Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Transcrição

1 FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA FUNÇÃO... SINAL DA FUNÇÃO AFIM... INEQUAÇÕES... 9 SISTEMA DE INEQUAÇÕES... INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS... INEQUAÇÕES-PRODUTO... 9 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE... 8 RESPOSTAS... 6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio -7. Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

2 FUNÇÃO IDENTIDADE Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando associa a cada elemento o próprio, isto é: f: f() = Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do º e º quadrantes. FUNÇÃO LINEAR Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento o elemento a onde a é o número real dado, isto é: f: f() = a com a () É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. A imagem da função identidade é Im = e isto pode ser percebido facilmente, veja: A imagem da função identidade é Im =. f() a y a y a y a Observe que se a =, teremos uma função constante y = como vimos na apostila anterior. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 assim, = y a, a, tal que: f() a y f() a a f() y E.: Vamos construir o gráfico da função y =. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Por outro lado o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (; ) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a e calcular o correspondente y =. y E.: Construir o gráfico da função y = -. Resolução: Analogamente, temos: - Y - - Agora, P(; ) e Q(; -). Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(; ) e Q(; ) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado. Note que Im(f) =. Veja o gráfico na coluna a seguir. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

4 ) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráfico de funções constantes a seguir. a) y = b) y = c) y = - d) y = ) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: a seguir. a) y = b) y = c) y = d) y CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 ) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: a seguir. a) y = - b) y = - c) y = - FUNÇÃO AFIM Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento o elemento a + b onde a, isto é: f: f() = a + b com a d) y.: y = + onde a = e b =.: y = - + onde a = - e b =.: y = onde a = e b = -.: y = onde a = e b = Observe este último eemplo. Note que, quando b =, a função y = a + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente demonstrado. Demonstração: MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

6 De, y y y a a y Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função y = a + b com a e (; y), (; y) e (, y), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos. Para provar que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta, vamos mostrar, em princípio, que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Note que : ; y f y a b ; y f y a b ; y f y a b Fazendo, temos: y y y y a a a b b Fazendo, temos: y y y y a a b a b De Assim,, y y a y y a y a y y y Logo os triângulos ABD e BCE são semelhantes e assim, os ângulos e são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos eemplos a seguir. E. : Construir o gráfico da função y = +. Resolução; Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 + y + + Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). D(f) = e Im(f) = É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim: D(f) = Im(f) = E. : Construir o gráfico da função y = - + Resolução: De modo análogo, temos: - + y ) Construa nos planos cartesianos a seguir, o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os eemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada) MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU

8 a) y = c) y = + y y b) y = + y d) y y CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 e) y = g) y = + y y f) y = y h) y y MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU

10 ) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do º grau: y y (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas) 6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do º grau: y a) y CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 b) y y 8 c) y y MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

12 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO 7) Resolva os sistemas: a) y y y y Sugestão: faça b y e a y b) y y y y

13 8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (; ) e (; -). (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) c) (; -) e (; -) d) (; -) e (-; ) b) (; ) e (; ) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. e Eercícios a MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

14 IMAGEM O conjunto imagem de uma função afim f: definida por f() = a + b com a é. De fato, qualquer que seja y, y b eiste tal que a f y b y b f a b y a a. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM O coeficiente a da função f() = a + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = a + b é denominado coeficiente linear. Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. E.: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os eemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente. E.: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a. Vejam neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eio OY. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (; ) e tem coeficiente angular igual a. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas) ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a -. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

16 ) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a - e passa pelo ponto (-; -) ) Dados os gráficos das funções de em, obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 b) c) MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU

18 d) ZERO DA FUNÇÃO AFIM Zero ou raiz de uma função é todo número cuja imagem é nula, isto é, f() =. é zero de y = f() f() = Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do º grau a + b = que apresenta uma única solução b a. E.: Qual o zero da função f() =? Logo, a raiz da função é. E. : Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eio OX. Note o gráfico da função f() =, podemos perceber que o gráfico intercepta o eio das abscissas em, isto é, no ponto ;. CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente. FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Uma função f: A B definida por y = f() é CRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, tivermos f() < f(). Em termos técnicos, f é crescente quando: Uma função f: A B definida por y = f() é DECRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, tivermos f() > f(). Em termos técnicos, f é crescente quando: (, ) ( < f() > f()) (, ) ( < f() < f()) Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: f f (, ) ( ) f f (, ) ( ) Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de y também aumenta. Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de y diminui. MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU

