Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

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1 Maurício Bezerra Bandeira Junior

2 Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = = -1; portanto, um ponto é (0, -1) b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3, e outro ponto é (1/3, 0). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. x y 0-1 1/3 0 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Zero da função do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 x = -b/a Vejamos alguns exemplos: Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 x = 2/5 Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0-2x + 10 = 0 x = 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x aumenta x y y aumenta Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Observamos novamente seu gráfico: Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Sinal Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula para a raiz x = b/a. Há dois casos possíveis: 1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 ax + b > 0 x > b/a y < 0 ax + b < 0 x < b/a Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < -b/a y < 0 ax + b < 0 x > -b/a Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Proporcionalidade na função afim Toda função afim do tipo y = ax (o gráfico é uma reta que passa pela origem) é chamada de função linear. Em toda função linear os valores de x são proporcionais aos valores correspondentes de y. Exemplo: A função y = 3x é linear. Se (m, n) é um ponto da função, então (km, kn) também é ponto da função, para qualquer k real. Isso ocorre em qualquer função linear. Em toda função afim y = ax + b, a razão entre a variação dos valores de y, y, e a variação correspondentes dos valores de x, x, é uma constante não-nula k, isto é ( y/ x)= k, ou ainda, y = k( x). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Exemplo: Dada a função: y = 3x 2 Se atribuirmos dois valores reais distintos (x e x ) temos, como correspondentes valores de y, os números distintos y = 3x -2 e y = 3x - 2. Observe a variação dos valores de y e a variação dos valores correspondentes de x: ( y/ x) = (y - y )/(x -x ) ( y/ x) = 3, ou ainda, y = 3 x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Função definida por mais de uma sentença Um projeto de lei propôs novas alíquotas para o imposto de renda, apresentadas pela tabela: Renda mensal Alíquota Até R$ 1.000,00 Isento Acima de R$ 1.000,00 até R$2.000,00 10% Acima de R$ 2.000,00 até R$5.000,00 15% Acima de R$5.000,00 20% De acordo com esta proposta, se a renda mensal de um cidadão é x reais, então o imposto mensal f(x) a pagar pode ser descrito pela função: f(x) = 0, se x ,1x, se < x ,15x, se < x ,2x, se > Perceba, por esse exemplo, nem sempre é possível definir uma função por uma única sentença. O exercício resolvido a seguir mostra com construir o gráfico de uma função com essa. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Exemplo: Construir o gráfico da função: f(x) = 4, se x 3 x + 1, se x > 3 e determinar seu domínio e conjunto- imagem. Resolução: Para construir o gráfico, analisamos cada uma das sentenças separadamente: I. f(x) = 4, se x 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta de origem (3, 4), paralela ao eixo Ox, cujos pontos têm abscissas no intervalo ] -, 3]. II. f(x) = x + 1, se x > 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta contida na reta de equação: f(x) = x + 1, cujos pontos têm abscissas no intervalo ]3, + [. Para obter essa semi-reta, atribuímos a x o valor 3 e um outro valor qualquer maior que 3, conforme mostra a tabela ao lado. (Embora a variável x não possa assumir o valor 3, pois x >3, atribuímos a ela o valor 3 para obtermos um extremo dessa parte do gráfico.) x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 A reunião das duas partes do gráfico obtidas em ( ) e ( ) é o gráfico da função f: O domínio e o conjunto-imagem de f são, respectivamente: D=IR e Im= [4, + [ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Variação de sinal da função afim Dada a função f(x) = 2x-6. A função se anula para x=3; A função é positiva para todo x real, com x > 3; A função é negativa para todo x real, com x < 3. 3 f(x)=2x Podemos estudar o sinal da função da seguinte forma: a raiz da função f é a raiz da equação: 2x-6=0 x=3 os valores de x para os quais f(x) é positivo (f(x) > 0) são as soluções da inequação: 2x-6 > 0 x>3 os valores de x para os quais f(x) é negativo (f(x) <0) são as soluções da inequação: 2x-6 < 0 x<3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Inequação-produto Sendo x IR, consideremos os números 2x-10 e x +3. Para que valores de x o produto desses números é positivo? Ou seja, quais as soluções reais da inequação (2x-10)(-x+3)>0? Ganhando tempo (dispositivo prático) S={x IR I3 < x < 5} ou ]3, 5[. 3 5 f(x)=2x g(x)=-x f(x) g(x)=(2x-10)( -x+3) o Genericamente, inequação-produto é toda aquela apresentada sob uma das formas: f(x) g(x)>0 f(x) g(x) <0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 o UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Inequação-quociente Chama-se Inequação-quociente toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: f(x) g(x) f(x) f(x) > 0 < 0 0 f(x) 0 f(x) 0 g(x) g(x) g(x) g(x) Em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula. Exemplo: Determine o conjunto solução da inequação x+1. x+2 > x S= {x IR x < -2 ou x >-1} x (x+1)/(x+2) + o - o + UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Fim UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

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