PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

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1 Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada, ou plano cartesiano, foi criado por René Descartes, e consiste em dois eixos perpendiculares (em ângulo reto), sendo um na horizontal e outro na vertical. Esse sistema serve para a localização de pontos num determinado espaço. Observe que: - primeiro quadrante, temos x>0 e y>0. - segundo quadrante, temos x<0 e y>0. - terceiro quadrante, temos x<0 e y<0. - quarto quadrante, temos x>0 e y<0. Bissetriz dos quadrantes Todos os pontos que pertencem às bissetrizes dos quadrantes ímpares (1º e 3º) apresentam abcissa e ordenada iguais. Exemplo (2,2), (-3,-3). Já os pontos nas bissetrizes dos quadrantes pares (2º e 4º) possuem abcissa oposta a ordenada. Exemplo (-2,2), (-3,3). Observe que os pontos possuem coordenadas, chamadas de par ordenado. O primeiro valor é a localização do ponto em relação ao eixo x (denominado abcissa). O segundo valor do par ordenado, se refere a localização em relação ao eixo y, o eixo das ordenadas. Dizemos que o sistema tem origem no ponto (0,0), ponto este no cruzamento das duas retas. Quadrantes do sistema O sistema é composto de quatro quadrantes (1º, 2º, 3º e 4º quadrantes). ESTUDO DO PONTO NO PLANO CARTESIANO Distância entre dois pontos. Quando possuímos dois pontos no plano cartesiano, pontos A e B, conseguimos calcular a distância (d AB) entre esses dois pontos. Observe a figura:

2 Condição de alinhamento Podemos verificar se três pontos estão alinhados, ou seja, se A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), C(x 3,y 3) pertencem a mesma reta, se a determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos for nula. xx 11 yy DD = xx 22 yy = 00 xx 33 yy Observe que o ponto A possuí coordenadas (x 1,y 1) e o ponto B coordenadas (x 2,y 2). No triângulo retângulo formado, aplicamos o teorema de Pitágoras. Logo: Peça para o professor verificar se os pontos A(2,4), B(4,8), C(3,6) e copie a resolução no espaço abaixo. dd AAAA 22 = (xx 22 xx 11 ) 22 + (yy 22 yy 11 ) 22 dd AAAA = (xx 22 xx 11 ) 22 + (yy 22 yy 11 ) 22 Peça para o seu lindo professor determinar a distância dos pontos A(2,8), B(6,5) e copie a resolução no espaço abaixo. ESTUDO DO TRIÂNGULO NO PLANO CARTESIANO Podemos estudar os triângulos no sistema cartesiano. Dados três pontos não colineares (ou seja, não alinhados) podemos formar um triângulo. Ponto médio Seja A(x 1,y 1) e B(x 2,y 2). Se queremos encontrar o ponto médio M(x M,y M) entre dois pontos dados, basta somar as coordenadas e dividir por dois. Logo as coordenadas de M são ( xx 1+xx 2, yy 1+yy ). Peça para o seu lindo professor determinar o ponto médio dos pontos A(2,8), B(6,4) e copie a resolução no espaço abaixo. Podemos então fazer alguns estudos nesses triângulos.

3 Baricentro Em geometria plana, estudamos que os triângulos possuem um ponto chamado de baricentro, que é o ponto de encontro das medianas de um triângulo. Na física, esse baricentro é chamado de ponto de massa. (Pergunte ao seu professor gato o que é isso na física). Seja o triângulo de vértices A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), C(x 3,y 3). Para determinar o baricentro desse triângulo, denominado de ponto G(x G,y G), basta somar as coordenadas e dividir por três. Logo G = ( xx 1+xx 2 +xx 3 3, yy 1+yy 2 +yy 3 ). 3 ESTUDO DA RETA NO PLANO CARTESIANO As retas num plano cartesiano são representadas por uma equação, que determinamos como equação geral da reta. ax+by+c=0 Onde a, b e c são números reais, a e b são diferentes de zero, x e y são coordenadas de um ponto genérico que pertence da reta. (Pergunte ao teacher como obtemos uma equação da reta) Área do triângulo. Seja o triângulo de vértices A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), C(x 3,y 3). Para determinar a área desse triângulo, basta pegar a determinante da condição de alinhamento e dividir por dois, ou seja: AA tt = 11 xx 11 yy xx 22 yy xx 33 xx (observe que temos duas barrinhas na determinante, estamos falando do módulo) Observe que se a determinante der zero, então a área será de zero. Claro, se a determinante for zero, os pontos estão alinhados, logo não existe triângulo. Com exemplo, copie abaixo a resolução da seguinte questão: Verifique se os pontos A(2,5), B(2,8), C(6,5) formam um triângulo. Se sim, calcule o baricentro e a área. Podemos representar uma reta pela sua equação reduzida. y=mx+n Onde m é denominado como coeficiente angular e n o coeficiente linear da reta. Definiremos m = tg αα, onde αα será a inclinação da reta em relação ao eixo x. (Da onde vem essa equação? Copie abaixo)

