INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e é calculada por regras apropriadas. Por eemplo, se y e, então: e d ou d O problema o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função y f ( ), encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como y d, encontre, de algum modo, uma função y f ( ) que satisfaça a equação. Em outras palavras, nós queremos resolver equações diferenciais. DEFINIÇÃO. Equação Diferencial y Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED). Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. Classificação pelo Tipo Quanto ao tipo, uma equação diferencial pode ser ordinária ou parcial. Ela é ordinária (EDO) se as funções incógnitas forem funções de somente uma variável. Caso contrário ela será parcial (EDP). Eemplos de equações diferenciais ordinárias (EDO) 5y dt ( y ) d 4 du dv d d d y 6y d d Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

2 Eemplos de equações diferenciais parciais (EDP) Classificação pela Ordem u v y u u y u y u u u t t A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. Por eemplo segunda ordem primeira ordem d y 5 4t e d d é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equação diferencial ( y ) d 4 pode ser escrita na forma 4 y d dividindo-se pela diferencial d, trata-se então de uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação 4 u u a 4 t é uma equação diferencial parcial (EDP) de quarta ordem. Classificação como Linear ou Não-Linear Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma n n d y d y n n n an( ) a ( ) a ( ) a ( ) y g( ) d d d Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:. A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, i.e., a potência de cada termo envolvendo y é.. Cada coeficiente depende apenas da variável independente. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

3 As equações yd y" y ' y d y d y 5y e d d d são equações diferenciais ordinárias (EDO) de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Por outro lado, Coeficiente depende de y yy" y' d y y d Potência diferente de São equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceiras ordens, respectivamente. Observação: Equações diferenciais lineares são aquelas cujos lados direito e esquerdo são funções lineares, (i.e. polinômios de grau ) com respeito à incógnita e suas derivadas, ao passo que as não-lineares não satisfazem essa propriedade. Sistemas lineares são aqueles formados apenas por equações lineares, enquanto que os nãolineares são aqueles que envolvem no mínimo uma equação não-linear. Soluções Nosso objetivo nesse curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais. DEFINIÇÃO. Solução de uma Equação Diferencial Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução da equação no intervalo. Em outras palavras, podemos dizer que uma solução para uma equação diferencial ordinária (EDO) F y y y y,, ', ",..., é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação, i.e., para todo no intervalo I. F f f f f, ( ), '( ), "( ),..., ( ) Eemplo 4 Verifique que y é uma solução para a equação diferencial não-linear 6 y d No intervalo, Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

4 4 Solução: Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação diferencial como para todo no intervalo. Usando e percebemos que Para todo número real. y d e verificar, após a substituição, se a diferença y d é zero 4 d 6 4 y y d Eemplo A função y e No intervalo é uma solução para equação linear y" y' y,. Solução: Para verificar isso, calculamos y ' e e e y" e e Observe que y" y ' y e e e e e Para todo número real. Note que nos eemplos e, a função constante y também satisfaz a equação diferencial dada para todo real. Uma solução para a equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral chamada como solução trivial. Eemplo a) As equações diferenciais de primeira ordem soluções. Você sabe por quê? d y' y 4 não possuem e b) A equação de segunda ordem 4 solução? y" y, possui apenas uma solução real. Qual é essa Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

5 5 Eemplo 4 c Para qualquer valor de c, a função y ordem No intervalo,. é uma solução da equação diferencial de primeira y d Solução: Temos que, Logo, d d c c c d d d c c y d Se variarmos o parâmetro c, podemos gerar uma infinidade de soluções. Em particular, fazendo c, obtemos uma solução constante y. Veja a figura. Figura c No eemplo 4, y é uma solução da equação diferencial em qualquer intervalo que não. contenha a origem. A função não é diferenciável em Eemplo 5 Em alguns casos, quando somamos duas soluções de uma equação diferenciável, obtemos outra solução. Vejam duas situações abaio. As funções y c cos(4 ) e y c sen(4 ) soluções para a equação diferencial, em que c e c são constantes arbitrárias, são y" 6y Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