20 Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente. Veja o eemplo abaio. A função é decrescente em - e crescente em +. E.: A função f() = é crescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: E.: A função f() = - + é decrescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: ) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a) Notemos que uma função y = f() pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 b) O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo. Dada a função f() = a + b, Se a > então f é crescente. DEMONSTRAÇÃO c) f a b é crescente f f ( a b a b a b a b a a ) Assim, podemos observar que f() = a + b é crescente a > MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

22 6) Demonstre que f() = a + b se, e somente se, a <. 7) Especificar se cada uma das funções abaio é crescente ou decrescente. a) y = + 8 b) y = 9 c) y = d) y = - 6 e) y f) y CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 g) y 9) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaio. a) y = (k ) + (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) h) y 8) Para quais valores de k a função f() = (k + ) 7 é crescente? b) y = (k + ) 7 MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

24 c) y = ( k) + Estudar o sinal da função y = f() cujo gráfico está representado na figura a seguir. d) y = k( + ) Como foi dito, não importa a posição do eio das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático. SINAL DE UMA FUNÇÃO Seja a função f: A B definida por y = f(). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de temos y maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaio do eio. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eio OX não importando a posição do eio OY. Conclusão: f() = para = - ou = ou = ou = 8 f() > para - < < ou < < ou > 8 f() < para < - ou < < 8 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 SINAL DA FUNÇÃO AFIM ) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a) Como vimos, estudar o sinal De uma função y = f() significa estabelecer, para cada valor de D(f), qual das sentenças é verdadeira: y > y = y < Para a função afim y = a + b, temos com dois casos a considerar: º caso: a > Neste caso a função é crescente. Como para b a temos b y f a, vem: b) b f a b f a b f f a b a f f Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função y = a + b com a >, é: c) Entende-se, com esta notação, b que para valores de à direita de, a a função retorna um valor positivo ( + ) e para valores à esquerda de b a retorna valores negativos ( - )., a função Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

26 Já vimos que o gráfico cartesiano da função f() = a + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de f() = a + b com a > e lembrando o que está sendo dito na página, que a posição do eio y não importa, temos: Entende-se, com esta notação, que para valores de à direita de b a, a função retorna um valor negativo ( - ) e para valores à esquerda de retorna valores positivo ( + ). b a, a função Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a >, a função é decrescente. º caso: a < Neste caso a função é de crescente. Também b y f a b f a b f a para, vem: b a b f f a b a f f temos Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função y = a + b com a <, é: Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe: Quando a >, f f f b se a b se a b se a CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 Quando a <, f f f b se a b se a b se a f f f 7 f 9 E.: Estudar o sinal da função f() = - +. f E.: Estudar o sinal da função f() = +. f Como a > (a = ), temos que f é crescente, assim: y y y Como a < (a = -), temos que a função f é decrescente, assim: y y y Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( ) e outro menor que a raiz ( ). f f f f 7 Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior que, encontraremos um valor positivo. A imagem de é zero e a imagem de qualquer valor menor que é um número negativo Só para eemplificar, vamos encontrar os valores de f() ( > ) e de f(-) (- < ) MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU

28 d) f() = + ) Estudar os sinais das seguintes funções definidas em : a) f() = + e) f b) f() = - + c) f() = f) f CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 g) f INEQUAÇÕES O último eercício apresentado () é um eemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações. h) f() = - E.: Seja f: a função definida por f() =. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que. Note que este eemplo é bem parecido com o último eercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação > > 8 > Logo a solução é S = { > ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 6 Eercícios 8 a ) Seja f: a função definida por f() =. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que (zero). E.: Considerando as funções f() = e g() = - +, determine os valores de para os quais temos f() g(). Vamos resolver a inequação: Solução: S Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaio. Os dois primeiros valores são menores que e os dois últimos são maiores. MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU

30 f() g() - Qual é maior? ) Para que valores reais de a função f é negativa? Este mesmo eemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaio, você pode ver os gráficos das duas funções. ) Para que valores do domínio da função de em definida por f a imagem é menor que? Note que em =, as funções são iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para valores menores que, a função f é menor que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de = o gráfico de f está abaio do gráfico de g. Esta situação se inverte à direito de =. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 ) Dadas as funções f() = +, g() = e h, definidas em c) f() h(), para que valores reais de tem-se: a) f() > g() 6) b) g() < h() Dados os gráficos das funções f, g e h definidas em e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os valores de, tais que: a) f() > g() MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

