INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS"

Transcrição

1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e é calculada por regras apropriadas. Por eemplo, se y e, então: e d ou d O problema o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função y f ( ), encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como y d, encontre, de algum modo, uma função y f ( ) que satisfaça a equação. Em outras palavras, nós queremos resolver equações diferenciais. DEFINIÇÃO. Equação Diferencial y Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED). Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. Classificação pelo Tipo Quanto ao tipo, uma equação diferencial pode ser ordinária ou parcial. Ela é ordinária (EDO) se as funções incógnitas forem funções de somente uma variável. Caso contrário ela será parcial (EDP). Eemplos de equações diferenciais ordinárias (EDO) 5y dt ( y ) d 4 du dv d d d y 6y d d Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

2 Eemplos de equações diferenciais parciais (EDP) Classificação pela Ordem u v y u u y u y u u u t t A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. Por eemplo segunda ordem primeira ordem d y 5 4t e d d é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equação diferencial ( y ) d 4 pode ser escrita na forma 4 y d dividindo-se pela diferencial d, trata-se então de uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação 4 u u a 4 t é uma equação diferencial parcial (EDP) de quarta ordem. Classificação como Linear ou Não-Linear Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma n n d y d y n n n an( ) a ( ) a ( ) a ( ) y g( ) d d d Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:. A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, i.e., a potência de cada termo envolvendo y é.. Cada coeficiente depende apenas da variável independente. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

3 As equações yd y" y ' y d y d y 5y e d d d são equações diferenciais ordinárias (EDO) de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Por outro lado, Coeficiente depende de y yy" y' d y y d Potência diferente de São equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceiras ordens, respectivamente. Observação: Equações diferenciais lineares são aquelas cujos lados direito e esquerdo são funções lineares, (i.e. polinômios de grau ) com respeito à incógnita e suas derivadas, ao passo que as não-lineares não satisfazem essa propriedade. Sistemas lineares são aqueles formados apenas por equações lineares, enquanto que os nãolineares são aqueles que envolvem no mínimo uma equação não-linear. Soluções Nosso objetivo nesse curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais. DEFINIÇÃO. Solução de uma Equação Diferencial Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução da equação no intervalo. Em outras palavras, podemos dizer que uma solução para uma equação diferencial ordinária (EDO) F y y y y,, ', ",..., é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação, i.e., para todo no intervalo I. F f f f f, ( ), '( ), "( ),..., ( ) Eemplo 4 Verifique que y é uma solução para a equação diferencial não-linear 6 y d No intervalo, Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

4 4 Solução: Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação diferencial como para todo no intervalo. Usando e percebemos que Para todo número real. y d e verificar, após a substituição, se a diferença y d é zero 4 d 6 4 y y d Eemplo A função y e No intervalo é uma solução para equação linear y" y' y,. Solução: Para verificar isso, calculamos y ' e e e y" e e Observe que y" y ' y e e e e e Para todo número real. Note que nos eemplos e, a função constante y também satisfaz a equação diferencial dada para todo real. Uma solução para a equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral chamada como solução trivial. Eemplo a) As equações diferenciais de primeira ordem soluções. Você sabe por quê? d y' y 4 não possuem e b) A equação de segunda ordem 4 solução? y" y, possui apenas uma solução real. Qual é essa Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

5 5 Eemplo 4 c Para qualquer valor de c, a função y ordem No intervalo,. é uma solução da equação diferencial de primeira y d Solução: Temos que, Logo, d d c c c d d d c c y d Se variarmos o parâmetro c, podemos gerar uma infinidade de soluções. Em particular, fazendo c, obtemos uma solução constante y. Veja a figura. Figura c No eemplo 4, y é uma solução da equação diferencial em qualquer intervalo que não. contenha a origem. A função não é diferenciável em Eemplo 5 Em alguns casos, quando somamos duas soluções de uma equação diferenciável, obtemos outra solução. Vejam duas situações abaio. As funções y c cos(4 ) e y c sen(4 ) soluções para a equação diferencial, em que c e c são constantes arbitrárias, são y" 6y Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

