Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

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1 Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos A Pˆ B. ) (UFPR-998) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a circunferência de equação x + y = 5, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar: 0. Uma das diagonais do quadrado está contida na reta de equação x + y = O ponto (-3, 4) não pertence à circunferência. 04. A reta de equação 3x + 4y + 5 = 0 é tangente à circunferência. 08. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é igual a 50 unidades de volume. 6. O cilindro de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do quadrado. Marque como resposta a soma dos itens corretos. 3) (Unifesp-003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A = (, ), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. 5) (Fatec-00) A circunferência que passa pelos pontos O = (0, 0), A = (, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a: a) 4 b) 3 c) 4 3 d) 7 e) 4 6) (Fuvest-000) Uma circunferência passa pelos pontos (, 0), (, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7) (UFC-004) Determine o valor da constante a de modo que o sistema de equações x y 4z 3x 4y z a tenha solução real única. 8) (UDESC-996) DETERMINE a equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,) e C(,-4). COMENTE as etapas durante a resolução da questão. Nestas condições, determine a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF. b) o valor do cosseno do ângulo AÔB. 9) (FUVEST-00) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função 4) (Unicamp-999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem. Projeto Futuro Militar

2 linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente. 3) (Unicamp-994) a) Identifique as circunferências de equações x + y = x e x + y = y, calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce seus gráficos. b) Determine os pontos de intersecção dessas circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si. Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função. b) a área do pentágono OABCD. 0) (UNIFESP-007) Em um plano cartesiano, seja T o triângulo que delimita a região definida pelas inequações y, x 0 e x y. a) Obtenha as equações de todas as retas que são eqüidistantes dos três vértices do triângulo T. b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao triângulo T, destacando o centro e o raio. 4) (UFC-998) Considere o conjunto de todas as cordas de comprimento da circunferência x + y -x -4y -7 = 0. O conjunto dos pontos médios destas cordas forma uma curva cuja equação é: a) (x-) + (y-) = (x ) (y ) b) 9 4 c) (x-) + (y-) = 4 (x ) (y ) d) 4 9 e) (x-) + (y-) = 3 5) (Mack-00) A melhor representação gráfica dos pontos (x, y) tais que x + 3 = y é: ) (FUVEST-006) a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y = x - e x + y - 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AÔB = AC ˆ B e que pertence à reta x =. ) (UERJ-998) (O Estado de São Paulo, 6/08/97) Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha. a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando:» A está situado entre B e C;» A está situado fora do segmento BC. b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da Projeto Futuro Militar

3 6) (FUVEST-009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - ) + (y - ) = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a a) - b) - c) d) + e) + 4 7) (Mack-007) Considere os pontos A e B, do primeiro quadrante, em que a curva x + y = 40 encontra a curva x.y =. A equação da reta AB é a) x + y. 8 = 0 b) x. y. 8 = 0 c) x + y. 8 = 0 d) x. y + 8 = 0 e) x + 3y. 8 = 0 9) (FATEC-006) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência e a reta r, de equações x + y - 6x + y + 6 = 0 e 3x + 7y - = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de, tem equação: a) 3x + 7y - = 0 b) 3x - 7y - = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 6 = 0 e) 7x + 3y - = 0 x 0) (Vunesp-005) A reta r de equação y = intercepta a circunferência de centro na origem e raio 5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine: a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. ) (FGV-005) No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto P(, 3) e é concêntrica com a circunferência x + y - 6x - 8y - = 0 tem a seguinte equação: a) x + y + 6x + 8y - 40 = 0 b) x + y - 3x - 4y + 5 = 0 c) x + y - 6x - 8y + 0 = 0 d) x + y + 3x + 4y - 5 = 0 e) x + y - 3x + 4y - 9 = 0 8) (FUVEST-008) A circunferência dada pela equação x + y 4x 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale ) (ITA-005) Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, ), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são a) (0, 5) e 6.. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5. d) (4, 5) e 5 e) (4, 6) e 5. 3) (Fatec-003) Na figura abaixo os pontos A, B e C estão representados em um sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O. a) - b) + c) + 4 d) + 6 e) Projeto Futuro Militar