4 Estudo do coeficiente angular Exemplificando tudo: Determine a equação geral da reta e a equação reduzida que passa pelos pontos A(1,2) e B(-2,3) Podemos determinar o valor do coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(x A,y A), B(x B,y B). Logo m = tg α = y B y A x B x A Estudo da reta, sabendo um ponto e o coeficiente angular Vimos que podemos escrever a equação reta sabendo dois pontos dados. Mas e se for nos dado somente um ponto e o coeficiente angular? Podemos encontrar da mesma maneira a equação da reta. Observe: Determine a equação geral e reduzida da reta que passa pelo ponto A(1,2) e possui coeficiente angular m= -1/3. Seja um ponto dado A(x 0,y 0) e o coeficiente angular m dado. Sabemos que m = y y o, onde x e y são pontos x x o genéricos. Logo, temos que y y o = m(x x o ) (Macete: YoYo Mixoxo)

5 MÚSICA: GA é muito fácil Paródia da música Sinto falta de você De Victor e Léo (Profº João Bez) Parecia muito fácil achar a equação da reta Mas quando passa por dois pontos a galera se aperta Você faz a matriz diferente com o X e o Y na frente Acha o determinante e iguala a zero E ainda falta dizer quando temos só um ponto e o coeficiente Você monta um sistema e resolve o problema ou usa o macete Refrão: Yoyo Mixoxo Para determinar então a equação da reta: Sistema de equação; Determinantes; Yoyo Mixoxo CONDIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE Paralelismo Duas ou mais retas serão paralelas se o coeficiente angular das duas for igual. Ou seja, se a reta r tiver coeficiente angular m r e a reta s tiver coeficiente angular m s, as duas serão paralelas se m r=m s. Perpendicularidade Duas retas serão perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares das duas for igual a -1. Ou seja, se a reta r tiver coeficiente angular m r e a reta s tiver coeficiente angular m s, as duas serão perpendiculares se m r. m s = -1 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1) Um ponto A pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares e equidista de B(-2,- 1) e C(7,2). Determine as coordenadas desse ponto A. 2) No triângulo ABC, A(1,1) é um dos vértices, G(3,3) é o baricentro e M(3,1) é o ponto médio do lado AB. Determine as coordenadas de B e C. 3) (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12 4) (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1), B(5,-7) e C(x,2), determine o valor de x sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B. 5) A área, em unidades de área, do quadrilátero de vértices A(0,0), B(3,1), C(5,3), D(0,3) é: a) 9,5 b) 19 c) 15 d) 7,5 e) 11,5 6) (PUC-RJ) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5/3 7) Determine os coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos (1,- 1) e (2,3). 8)A área do triângulo formado pela reta 2x+3y-12=0 e os eixos coordenados é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 24 9) (UFSC) A área do triângulo determinado pelas retas de equações: x+y-6=0, x-1=0 e y=x, em unidades de área, é:

