontais, 50 obliquas e 5 verticais. O comprimento de cada ripa horizontal é m, o de cada vertical é,5m e o de cada obliqua é: x = 4 +,5 = 6,5 =,5m Pelos dados da questão, as 60 ripas medem: ,5 + 5,5 = 0,5m RESPOSTA: Alternativa a. 4

5 QUESTÃO 7 Os parafusos usados na cerca são vendidos em caixas com 60 unidades. O número mínimo de caixas necessárias para construir uma cerca com 00 m de comprimento é a) 3. b). c) 5. d) 4. A figura ao lado representa uma parte da cerca, Analisando-a conclui-se que a cada ripa (horizontal, obliqua ou vertical) correspondem 4 parafusos, por extremidade. Como 00m de cerca é constituída de 50 retângulos, ter-se-á 00 ripas verticais, 50 ripas obliquas e 5 verticais, num total de 0 ripas. Para montar a cerca serão necessários 4 0 = 804 parafusos. Como os parafusos são vendidos em caixa de 60 unidades, e 804 = será necessário comprar 4 caixas desses parafusos. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 8 As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear: x + z = 60 x + z = 60 x + z = 60 x + z = 60 a) y + z = 60 b) y + z = 60 c) y + z = 60 d) y + z = 60 y = 0 y = 0 + y = 0 + y = 0 Considerando que por quilo excedente paga-se um valor t Peso livre de taxa Peso excedente Valor pago por quilos excedentes Casal z x = 60 z t(60 z) = tx Senhor z y = 60 z t(60 z) = ty x = 60 z x + z = 60 x + z = 60 Dos dados da questão: y = 60 z y + z = 60 y + z = 60 ty = 3,5 tx y = 3,5x y 3,5x = 0 RESPOSTA: Alternativa a. 5

6 QUESTÃO 9 Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 5% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é a) maior que 0000 km². b) menor que 8000 km². c) maior que 8000 km² e menor que 9000 km². d) maior que 9000 km² e menor que 0000 km². Como a região circular com centro no vulcão tem raio igual a,5 40km = 50km, a sua área é de aproximadamente; S = 50 3,4 = 7850km. RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO 0 Para construir uma curva floco de neve, divide-se um segmento de reta (Figura ) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4. Se o segmento inicial mede cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a 6! 5! a) cm. b) cm. c) 4!.3! 4!.3! 5 4 cm. d) cm. 3 6

7 Considerando o comprimento do segmento inicial igual a cm, o comprimento da linha poligonal da figura será 4 cm = cm ; o da figura 3 será 4 cm = cm ; o da figura 4 será 4 cm = cm Os comprimentos formarão então a progressão geométrica: ,,,,,,...,com a =, r = e a 6 = = RESPOSTA: Alternativa c. 5 7

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