4 0 a) 3 0 b) 3 c) 0 d) e) 0 É verdade que a equação da a) circunferência de centro em B e raio é x + y - 8x - 6y + 4 = 0. b) circunferência de centro em B e raio é x + y - 6x - 4y + 5 = 0. c) reta horizontal que passa por A é y =. d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do o quadrante é x - y - = 0. e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do o quadrante é x + y - = 0. 4) (Vunesp-995) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação: x + y - 6x - 4y + = 0. Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado. 5) (UEL-996) Considere os pontos A(0;0), B(;3) e C(4;). O segmento BC é um diâmetro da circunferência de equação: a) x + y + 6x + 4y + = 0 b) x + y - 6x - 4y + = 0 c) x + y - 4x + 9y + = 0 d) x + y - 6x - 4y + 9 = 0 e) x + y - 4x - 9y + 9 = 0 6) (PUC-SP-996) A reta de equação y = x - 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os extremos de um diâmetro da circunferência. A equação correspondente a é: a) x + y - x + 4y - 5 = 0 b) x + y - x + 4y = 0 c) x + 4y + x + 4y + 5 = 0 d) x + y + x + y + = 0 e) x + y + 6x + 3y - 4 = 0 7) (UFSCar-003) Dados os pontos A(,0), B(,3) e C(,3), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é 8) (Vunesp-003) Considere a circunferência, de equação (x-3) + y = 5. a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a, tal que y = e x > 3. b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r. 9) (UFC-003) O segmento que une os pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é: a) (x - ) + (y - ) = 5 b) (x - ) + (y - ) = 0 c) (x - ) + (y - ) = 5 d) (x + ) + (y + ) = 5 e) (x + ) + (y + ) = 0 30) (PUC-SP-003) Seja x + y + 4x = 0 a equação da circunferência de centro Q representada no plano cartesiano ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é dado por a)( -; ) b) (- +; ) c) ( -; ) d) (- -; - ) e) (- ; - ) 3) (Unicamp-997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-, ) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x + y - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se: 4 Projeto Futuro Militar

5 a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? b) Se a velocidade do ciclista A for de 0 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q? r = (p a)(p b)(p c) p, onde p é o semi-perímetro do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura. 3) (AFA-998) A área da intersecção das regiões do plano 4x cartesiano limitada por x + (y -4) 5 e y 3 é 9 a) 7 b) 5 c) 3 d) 33) (AFA-999) Os pontos A(-5,) e B(,6) são extremos de um dos diâmetros da circunferência de equação a) x + y - y - 5 = 0. b) x + y + 4x - 8y + 7 = 0. c) x + y - 4x + 4y - 57 = 0. d) x + y + 8x - 4y + 39 = 0. 34) (FAZU-00) Dada a circunferência de equação x + y - x + 6y = 6, considere as afirmativas: I. o diâmetro da circunferência é igual a 8 unidades de comprimento. II. o centro da circunferência é o ponto C(, -) III. o ponto (-, -) é interior à circunferência IV. o ponto (4, -5) é exterior à circunferência Assinale a opção correta a) apenas IV é falsa b) I e III são verdadeiras c) todas são verdadeiras d) I e IV são verdadeiras e) todas são falsas Determine nesse triângulo a) o raio da circunferência inscrita. b) a equação da circunferência inscrita. 37) (Fuvest-994) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x +y -x-4y=0. Então a equação de s é: a) x- y = - 6 b) x + y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) x + y = 6 38) (Unicamp-998) Se z = x+iy é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x. a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à z i equação Re( z ) =, ao qual se acrescenta o ponto (,0), é uma circunferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-, 0) e é tangente àquela circunferência. 39) (Fuvest-004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. 35) (Vunesp-000) Seja S = {(x, y) R : x + y 6 e x + (y - ) 9} uma região do plano. A área de S é: a) 5. b) 7. c) 5. d) 7. e) 7. 36) (UFSCar-00) O raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula 5 Projeto Futuro Militar