32 b) g() h() 7) Dado um número real k, a função f: definida por f() = k é chamada de função linear (pág. ). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. c) f() h() d) g() > b) Prove que se f é linear então f(a + b) = f(a) + f(b). e) f() CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

33 8) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza quando y é uma função linear de. Se y é diretamente proporcional a e quando = temos y =. Então, para =, qual é o valor de y? SISTEMA DE INEQUAÇÕES Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em separadas pelo conectivo e, O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam. E.: Resolver o sistema de inequações Resolução: De,. De, 6 Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções: Logo, a solução é: S = { MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

34 E.: Resolver o sistema De, 6 De, 9 9 conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila. Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim: f g h f g g h Indicando por S o conjunto solução da primeira inequação e por S o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é: S = S S E.: Resolver S = { -9 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Uma dupla desigualdade f() < g() < h() pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em separadas pelo De, De, CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

35 MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU A intersecção desses dois conjuntos é S = { 9) Resolver os sistemas a seguir: a) b) 8 6

36 CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO c) d) 7 6

37 ) Resolver as inequações em : a) - < < c) - < < b) - < d) 7 MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU

38 e) + < <6 ) Com base nos gráficos das funções f, g e h definidas em, determinar os valores de, tais que: a) f() < g() h() f) < + < + CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

39 b) g() f() h() INEQUAÇÕES-PRODUTO Sendo f() e g() duas funções na variável, as inequações f() g() > f() g() < f() g() f() g() são denominadas inequações-produto. Vejamos, por eemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo f() g() >. De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número é solução da inequação f() g() > se, e somente se, f() e g(), não nulos, têm o mesmo sinal. c) h() f() < g() Assim, são possíveis dois casos: º: f() > e g() > Se S e S são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S é o conjunto solução do sistema. º: f() < e g() < Se S e S são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S é o conjunto solução do sistema. MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU

40 Daí concluímos que o conjuntosolução da inequação produto f() g() > é: f() = + + = = - Como a função é crescente, S = (S S ) (S S ) Um raciocínio análogo poderia ser feito para f() g() < porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes. Também no caso de f() g() ou f() g(), podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função. g Esta função também é crescente, então, E.: Resolver em., a inequação Resolução Como estamos procurando valores para que tornem o produto positivo, então sabemos que e devem ter o mesmo sinal. Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto: A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá. Assim temos a solução: S = { ou CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

41 E.: Resolver em a inequação Resolução: f Quando uma inequação-produto apresenta ou, devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no eemplo. g E.: Resolver em., a inequação h f() = + + = = - O próimo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de f g h g Assim temos a solução: E temos a solução: S = { ou S = { ou MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

42 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo: n n n n f f f f Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e epoente inteiro: toda potência de base real e epoente par é um número real não negativo, isto é: N n, a, a n toda potência de base real e epoente ímpar conserva o sinal da base, ou seja: N n a a a a a a n n n Assim sendo, temos as seguintes equivalências: sen é par f sen é ímpar f f n sen é par sen é ímpar f f n sen é par D f sen é ímpar f f n sen é par f sen é ímpar f f n E.: S E.: 6 S E.: S E.: S E.: S E.6: S E.7: 8 8 S

43 c) ) Resolver em as inequações a seguir: a) 6 d) b) MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

44 e) 6 7 g) 7 f) 7 h) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

45 ) Resolver em as inequações a seguir: a) e) f) b) 8 g) 6 c) d) 7 h) 8 MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

46 ) Resolver em a inequação 6 (Esta questão está resolvida na seção de Respostas) ) Resolver em as inequações: a) 7 CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

47 MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU b) 8 c) 6 6 7

48 d) INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Sendo f() e g() duas funções de variável real, as inequações do tipo f g f g f g f g são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 6 Ver R.7 E.: Resolver em a inequação. Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a (zero). CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

49 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU f g Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos: Solução: S = { ou 6) Resolver em as inequações: a)

50 b) d) c) 8 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

51 7) Resolver em as inequações: a) b) MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

52 c) d) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

53 MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU 8) Resolver em as inequações: a) b)

54 c) d) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

55 9) Resolver em as inequações: a) b) MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU

56 c) d) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

57 e) f) MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU

58 g) ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = g() = + h() = - ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 68 Análise de Resolução CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

59 ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - g() = - + h() = - - ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - g() = - h() = - - MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU

60 ) Construa o gráfico da função: para f 6 para ) Construa o gráfico da função: f para para para CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