6 6 Solução: Para y c cos(4 ) Então temos,, as derivadas primeira e segunda são dadas por: y ' 4 c sen(4 ) e y" 6c cos(4 ) y" 6y 6c cos(4 ) 6( c cos(4 )) De modo análogo, podemos escrever, para y c sen(4 ), y" 6y 6 c sen(4 ) 6( c sen(4 )) A soma das duas soluções dadas acima, y" 6y. Eemplo 6 Você deve ser capaz de verificar que y e y e y c e y c e y c e c e y c cos(4 ) c sen(4 ), também é uma solução para São todas soluções da equação diferencial linear se segunda ordem dada por: y" y Observe que y ce é uma solução para qualquer escolha de c, mas y e c, c, não y" y c satisfaz a equação, pois, para essa família de funções, temos Mais Terminologia O estudo de equações diferenciais é semelhante ao cálculo diferencial e integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral definida, utilizamos uma única constante de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(, y, y'), normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(, y, c), contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação diferencial. Na verdade, quando d y resolvemos uma equação de n-ésima ordem F(, y, y',..., y ) em que y significa, n d esperamos uma família a n-parâmetros de soluções G(, y, c, c,... cn). Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o (s) parâmetro(s) na família de soluções. y ce Por eemplo, é fácil ver que é uma família a um parâmetro para a equação de primeira ordem muito simples, y' y. Para c, e 5, obtemos as soluções particulares, y y e e y 5e, respectivamente. Ás vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se os parâmetros em que uma família de soluções. Tal solução é chamada de solução singular. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

7 7 Eemplo 7 É fácil mostra que uma família a um parâmetro de soluções para y c 4 y. Quando c, a solução particular resultante é y ' y é dada por 4 y. Neste caso, a solução 6 trivial é uma solução singular para a equação, pois ela não pode ser obtida da família através de uma escolha do parâmetro c. Se toda solução para F, y, y ', y",..., y no intervalo I pode ser obtida de G, y, c, c,..., c por uma escolha apropriada dos c i, i,,..., n n n-parâmetros é uma solução geral, ou completa, para a equação diferencial., dizemos que a família a EXERCÍCIOS ) Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. a) yy" t b) y by cy " ' c) d y t t y sen( t) dt dt d) 4 d y d y d y y e 4 dt dt dt dt e) d y sen( t y) sen( t) dt f) ( ) y" 4 y ' 5y cos( ) g) h) yy ' y (4) y y y y " 4 ' i) d y d d j) sen( ) y"' cos( ) y' k) l) m) d y y t y e dt dt ty dt d y t cos ( t) y t dt dt ( ) t t ) Determine qual ou quais das funções equação dada por: ( ) y" ( ) y' y y ( ), y ( ) e ( ) y e são soluções da Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

8 8 ) Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferenciável. a) y" y ; y( t) e t, y( t) cos( t) b) y" y' y ; t, ( ) t y t e y t e c) ty ' y t ; y t t d) t t t y"" 4 y"' y t ; y( t), y( t) e 4) Sejam abc,,. Mostre que a) y() t b) y() t rt e, com r raiz de ar b e rt, com r raiz de, é solução da equação ay ' by. ar br c, é solução da equação ay" by ' cy. c) rt y() t e, com r raiz de r ( b ) r c, é solução da equação 5) Determine os valores de r para os quais a função () a) r yt () t y ' ty b) r yt () t e y ' ty c) r yt () t e y ' 6ty d) r yt () t y ' ty c e yt é solução da equação. y by cy " '. 6) Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.( c são constantes) a) b) c) d) e) f) g) h) y ' y ; y e y e ; y e e d y' 5 y ; y 5 tg(5 ) y ' y sen( ); y sen( ) cos( ) e yd ; y y" 6 y' y ; y e cos( ) d y ; y c c d d y"' y'' y' y ; y e 7) Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para Determine um valor de k para que y k 8) Uma família a um parâmetro de soluções para y y y ' ( ') é y c c. seja uma solução singular para a equação diferencial. y ' y determine uma solução singular para a equação diferencial. 9) Mostre que y As funções é uma solução? e cy e y são ambas soluções para é ce y. Faça uma estimativa e ce y y y " 4 ' 6 cy, com c e c constantes arbitrárias, são também soluções? A soma y y Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