6 Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta x - y = 0 e P = (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas a) do vértice B. b) do vértice C. 40) (Fuvest-003) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m 0. A circunferência C passa pelos pontos (, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C. 4) (Fuvest-996) Considere o triângulo ABC, onde A = (0,4), B=(,3) e C é um ponto qualquer da circunferência x +y = 5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é: a) - b) -3/4 c) d) 3/4 e) 44) (FUVEST-008) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y = 5, o ponto P = (, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 45) (ITA-005) Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P determine a circunferência C de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C. 46) (UFMG-998) Observe a figura: 4) (FUVEST-00) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = é tangente à circunferência C no ponto (0,). Além disso, o ponto (,0) pertence a C. Então, o raio de C a) b) c) d) e) ) (UFSCar-009) Seja () a curva x + y x 6y + 75 = 0, e os pontos P(0, 0) e Q(, 6). a) Faça em seu caderno de respostas o plano cartesiano ortogonal (x, y) e represente nele a curva () e os pontos P e Q. b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a Q que não passe pela região do plano determinada por x + y x 6y + 75 < 0. Nessa figura, a circunferência tangencia a reta da equação y = x no ponto P de abscissa x = e tangencia, também, o eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da circunferência. 47) (UFBA-998) No sistema de coordenadas XOY, tem-se uma circunferência C, de centro no ponto A(,) e tangente à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. Sendo assim, pode-se afirmar: 0. O raio de C mede u.c. 0. A equação de C é x + y = A área do quadrado inscrito em C tem u.a. 08. A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta s tem equação 3x - 4y + = Sendo B (x,) ponto da região interior a C, então - < x < 3. Marque como resposta a soma dos itens corretos. 48) (UFPR-00) Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere, para cada número real m, a reta de equação y = mx e a circunferência de equação x +y 0x = 0. Então, é correto afirmar: - A medida do raio da circunferência é 5. 6 Projeto Futuro Militar

7 - Se m = 0, a reta é tangente à circunferência. - Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a origem do sistema. - Se m =, a reta determina na circunferência uma corda de comprimento 5. - A circunferência é tangente ao eixo y. - Se m = 3, um dos pontos de interseção da reta com a circunferência é (, 3). 54) (FGV-005) Sabendo-se que a circunferência x + y - 6x + 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta y = x -, conclui-se que p é igual a a) -9. b) 7. c) 9. d). e). 49) (FGV-00) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que satisfazem a relação x y = 0? b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio 3, com centro pertencente à reta x y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0? 50) (Fuvest-997) Considere as circunferências que passam pelos pontos (0, 0) e (, 0) e que são tangentes à reta y=x+. a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferências. b) Determine os raios dessas circunferências. 5) (Fuvest-995) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) pontos do plano cartesiano. a) Determine o coeficiente angular da reta BC. b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz? c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A. 5) (FUVEST-009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, ) e é tangente à reta t de equação 4x 3y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triângulo APQ. 53) (Mack-007) Com relação à reta que passa pela origem e é tangente à curva (x-3) + (y-4) = 5, considere as afirmações: I. é paralela à reta 3x 4y = 5. II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. III. é perpendicular à reta 4x 3y = 0. Dessa forma, a) somente I está correta. b) somente II está correta. c) somente III está correta. d) somente I e III estão corretas. e) I, II e III estão incorretas. 55) (FGV-004) No plano cartesiano, considere a reta de equação x - y = 5 e a circunferência de equação x + y - x - 4y + 3 = 0. Podemos afirmar que: a) A reta passa pelo centro da circunferência. b) A reta é tangente à circunferência. c) A circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é. d) A circunferência intercepta o eixo x em dois pontos cuja distância é. e) A área do círculo determinado pela circunferência é4. 56) (Vunesp-004) Considere a circunferência x + (y - ) = 4 e o ponto P(0, -3). a) Encontre uma equação da reta que passe por P e tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa positiva. b) Determine as coordenadas do ponto Q. 57) (Fatec-00) Seja P o ponto de intersecção das retas de equações y = x + 3 e y =. A equação da circunferência que tem centro em P e tangencia o eixo das abscissas é a) x + y + x - 4y = - b) x + y + x - 4y = - 3 c) x + y - x - 4y = - d) x + y - x - 4y = - 3 e) x + y + x + 4y = - 58) (Mauá-00) Determine as equações das retas que passam por A(, 0) e são tangentes à circunferência de equação x +y =. 59) (UECE-00) Os valores de k para os quais a reta y = kx é tangente à circunferência x + y - 0x + 6 = 0 são: e a) 3 3 e b) 3 3 e c) Projeto Futuro Militar