6 6 Solução: Para y c cos(4 ) Então temos,, as derivadas primeira e segunda são dadas por: y ' 4 c sen(4 ) e y" 6c cos(4 ) y" 6y 6c cos(4 ) 6( c cos(4 )) De modo análogo, podemos escrever, para y c sen(4 ), y" 6y 6 c sen(4 ) 6( c sen(4 )) A soma das duas soluções dadas acima, y" 6y. Eemplo 6 Você deve ser capaz de verificar que y e y e y c e y c e y c e c e y c cos(4 ) c sen(4 ), também é uma solução para São todas soluções da equação diferencial linear se segunda ordem dada por: y" y Observe que y ce é uma solução para qualquer escolha de c, mas y e c, c, não y" y c satisfaz a equação, pois, para essa família de funções, temos Mais Terminologia O estudo de equações diferenciais é semelhante ao cálculo diferencial e integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral definida, utilizamos uma única constante de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(, y, y'), normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(, y, c), contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação diferencial. Na verdade, quando d y resolvemos uma equação de n-ésima ordem F(, y, y',..., y ) em que y significa, n d esperamos uma família a n-parâmetros de soluções G(, y, c, c,... cn). Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o (s) parâmetro(s) na família de soluções. y ce Por eemplo, é fácil ver que é uma família a um parâmetro para a equação de primeira ordem muito simples, y' y. Para c, e 5, obtemos as soluções particulares, y y e e y 5e, respectivamente. Ás vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se os parâmetros em que uma família de soluções. Tal solução é chamada de solução singular. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

7 7 Eemplo 7 É fácil mostra que uma família a um parâmetro de soluções para y c 4 y. Quando c, a solução particular resultante é y ' y é dada por 4 y. Neste caso, a solução 6 trivial é uma solução singular para a equação, pois ela não pode ser obtida da família através de uma escolha do parâmetro c. Se toda solução para F, y, y ', y",..., y no intervalo I pode ser obtida de G, y, c, c,..., c por uma escolha apropriada dos c i, i,,..., n n n-parâmetros é uma solução geral, ou completa, para a equação diferencial., dizemos que a família a EXERCÍCIOS ) Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. a) yy" t b) y by cy " ' c) d y t t y sen( t) dt dt d) 4 d y d y d y y e 4 dt dt dt dt e) d y sen( t y) sen( t) dt f) ( ) y" 4 y ' 5y cos( ) g) h) yy ' y (4) y y y y " 4 ' i) d y d d j) sen( ) y"' cos( ) y' k) l) m) d y y t y e dt dt ty dt d y t cos ( t) y t dt dt ( ) t t ) Determine qual ou quais das funções equação dada por: ( ) y" ( ) y' y y ( ), y ( ) e ( ) y e são soluções da Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

8 8 ) Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferenciável. a) y" y ; y( t) e t, y( t) cos( t) b) y" y' y ; t, ( ) t y t e y t e c) ty ' y t ; y t t d) t t t y"" 4 y"' y t ; y( t), y( t) e 4) Sejam abc,,. Mostre que a) y() t b) y() t rt e, com r raiz de ar b e rt, com r raiz de, é solução da equação ay ' by. ar br c, é solução da equação ay" by ' cy. c) rt y() t e, com r raiz de r ( b ) r c, é solução da equação 5) Determine os valores de r para os quais a função () a) r yt () t y ' ty b) r yt () t e y ' ty c) r yt () t e y ' 6ty d) r yt () t y ' ty c e yt é solução da equação. y by cy " '. 6) Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.( c são constantes) a) b) c) d) e) f) g) h) y ' y ; y e y e ; y e e d y' 5 y ; y 5 tg(5 ) y ' y sen( ); y sen( ) cos( ) e yd ; y y" 6 y' y ; y e cos( ) d y ; y c c d d y"' y'' y' y ; y e 7) Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para Determine um valor de k para que y k 8) Uma família a um parâmetro de soluções para y y y ' ( ') é y c c. seja uma solução singular para a equação diferencial. y ' y determine uma solução singular para a equação diferencial. 9) Mostre que y As funções é uma solução? e cy e y são ambas soluções para é ce y. Faça uma estimativa e ce y y y " 4 ' 6 cy, com c e c constantes arbitrárias, são também soluções? A soma y y Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