6 10) (UFSC) Sejam as retas r, que passa pelos pontos P 1(1,0) e P 2(2,-2), e s, dada pela equação 2y-x+1=0. Determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras. 01. r e s são coincidentes. 02. O coeficiente angular de r é O coeficiente linear de s é r intersecção com s é {(1,0)} 16. O ponto P(3,-4) pertence a reta r. 32. r e s são perpendiculares. 11) (UFSC) São dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(4,1), B(1,1), C(4,5) e a reta r representada pela equação x+y-2=0. Determine a soma dos números associados à(s) preposição(ões) verdadeira(s). 01. O ponto médio do lado BC é o ponto M de coordenadas (5/2,3). 02. A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas é de 6 unidades. 04. A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y-1= A reta s de equação -5x+5y-13=0 e a reta r são perpendiculares. 16. O ponto A pertence a reta r. 12) (Fazu-MG) A reta que passa pelo ponto (-1,1) e cuja inclinação é de 5 tem equação dada por: III. O conjunto domínio e imagem da função inversa f -1 (x) são respectivamente D = {x R / 0 x 4}e Im = {y R / 3 x 3}. IV. Se f -1 (x) é uma função inversa de f(x), pode-se dizer que f -1 (2)=0 Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e IV são verdadeiras. b) Apenas II, III e IV são verdadeiras. c) Apenas a afirmação III é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras. GABARITO 1) A(2,2) 7) CA= 4 CL=-5 2) B(5,1); C(3,7) 8) D 3) C 9) 4 4) 8 10) 58 5) A 11) 13 6) C 12) D 13) B DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Seja um ponto P(x p,y p) e uma reta r: ax+by+c=0. Para calcularmos a distância entre o ponto P e a reta r vamos utilizar a fórmula: a) 5x+y+4=0 b) 5x-y-6=0 c) 5x-y=0 d) 5x-y+6=0 e) 5x+y-6=0 13) (Acafe) O gráfico de uma função f(x) é o segmento de reta que une os pontos A(-3,4) e B (3, 0). dd PPPP = aaxx pp + bbyy pp + cc aa 22 + bb 22 Assim, analise as afirmações a seguir. I. A distância entre o segmento de reta AB o ponto C (-2, -1) é (7 13)/13 u.c. II. A área compreendida entre o segmento de reta AB e o eixo das abscissas é 12 u.a.

7 Exemplificando: Determine a distância do ponto P(-2,4) a reta r: 4x-y-5=0 CIRCUNFERÊNCIAS Exemplificando mais uma vez: Sabendo que x²+y²+4x-8y+15=0 é uma equação de uma circunferência, determine as coordenadas do centro e do raio. Observe a figura acima. Seja C(a,b) o centro da circunferência, r o raio da circunferência e P(x,y) um ponto que pertence a circunferência. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos (xx aa) 22 + (yy bb) 22 = rr² Dizemos que essa é a equação reduzida da circunferência. Se desenvolvermos a equação acima, temos: xx² + yy² aa 22 + bb 22 rr 22 = 00 Essa é a equação geral da circunferência. Exemplificando: Determine a equação da circunferência com centro C(2,1) e raio 4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1) (PUC) O ponto A(2,-5) é o vértice de um quadrado em que um dos lados tem como suporte a reta x-2y-7=0. O perímetro do quadrado é: a) 20 b) 5 c) 2 5 d) 16 5 e) 4 5 2) (UFSC) A área de um quadrado de lado AB na reta r: x+y+1=0 e lado CD na reta s: x+y+3=0 é: a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 1

8 3) (UFSC) A medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1,1), B(6,1), C(2,3) e D(4,3) é: 4) (Fatec-SP) Sejam 3x-4y+10=0 e 6x- 8y+15=0 as equações das retas suportes da base de um trapézio. Determine a altura desse trapézio. 5) (UDESC) Para que a equação x²+y²- 4x+8y+k=0 represente uma circunferência, devemos ter: a) k<20 b) k>13 c) k<12 c) k>12 d) k<10 c) A reta r é tangente a circunferência c. d) A equação r representa uma reta cujo coeficiente angular é 2,5. GABARITO 1) E 5) A 2) B 6) x²+y²-6x-6y+9=0 3) 02 7) C 4) 1/2 8) E 9) D 6) (Acafe-SC) A equação da circunferência que passa pelo ponto P(0,3), cujo centro é o ponto de intersecção da reta x+y-6=0 com a bissetriz dos quadrantes ímpares, é: 7) (Acafe-SC) A circunferência de equação x²+y²+6x-4y-q=0 tem raio igual a 4. O valor de q é: a) 2 b) -3 c) 3 d) -2 e) -1 8) (UFRGS) O eixo das abcissas determina na circunferência x²+y²-6x+4y-7=0 uma corda de comprimento: a) 2 5 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 9) (Acafe) Analise as alternativas a seguir considerando as equações c: x² + y² = 4 e r: 3x + 4y = 10. Todas estão corretas, exceto a: a) A distância entre a reta r e o centro da circunferência c é 2 u.c. b) A equação c representa uma circunferência cujo centro é a origem do plano cartesiano.

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