8 e d) ) (UFC-00) Encontre uma equação da reta tangente à curva x - x + y = 0 no ponto (, ). 6) (Fuvest-999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,) e é tangente à circunferência de centro C = (,) e raio num ponto T. Então a medida do segmento PT é: a) 3 b) c) 5 d) 6 e) 7 65) (Fuvest-994) Fixado o ponto N=(0,), a cada ponto P do eixo das abscissas associamos o ponto P'N obtido pela intersecção da reta PN com a circunferência x +y =. a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos pontos (x,y) da circunferência, com y<0? b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência, associado a P=(c,0), c0? 66) (Vunesp-006) Seja C a circunferência de centro (, 0) e raio, e considere O e P os pontos de interseção de C com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem, respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam congruentes, como mostra a figura a seguir. 6) (Mack-00) O círculo de centro A e tangente à reta r da figura tem área: a) 4/5 b) 5/4 c) 3/5 d) /5 e) 3/4 a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é, y = x 3 determine as coordenadas de S. b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS. 67) (UFRJ-005) A reta y = x + k, k fixo, intercepta a circunferência x + y = em dois pontos distintos, P e P, como mostra a figura a seguir. 63) (Fuvest-995) Uma circunferência de raio, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x-3y=0. Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 64) (Fuvest-998) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio tem o seu centro C nessa bissetriz e VC = x. a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos? b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente pontos? a) Determine os possíveis valores de k. b) Determine o comprimento do segmento P P em função de k. 68) (IBMEC-005) Suponha que r é um número real positivo e considere as circunferências do plano cartesiano dadas por C : (x 5) + y = r. C : (x + 5) + y = r. 8 Projeto Futuro Militar

9 O conjunto dos pontos do plano que representam as intersecções de C e C para r 3, é melhor descrito pela figura a) b) c) d) 69) (UFSCar-005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de centro C = (0,0), com p real e diferente de 0. a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de inclinação. b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências, com as características de λ, tais que p 9, calcule a área da região formada pela intersecção de R com {(x,y) y qx}. 70) (Unicamp-003) As equações (x + ) + y = e (x - ) + y = 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas. a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências. b) Encontre o valor de a IR, a 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas circunferências. 7) (Fuvest-00) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = -x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio a) (6, ) b) (6, ) c) (5, 3) d) (5, ) e) (5, ) 5. Então, as coordenadas de C são: 7) (FGV-00) a) Represente os pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a relação 3x y = 6 b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações: x y 9 x y 3 e) 73) (Fuvest-998) Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (,). Um dos vértices do quadrado é o ponto ( 3, ). Determine os outros três vértices do quadrado. 9 Projeto Futuro Militar

10 74) (UFPB-006) Considerando as seguintes proposições relativas à circunferência x y 4 no plano cartesiano, identifique a(s) verdadeira(s): 0. O ponto P (-,) é interior à circunferência. 0. O ponto P (-,) é exterior à circunferência. 04. O ponto P (, ) está sobre a circunferência. 08. A reta de equação y x intercepta a circunferência em dois pontos. 6. A reta de equação y x intercepta a circunferência em um único ponto. A soma dos valores atribuídos à(s) proposição(ões) verdadeira(s) é igual a: 75) (FGV-004) As coordenadas do ponto da circunferência x 8 y 6 5 origem O 0,0 são: a) 8,6 b) 4,3 c) 0,5 d) 3, e),9 que fica mais afastado da 78) (UFPA-997) A reta de equação x + y = 0 intercepta o círculo x + y + x + 4y - 0 = 0 de centro C, nos pontos A e B. Determine: a) Os pontos A, B e C. b) A área do triângulo ABC. 79) (Vunesp-999) O comprimento da corda que a reta y=x determina na circunferência de equação (x+) +(y-) = 6 é: a) 4 b) 4 c) d) e) 80) (UNIUBE-00) Considere a circunferência descrita pela equação x + y -y = 0. Pode-se afirmar que o comprimento da corda que a reta de equação 6x - 8y = 0 determina nessa circunferência é igual a a) unidade de comprimento. b) 0,8 unidades de comprimento. c), unidades de comprimento. d) unidades de comprimento. 76) (PUC-PR-003) Se a equação da corda do círculo x + y = 49, que tem por ponto médio o ponto (,), é da forma ax + by + c = 0, então a + b - c vale: a) - b) 5 c) d) 0 e) 8 77) (PUCCamp-998) São dadas a reta r, da equação y = 3, e a circunferência, de equação x + y - 4x = 0. O centro de e as intersecções de r e determinam um triângulo cuja área é: a) 3 3 b) 6 c) 3 d) 3 e) 3 0 Projeto Futuro Militar