9 9 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Para alguns estudantes, o interesse intrínseco do assunto é motivação suficiente, mas, para a maioria as possíveis aplicações importantes em outros campos é o que faz com que tal assunto valha a pena. Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações envolvendo taa com a qual as coisas acontecem. Epressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taas são derivadas. Equações contendo derivadas são equações diferenciais. Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento dos fluidos, o fluo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, ou o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais. Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático do processo, e muitos desses modelos serão discutidos ao longo do curso. Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com: I. Identificando as variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e II. Um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicadas ao sistema. A estrutura matemática de todas as hipóteses, ou modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou sistemas de equações diferenciais. Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema. Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A solução de um modelo representa então o estado do sistema; em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem ou sistema no passado, presente e futuro. Eemplo Queda Livre É bem conhecido que um objeto em queda livre próimo à superfície da terra é acelerado a uma taa constante g. A aceleração é a derivada da velocidade, que, por sua vez, é a derivada da distância s. Suponha que uma pedra seja atirada do alto de um edifício, como ilustrado abaio. Definindo o sentido positivo para cima, então o enunciado matemático ds g dt é a equação diferenciável que governa a trajetória vertical do corpo. O sinal de subtração é usado porque o peso do corpo é uma força direcionada para baio, ou seja, oposta à direção positiva. Se supusermos ainda que a altura do edifício é s e a velocidade inicial da pedra, v, então temos de encontrar uma solução para a equação diferencial dada por: ds g, t t dt que também satisfaça as condições iniciais, s() s e s'() v. Aqui t é o instante em que a pedra deia o telhado do edifício (tempo inicial) e t é o instante em que a pedra atinge o solo. Como a pedra é atirada para cima na direção positiva, v é naturalmente positivo. Observe que essa formulação do problema ignora outras forças, como a resistência do ar atuando sobre o tempo. Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

10 Eemplo Lei de Esfriamento de Newton De acordo com a empírica lei do resfriamento de Newton, a taa de esfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Suponha que Tt () denote a temperatura de um corpo no instante t e que a temperatura do meio ambiente seja constante, igual a T. Se dt / dt representa a taa de variação da temperatura do m corpo, então a lei de esfriamento de Newton poderá ser epressa matematicamente da seguinte forma: dt k T T dt em que k é uma constante de proporcionalidade. Como, por hipótese, o corpo está esfriando, devemos ter T T, logo k. m m Eemplo Crescimento Populacional Parece plausível esperar que a taa de crescimento de uma população P seja proporcional à população presente naquele instante. Grosso modo, quanto maior for a população presente, maior ela será no futuro. Logo, o modelo para o crescimento populacional é dado pela equação diferencial dp kp dt em que k é uma constante de proporcionalidade. Como esperamos que a população cresça. Devemos ter dp dt, e assim k. Eemplo 4 Crescimento Populacional Na disseminação de uma doença contagiosa, uma virose, por eemplo, é razoável supor que a taa de disseminação, d dt, seja proporcional não somente ao número de pessoas, t (), contaminadas, mas também ao número de pessoas, yt (), que ainda não foram contaminadas, i.e.: d ky dt () em que k é a constante de proporcionalidade usual. Se uma pessoa infectada for introduzida em uma população de n pessoas, então e y estarão relacionadas por y n () Usando a equação () para eliminar y na equação (), obtemos: d k n dt () A condição inicial óbvia que acompanha a equação () é () Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

11 Respostas dos Eercícios Eercício a) não linear, ª b) linear, ª c) linear, ª d) linear, 4ª e) não linear, ª f) linear, ª g) não linear, ª h) linear, 4ª i) não linear, ª j) linear, ª k) não linear, ª l) não linear, ª m) linear, ª Eercício Apenas ( ) y e é solução da equação diferencial. Eercício Verificação de cada equação. Eercício 4 Verificação de cada equação Eercício 5 a) (,) b) (,-) c) (,-/) d) (,-) Eercício 6 Verificação de cada equação Eercícios 7 k 4 Eercício 8 y Eercício 9 Sim, sim Cap. - Introdução ao Estudo de Equações Diferenciais

Equações diferencias são equações que contém derivadas.