9 9 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Para alguns estudantes, o interesse intrínseco do assunto é motivação suficiente, mas, para a maioria as possíveis aplicações importantes em outros campos é o que faz com que tal assunto valha a pena. Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações envolvendo taa com a qual as coisas acontecem. Epressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taas são derivadas. Equações contendo derivadas são equações diferenciais. Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento dos fluidos, o fluo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, ou o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais. Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático do processo, e muitos desses modelos serão discutidos ao longo do curso. Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com: I. Identificando as variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e II. Um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicadas ao sistema. A estrutura matemática de todas as hipóteses, ou modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou sistemas de equações diferenciais. Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema. Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A solução de um modelo representa então o estado do sistema; em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem ou sistema no passado, presente e futuro. Eemplo Queda Livre É bem conhecido que um objeto em queda livre próimo à superfície da terra é acelerado a uma taa constante g. A aceleração é a derivada da velocidade, que, por sua vez, é a derivada da distância s. Suponha que uma pedra seja atirada do alto de um edifício, como ilustrado abaio. Definindo o sentido positivo para cima, então o enunciado matemático ds g dt é a equação diferenciável que governa a trajetória vertical do corpo. O sinal de subtração é usado porque o peso do corpo é uma força direcionada para baio, ou seja, oposta à direção positiva. Se supusermos ainda que a altura do edifício é s e a velocidade inicial da pedra, v, então temos de encontrar uma solução para a equação diferencial dada por: ds g, t t dt que também satisfaça as condições iniciais, s() s e s'() v. Aqui t é o instante em que a pedra deia o telhado do edifício (tempo inicial) e t é o instante em que a pedra atinge o solo. Como a pedra é atirada para cima na direção positiva, v é naturalmente positivo. Observe que essa formulação do problema ignora outras forças, como a resistência do ar atuando sobre o tempo. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

10 Eemplo Lei de Esfriamento de Newton De acordo com a empírica lei do resfriamento de Newton, a taa de esfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Suponha que Tt () denote a temperatura de um corpo no instante t e que a temperatura do meio ambiente seja constante, igual a T. Se dt / dt representa a taa de variação da temperatura do m corpo, então a lei de esfriamento de Newton poderá ser epressa matematicamente da seguinte forma: dt k T T dt em que k é uma constante de proporcionalidade. Como, por hipótese, o corpo está esfriando, devemos ter T T, logo k. m m Eemplo Crescimento Populacional Parece plausível esperar que a taa de crescimento de uma população P seja proporcional à população presente naquele instante. Grosso modo, quanto maior for a população presente, maior ela será no futuro. Logo, o modelo para o crescimento populacional é dado pela equação diferencial dp kp dt em que k é uma constante de proporcionalidade. Como esperamos que a população cresça. Devemos ter dp dt, e assim k. Eemplo 4 Crescimento Populacional Na disseminação de uma doença contagiosa, uma virose, por eemplo, é razoável supor que a taa de disseminação, d dt, seja proporcional não somente ao número de pessoas, t (), contaminadas, mas também ao número de pessoas, yt (), que ainda não foram contaminadas, i.e.: d ky dt () em que k é a constante de proporcionalidade usual. Se uma pessoa infectada for introduzida em uma população de n pessoas, então e y estarão relacionadas por y n () Usando a equação () para eliminar y na equação (), obtemos: d k n dt () A condição inicial óbvia que acompanha a equação () é () Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

11 Respostas dos Eercícios Eercício a) não linear, ª b) linear, ª c) linear, ª d) linear, 4ª e) não linear, ª f) linear, ª g) não linear, ª h) linear, 4ª i) não linear, ª j) linear, ª k) não linear, ª l) não linear, ª m) linear, ª Eercício Apenas ( ) y e é solução da equação diferencial. Eercício Verificação de cada equação. Eercício 4 Verificação de cada equação Eercício 5 a) (,) b) (,-) c) (,-/) d) (,-) Eercício 6 Verificação de cada equação Eercícios 7 k 4 Eercício 8 y Eercício 9 Sim, sim Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

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