11 Gabarito ) a) A(, ) e B( -, ) b) 45 o e 35 o ) V F V F F + 4 = 5 3) a) B(-, ), C(- 5,0), D(-, -), E(, -) e F( 5,0). A área é 4( 5 + ) b) cos AÔB = 3/5 4) a) R = 5 b) 50 u.a. 5) Alternativa: D 6) Alternativa: D 7) Resp: a = -5 Resol: isole z na ª equação e substitua na ª; remonte a equação completando quadrados e obtendo uma equação de circunferência onde o raio seja 4a 00. Para que uma equação de circunferência represente um único ponto (o seu próprio centro), é necessário que o raio seja nulo. 8) Da geometria plana, lembramos que o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, ou seja, o encontro das mediatrizes do triângulo. Então, vamos obter a equação de duas mediatrizes e obter o ponto de intersecção das mesmas. O centro da circunferência será esse ponto e o raio será a distância do centro a um dos 3 vértices. Sabendo que A =(5, 5) B=( 3, ) e C = (, 4) temos: Mediatriz do lado AB: 5 m = = m = / m = 3 5 ponto médio de AB: M = (, 3) então a reta que passa por M com coeficiente angular m = é y 3 = (x ) x +y 5 = 0 Mediatriz do lado AC: 4 5 m 3 = = 3 m 4 = / m 3 = 5 3 Centro O da circunferência: A intersecção das mediatrizes (que são retas concorrentes) é obtida pela resolução do sistema: x y 5 0 x 3y 5 0 Resolvendo o sistema, encontramos x = e y = O = (, ) Raio da circunferência: Distância do centro ao vértice A (poderia ser qualquer um dos 3 vértices): 5 5 = 9 6 = 5 raio = 5 d(o, A) = Então a circunferência procurada é (x ) + (y ) = 5 9) a) A ( 8,), B(, 8), C(, 8) e D( 8,) b) 7 8 0) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3 vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no mesmo semiplano. Portanto, as retas são x =, y = 0 e y = x b) (x-) + y = 8 com centro (, 0) e raio ) a) A(4, ) e B (3, 3) b) (,- ) a) b) 5 ) 0 e 0cm respectivamente. 3 ponto médio de AC: N = ( 7 ; ) então a reta que passa por N com coeficiente angular m 4 = 3 é y = 3 (x 7 ) 6y 3 = x + 7 x + 6y 0 = 0 x +3y 5 = 0 d AC = d AB 3x + 3y - 40x + 00 = 0 circunferência Projeto Futuro Militar

12 3) a) Circunf: x + y = x : C = (, 0) e R = Circunf: x + y = y : C = (0, ) e R = A hachurada = A semicirculo A segmento circular o. r. r r. r. sen90 = 4 = = 9) Alternativa: A 0) a) x + y = 5, P(, ) e Q(-, -). b) y = -x + 5. ) Alternativa: C b) Pontos de intersecção: (0, 0) e (, ) Retas tangentes no ponto (0, 0): eixos coordenados, que são perpendiculares. Retas tangentes no ponto ( são perpendiculares., ): x = e y =, que ) Alternativa: D 3) Alternativa: D 4) Diagonais: x + y - 5 = 0 e x - y - = 0 5) Alternativa: B 6) Alternativa: A 4) Alternativa: A 5) Alternativa: E y x + 3 = = - y 3) + y - 3. Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 =. y é um arco de circunferência de centro (- 3; 0) e r = 6) Alternativa: D 7) Alternativa: A 8) Alternativa: B Através da equação geral da circunferência encontra-se sua equação reduzida (x-) + (y-) = 4, achando assim seu centro (,) e se raio r =. Dessa forma conclui-se que A=(,0) e B=(0,). Finalmente encontra-se o valor da área hachurada calculando a área do semicírculo de raio determinado pelo diâmetro MN menos a área do segmento circular de ângulo central 90 o determinado pelo segmento AB. 7) Alternativa: D 8) a) P = (4, ) b) y = x - 6 e o coeficiente angular é. 9) Alternativa: A A principal parte do problema é a determinação dos pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados. A partir daí o raio da circunferência procurada é igual à metade da distância entre estes dois pontos, e o centro da circunferência é o ponto médio do segmento determinado por eles. Para encontrarmos o ponto de interseção da reta x + y - 4 = 0 com o eixo x, fazemos y = 0 e para encontrarmos o ponto de interseção da reta x + y - 4 = 0 com o eixo y, fazemos x = 0. Assim os pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados são (,0) e (0,4). A distância entre estes pontos é 4 ( ) 0 portanto o raio da circunferência procurada é 5.O ponto médio do segmento que une os pontos (,0) e (0,4) é 0 0 4, = (,), que é o centro da circunferência. Portanto a equação da circunferência é (x - ) + (y - ) = 5 30) Alternativa: A 5 e Projeto Futuro Militar