Equações diferencias são equações que contém derivadas. Equações diferencias são equações que contém derivadas. Os seguintes problemas são exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de variação de alguma quantidade: Escoamento de fluidos Deslocamento

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II

PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, sendo que são de grande

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios.

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios. Conteúdo programático: Elementos armazenadores de energia: capacitores e indutores. Revisão de características técnicas e relações V x I. Caracterização de regime permanente. Caracterização temporal de

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o

Leia mais

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 O Método de Separação de Variáveis A ideia central desse método é supor que a solução

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral C. Me. Aline Brum Seibel

Cálculo Diferencial e Integral C. Me. Aline Brum Seibel Cálculo Diferencial e Integral C Me. Aline Brum Seibel Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

1 Descrição do Trabalho

1 Descrição do Trabalho Departamento de Informática - UFES 1 o Trabalho Computacional de Algoritmos Numéricos - 13/2 Métodos de Runge-Kutta e Diferenças Finitas Prof. Andréa Maria Pedrosa Valli Data de entrega: Dia 23 de janeiro

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

11. Problemas de Otimização

11. Problemas de Otimização 11. Problemas de Otimização Nesta seção veremos vários eemplos de problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de

Leia mais

Forças internas. Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro.

Forças internas. Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. Forças internas Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. Generalizar esse procedimento formulando equações que podem ser representadas de

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Introdução às equações de primeiro grau Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 1

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 1 597 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Movimentos Periódicos Para estudar movimentos oscilatórios periódicos é conveniente ter algum modelo físico em mente. Por exemplo, um

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

Análise Dimensional Notas de Aula

Análise Dimensional Notas de Aula Primeira Edição Análise Dimensional Notas de Aula Prof. Ubirajara Neves Fórmulas dimensionais 1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga POTENCIAL ELÉTRICO A lei de Newton da Gravitação e a lei de Coulomb da eletrostática são matematicamente idênticas, então os aspectos gerais discutidos para a força gravitacional podem ser aplicadas para

Leia mais

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM Decaimento radioativo Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

CI202 - Métodos Numéricos

CI202 - Métodos Numéricos CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores...1 4.1 - Capacitores...1 4.2 - Capacitor

Leia mais

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula O gráfico de uma função A UUL AL A Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em elevação e

Leia mais

Provas Comentadas OBF/2011

Provas Comentadas OBF/2011 PROFESSORES: Daniel Paixão, Deric Simão, Edney Melo, Ivan Peixoto, Leonardo Bruno, Rodrigo Lins e Rômulo Mendes COORDENADOR DE ÁREA: Prof. Edney Melo 1. Um foguete de 1000 kg é lançado da superfície da

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau

O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau U L 9 Meta da aula plicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre o degrau de potencial, definido na ula 8. Vamos

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

Cap. 4 - Princípios da Dinâmica

Cap. 4 - Princípios da Dinâmica Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 4 - Princípios da Dinâmica e suas Aplicações Prof. Elvis Soares 1 Leis de Newton Primeira Lei de Newton: Um corpo permanece

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

grandeza do número de elétrons de condução que atravessam uma seção transversal do fio em segundos na forma, qual o valor de?

grandeza do número de elétrons de condução que atravessam uma seção transversal do fio em segundos na forma, qual o valor de? Física 01. Um fio metálico e cilíndrico é percorrido por uma corrente elétrica constante de. Considere o módulo da carga do elétron igual a. Expressando a ordem de grandeza do número de elétrons de condução

Leia mais

Correlação e Regressão Linear

Correlação e Regressão Linear Correlação e Regressão Linear A medida de correlação é o tipo de medida que se usa quando se quer saber se duas variáveis possuem algum tipo de relação, de maneira que quando uma varia a outra varia também.