61 RESPOSTAS ) ) a) b) ) c) ) d) MATEMÁTICA I 6 FUNÇÃO DO º GRAU

62 e) f) g) h) ) Resolução: SOLUÇÃO ANALÍTICA. Eistem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por eemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição mas você pode [e deve] escolher outra forma. y y y 6 y y y Solução: S = {(-; ) y SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações. y y y y Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema. y Y CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

63 6) a) S = {(; ) b) S = {(-; ) Solução: S = {(-; ) 8) Resolução Se estamos procurando uma equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = a + b. Desta forma, considerando que o ponto (, ) pertence à reta de equação y = a + b, temos a sentença verdadeira = a + b a + b = Analogamente, para o ponto (, -) obtemos: - = a + b a + b = - Resolvendo, agora, o sistema a b a b encontramos a = - e b =. Substituindo a e b em y = a + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = - + b) y = + c) y = d) y 9) Resolução A equação procurada é da forma y = a + b. Se o coeficiente angular é, então a =. Substituindo =, y = e a = em y = a + b, vem: c) S = Ø = + b b = Logo, a equação procurada é Y = + 7) a) S = {(; -) b) S = {(; ) ) y = - ) y ) y MATEMÁTICA I 6 FUNÇÃO DO º GRAU

64 ) ) a) y y b) y c) y d) y = + ) a) Crescente: ] - ; -7[, ]-6; -[ e ]; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-; [ b) Crescente: ] -; [ e ]; [ Decrescente: ] - ; -[ e ]; [ c) Crescente: ] - ; [ e ]; [ 6) Demonstração 7) Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h. 8) k > - 9) a) Crescente para k > k > Constante para k = k = Decrescente para k < k < b) Cresc.: k > - Const.: k = - Decresc.: k < - c) Cresc.: k < Const.: k = Decresc.: k > d) Cresc.: k > Const.: k = Decresc.: k < ) a) f() < para - < < ou < < 7 b) f() = para = - ou = ou = 6 f() > para - < < f() < para < - ou < < 6 ou > 6 c) f() = para = - ou = ou = f() > para < - ou > f() < para - < < ou < < b) c) d) e) y para y para y para y para y para y para y para y para y para y para y para y para y para 6 y para 6 y para 6 ) a) f() = para = - ou = ou = ou = 7 f() > para < - ou < < ou > 7 CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

65 ) ) f) g) h) ) < ) a) b) 9 y para 9 y para 9 y para y para y para y para y para y para y para c) 6) a) > b) c) d) < - e) 7) (Demonstração) 8) y = 9) a) S = { b) S = { c) S = { d) S = ) a) S = { b) S = { c) S = { d) S = e) S = { f) S = { ) a) S = { < b) S = { - c) S = ) a) b) c) d) e) S = { S = { S = { S = { 6 S = { ou ou 7 ou ou ou 6 MATEMÁTICA I 6 FUNÇÃO DO º GRAU

66 f) g) h) S = { 7 S = { S = { 7 ou ou se é: e é nulo se Montando o quadro para estudo de sinais, temos:, isto ) a) S = { b) S = { c) S = d) S = { e) S = f) S = { g) S = { h) S = { ) Solução: Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f() = ( ) e g() = ( + ) 6. Lembrando que potência de epoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de ( ) é igual ao sinal de, isto é: A potência de epoente par e base real não nula é sempre positiva, então ( + ) 6 é positivo ) 6) Assim, S = { e a) S = { b) S = { c) d) a) b) S={ ou 7 6 S = { S = { S = { c) c) S = { d) S = { ou ou ou ou ou CÁSSIO VIDIGAL 66 IFMG CAMPUS OURO PRETO

67 7) 8) a) S = { a) b) S = { c) S = { d) S = { b) c) d) S = { S = { S = { 7 8 ou ou ou ou S = { ou ou ) ) g) S = { ou ou 9) a) S = { - < < ou > b) S = { < < ou > c) S = { - < < - d) S={ ou e) f) 9 S = { ou S={ ou ou 9 ) MATEMÁTICA I 67 FUNÇÃO DO º GRAU

68 ) Links para as vídeos-aulas sugeridas Pág. 7 graficofg/ Pág. 7 estudosinalfg ) Pág. inequacao-produto/ REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988 IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, ª edição CÁSSIO VIDIGAL 68 IFMG CAMPUS OURO PRETO