13 3) a) Q = (7, 7) b) V = 0 km/h 43) a) 3) Alternativa: C 33) Alternativa: B 34) Alternativa: B 35) Alternativa: D 36) a) r = b) C = x + y - x - y + = 0 37) Alternativa: B 38) a) Se z = x+iy, então z+i = x+i(y+) e z- = (x-)+iy. z i Então, dividindo z encontramos x(x ) y(y ) i(x )(y ) xy (x ) y e assim a parte x(x ) y(y ) x(x ) y(y ) real é (x ) y (x ) y. Fazendo = de onde se chega em x +(y+) = 8 para x e y0. Note que x +(y+) = 8 seria a equação da circunferência de centro (0,-) e raio se não tivéssemos x e y0. Assim, acrescentando-se o ponto (,0) temos a circunferência. b) y = x+ 39) a) B=(6,3) b) C=(,) b) ) a) x + y 5 = 0 b) ( 3 +,0) 45) A circunferência C tem centro O 5 4 5, 0 4 e raio r = 3 40) a) m = 3 m 3m b) A = m 3, para 0 < m < 3 46) C = ( 5, 5-5 ) e R = ) V F F V V : soma das corretas = 5 48) V F V F V V 4) Alternativa: C 4) Alternativa: B 49) 3 Projeto Futuro Militar

14 (x 5 ) 5 +( y ) = 9 ou (x ) a) C=(,) ou C = (, 7) b) R = ou R = 5 5 ) + (y ) = 9 7 5) a) m = -/ b) x - y = 0. Sim, o ponto A pertence à essa mediatriz. c) x + y = 0. 5) a) (, ) b) (x + 5) + (y ) = 5 c) ) a) (x - ) + y = 4 e 4 b) 3 3 e 5 67) a) - < k < b) ( - k ) 68) Alternativa: C 8 6, ) a) ângulo de inclinação = 60º 53) Alternativa: C 54) Sem Resposta A resolução nos leva a p = 5, que não está nas alternativas. 55) Alternativa: C 56) a) y = b) 6, 5 5 x 3 b) 60 70) a) encontram-se na origem (0, 0) b) a = 4 7) Alternativa: E 57) Alternativa: A 58) Resposta: y = x - e y = -x + 59) Alternativa: C 60) Tangente: y = 6) Alternativa: A 6) Alternativa: D 63) Alternativa: D 64) a) < x < b) 0 x < ou x = 65) a) os pontos P = (x, 0) tais que -< x < P' c, c b) c c 7) ( - ) A = ) (4, ), (5, 5) e (, 6) 74) Resposta: 5 75) Alternativa: E 76) Alternativa: E e) (resposta oficial) Nota: A questão não está bem redigida, pois a forma geral da equação da reta não apresenta coeficientes a, b e c 4 Projeto Futuro Militar

15 únicos. Assim, mesmo sendo x + y - 5 = 0 a opção mais natural, qualquer equação no formato kx + ky - 5k = 0 representa a mesma reta, com a + b - c = 8k, e, escolhendose valores convenientes de k, pode-se ter qualquer alternativa como correta. 77) Alternativa: E 78) a) A = (4, -); B = (-4, ) e C = (-, -) b) área = 0 79) Alternativa: B 80) Alternativa: C 5 Projeto Futuro Militar

1. Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y. 2. Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B. 3. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano.

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