Leia mais

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t )

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12

3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12 3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12 NOTA:. Nota: Toda resolução deve ser feita no seu devido

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar Cinemática escalar A cinemática escalar considera apenas o aspecto escalar das grandezas físicas envolvidas. Ex. A grandeza física velocidade não pode ser definida apenas por seu valor numérico e por sua

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA PAULO, João Pedro Antunes de Universidade Estadual de Goiás UnU de Iporá jpadepaula@hotmail.com RESUMO Esta pesquisa foi feita

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática Equações Diferenciais RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES FORMA

Leia mais

Conservação de Massa. A quantidade de fluido entrando no cubo pela face y z intervalo t

Conservação de Massa. A quantidade de fluido entrando no cubo pela face y z intervalo t Conservação de Massa Em um fluido real, massa deve ser conservada não podendo ser destruída nem criada. Se a massa se conserva, o que entrou e não saiu ficou acumulado. Matematicamente nós formulamos este

Leia mais

Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe

Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe Disciplina: Física Geral e Experimental III Curso: Engenharia de Produção Assunto: Gravitação Prof. Dr. Marcos A. P. Chagas 1. Introdução Na gravitação

Leia mais

Leis de Conservação. Exemplo: Cubo de gelo de lado 2cm, volume V g. =8cm3, densidade ρ g. = 0,917 g/cm3. Massa do. ρ g = m g. m=ρ.

Leis de Conservação. Exemplo: Cubo de gelo de lado 2cm, volume V g. =8cm3, densidade ρ g. = 0,917 g/cm3. Massa do. ρ g = m g. m=ρ. Leis de Conservação Em um sistema isolado, se uma grandeza ou propriedade se mantém constante em um intervalo de tempo no qual ocorre um dado processo físico, diz-se que há conservação d a propriedade

Leia mais

Aula 13 Técnicas de Integração

Aula 13 Técnicas de Integração Aula 13 Técnicas de Integração Objetivos da Aula Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar

Leia mais

Equações Diferenciais

Equações Diferenciais Equações Diferenciais EQUAÇÕES DIFERENCIAS Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos

Leia mais

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é: Integral Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas

Leia mais

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício:

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4 Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear

Leia mais

Conceitos e fórmulas

Conceitos e fórmulas 1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

UNIDADE III Energia: Conservação e transformação. Aula 10.2 Conteúdo:

UNIDADE III Energia: Conservação e transformação. Aula 10.2 Conteúdo: UNIDADE III Energia: Conservação e transformação. Aula 10.2 Conteúdo: Estudo das forças: aplicação da leis de Newton. Habilidades: Utilizar as leis de Newton para resolver situações problemas. REVISÃO

Leia mais

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 LISTA DE EERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade ) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 5 de um dado ser transmitido erroneamente.

Leia mais

CAPACITORES. Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br

CAPACITORES. Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br CAPACITORES DEFINIÇÕES Quando as placas do capacitor estão carregadas com cargas iguais e de sinais diferentes, estabelece-se entre as placas uma diferença de potencial V que é proporcional à carga. Q

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

a) O tempo total que o paraquedista permaneceu no ar, desde o salto até atingir o solo.

a) O tempo total que o paraquedista permaneceu no ar, desde o salto até atingir o solo. (MECÂNICA, ÓPTICA, ONDULATÓRIA E MECÂNICA DOS FLUIDOS) 01) Um paraquedista salta de um avião e cai livremente por uma distância vertical de 80 m, antes de abrir o paraquedas. Quando este se abre, ele passa

Leia mais

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980 Questão 1. Uma venda imobiliária envolve o pagamento de 12 prestações mensais iguais a R$ 10.000,00, a primeira no ato da venda, acrescidas de uma parcela final de R$ 100.000,00, 12 meses após a venda.

Leia mais

A equação do 2º grau

A equação do 2º grau A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14 EQUAÇÃO DO 1º GRAU EQUAÇÃO: Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais