FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES"

Transcrição

1 FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função Constante... Função Definida por várias sentenças... Critério dos Mínimos Quadrados... 5 Função do º Grau ou Função Quadrática... 7 Função Cúbica... 9 Função Racional... Função Irracional... Função Modular... Função Inversa... Função Eponencial... Função Eponencial e... Função Logarítmica... Função Composta... 7 Funções Trigonométricas... 7 Função Seno... 8 Função Cosseno... 8 Função Tangente... 9 Função Arco-Seno... 9 Função Arco-Cosseno... Função Arco-Tangente... Bibliografia... Prof.Ms.Carlos Henrique

2 FUNÇÃO - Definição: Uma função f definida em um conjunto de números reais A, é uma regra ou lei (equação ou algoritmo) de correspondência, que atribui um único número real a cada número do conjunto A. O conjunto A dos valores permitidos para chama-se Domínio da função e o conjunto dos valores correspondentes de chama-se Imagem da função. Representação: ou f (), pois f ( ) Eemplo: + ou f ( ) + sendo variável independente variável dependente Noção Prática de Função: é quando o valor de uma quantidade depende do valor de outra. Eemplos: Salário (variável dependente ) é função do nº de horas trabalhadas (variável independente ); Produção de uma fábrica () depende do número de máquinas utilizadas (); Resistência de um fio elétrico () depende do diâmetro do fio com comprimento fio (); Volume de um gás a pressão constante () depende da temperatura (); etc. Salário 5 Horas Variável Dependente: Salário Variável Independente: Nº de horas trabalhadas ou 5. ou f ( ) 5. Eemplos Práticos: ) Seja f uma função definida pela equação, verifica-se que, sendo f () se, então, e se <, não eiste solução, isto é, não será um número real., tem-se: Portanto, o domínio (valor que pode assumir) de f é [,+ [ e a imagem (resultado da função após substituição dos valores que pode assumir) de f é [,+ [. Prof.Ms.Carlos Henrique

3 Resolução: f ( ) f ( ) f () f () f ( 5) 5 f (5) f (5) f ( 6) 6 f (6) f (6) f ( 7) 7 f (7) f (7) f ( 8) 8 f (8) f (8) f ( 9) 9 f (9) 5 f (9) f ( ) f () 6 f () 5 6 Considerando a função como um conjunto de pares ordenados, temos: Domínio [,+ [ Imagem [,+ [ (, ) (,) (5,) (6, ) (7, ) (8,) (9, 5 ) (, 6 )... (Domínio, Imagem) ) Função f: [, ] R, definida pela lei f(). (função do º grau gráfico reta ) I m a g e m - - I I I I I I I I I I I I I I I I I I D o m í n i o Nesta função: Domínio: D(f) { Є R / } ou [,] Imagem: Im(f) { Є R / 8} ou [,8]. ) Função f: R R, definida pela lei f() ² (função do º grau gráfico parábola ). ² I m a g e m I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I D o m í n i o Nesta função: Domínio: D(f) R ou ]-,+ [ Imagem: Im(f) { Є R / } ou R + ou [,+ [ Prof.Ms.Carlos Henrique

4 Atividades Práticas ) Dada a função f definida por f() ² Calcule: f(); f(+h) e f() +f(h). f ( + h) f ( ) ) Calcule onde h, se f().² h ) Dada à função f definida por f() ³ +. Calcule: f(); f(+h) e f() +f(h). f ( + h) f ( ) ) Calcule onde h, se f() 7.². +. h 5) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fia, no valor de R$ 6,, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Epressar a função que representa seu salário mensal; b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$., em produtos. 6) O preço a pagar por uma corrida de tái depende da distância percorrida. A tarifa é composta de duas partes: uma fia denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 5, e o quilômetro rodado, R$,5. a) Epressar a função que representa a tarifa b) Quanto se pagará por uma corrida em que o tái rodou km? 7) Determine o conjunto imagem da função f : {,, } R definida por f() ² +. 8) Dadas as funções definidas por f ( ). + e g ( ), calcule f ( 6) + g ( ). 9) São dadas as funções f ( ). + e g ( ). + a. Sabendo que f ( ) g (), 5 calcule o valor de a. ) Determine os pares ordenados da função f : A B, definida por f(). +. A... B Prof.Ms.Carlos Henrique

5 Gráficos (RESUMO): Domínio e Imagem ) ) ² Função Par ³ Função Ímpar D(f) < < + ou R Im(f) < + ou [,+ [ D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou R ) ) Função Racional Função Racional D(f) ou R* Im(f) ou R* D(f) ou R* Im(f) < < + ou R + * 5) 6) Função Irracional Função Irracional D(f) < + ou [,+ [ Im(f) < + ou [,+ [ D(f) - < < + ou R Im(f) - < < + ou R 5 Prof.Ms.Carlos Henrique

6 Atividades Práticas A) Determine o domínio de cada função definida por: ) f() 5 ) f() 5, com ) 5) 7) f ( ) ) f ( ) 5 f ( ) 6 6) f ( ) 5 f ( ) + B) Determine o domínio de cada função definida por: ) ) 5) 7) + f ( ) ) f ( ) 5 f ( ) ) f ( ) f ( ) 6) f ( ) ( + f ) + 8) f ( ) 9 9) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) + ) f ( ) + + RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES: Tipos de Funções Eemplos Par f(-) f() (-) Impar f(-) - f() (-) - Polinomiais f()a +a +a +..+a n n +5-7 e outros. Racionais P( ) f ( ) Q( ) Algébricas Trigonométricas Trigonométricas Inversas Logarítmicas + + Todas as anteriores. sen, cos, etc. arccoscos - ln, ou log a Eponenciais e f() ou a f() Hiperbólicas f ( ) tgh e e + e e 6 Prof.Ms.Carlos Henrique

7 Tipos de Funções As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as algébricas, eponenciais e as trigonométricas. Função Polinomial n n n n. + an. + an a. +, para a, a,..., an f ( ) a a (a n ) e n um número inteiro não negativo (Z + ). são números reais Eemplo: f() +, a, a, a PARIDADE DE UMA FUNÇÃO ) EXPOENTE PAR: Eemplo: f() ² D(f) R Im(f) R + ) EXPOENTE ÍMPAR: - - Esta função é simétrica em relação ao eio (função par). f() n, n sendo par e n f ( ) f ( ) Eemplo: f() ² f ( ) ( ) f ( ) Eemplo: f() ³ Esta função é simétrica em relação à origem (função ímpar). f() n, n sendo ímpar e n f ( ) f ( ) Eemplo: f() ³ f ( ) ( ) f ( ) D(f) R Im(f) R 7 Prof.Ms.Carlos Henrique

8 FUNÇÃO LINEAR: A. ou f() A. É a função f dada por A., com Є R e A um número real qualquer não nulo (zero). A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem (,) do sistema de eios (plano cartesiano,), ou seja, a reta dessa função sempre irá passar pela origem do plano cartesiano (,). Sendo assim, necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta. No eemplo a seguir, além do número (zero), estamos atribuindo aleatoriamente o valor (quatro) para e substituindo-os na função.. Lembrando que poderíamos atribuir qualquer valor para para obtermos o gráfico, assim: Eemplo :... (,) (,) (,) D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou R Eemplo :., se 5. (,) (,) 5 (5,)., se 5 5 D(f) 5 Im(f) 8 Prof.Ms.Carlos Henrique

9 ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f(). ) f ( ) ) f ( ) ) f(),5. 5) f() 6,. 6) f(). FUNÇÃO LINEAR AFIM: A. + B ou f() A. + B É a função f dada por A. + B, com Є R e A e B números reais não nulos (zero). A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (, B), ou seja, o valor do número real B, sempre será um ponto, que deverá ser marcado em cima da reta do. Sendo assim, necessitamos de mais um ponto para a construção da reta. Eemplo : (,) (,) 5 (,5) A > Função Crescente D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou R 9 Prof.Ms.Carlos Henrique

10 Eemplo :. +, se. + (,) (,) (,). + se D(f) Im(f) A < Função Decrescente ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f(). + ) f(). + 7 ) f ( ). + ) f(). 5) f(). 6) f(),6. 7) f(). 8) f(). + 9) f(). ) f(). ) f ( ) ) f() + ) f() 6. 5 ) f(). + Prof.Ms.Carlos Henrique

11 COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR variável dependente variável independente A. + B B identifica o ponto de intersecção da reta com o eio, é chamado coeficiente linear. A é a variação em para cada aumento unitário em, é chamado coeficiente angular da reta. Eemplo: (,) 5 (,5) 8 (,8) A Coeficiente Linear Ponto de intersecção com o eio um aumento unitário em acarreta um aumento de unidades em. Coeficiente Angular B -- Prof.Ms.Carlos Henrique

12 Atividades Práticas ) Calcular a equação de uma reta A. + B, que contém os pontos P (,5) e P (,). ) Calcular a equação da reta que contém o ponto P(,8) e tem inclinação A. ) Escrever a equação da reta que contém os pontos: a) P (, ) P ( 8, ) b) P (, ) P (, ) c) P (, 5 ) P ( 8, ) ) Escrever a equação da reta que contém o ponto P e tem declividade A: a) P (, ) A b) P ( 8, 8 ) A c) P (, ) A 5 Prof.Ms.Carlos Henrique

13 FUNÇÃO CONSTANTE: k ou f() k Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que f() k, recebe o nome de função constante, portanto, o valor de não varia com o aumento de. A representação gráfica de uma função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eio (abscissas), passando pelo ponto (, ). Eemplo : ou f() - - D(f) < < + ou R Im(f) Eemplo : 5 5, se 5, se 5 5 Nota: É importante observarmos que temos (funções) constantes e cada uma delas é delimitada em cima do eio de acordo com seu Domínio, ou seja, a primeira função, está em cima do eio sobre o intervalo de (zero) até (dois) e a segunda função 5, está em cima do eio sobre o intervalo de (dois) até 5 (cinco). Esses intervalos que delimitam as funções, estabelecendo fronteiras, são chamados de Domínio da função. Prof.Ms.Carlos Henrique

14 ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f() + ) f() ) f() 7 ) f() ½ 5) f() 6) 7) f() 8), se 5, se 5, se, se < 6, se > FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS: ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ), se f ( ) ) + 7, se > f ( ), se, se > ) +, se f ( ) ) +, se > f ( ),,, se se se > < 5) +, se ( ), se > f 6) f +, se < ( ) ( ), se 7), se f ( ) +, se < 8), se > f ( ) + +, se +, se > Prof.Ms.Carlos Henrique

15 CRITÉRIO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: EQUAÇÃO DA RETA QUE APROXIMA UM CONJUNTO DE PONTOS NO PLANO. EXEMPLO: Construir a equação A + B de uma reta que aproima um conjunto de pontos: P (, 5), P (, ), P (, ) e P (5, 7). A+B? Fórmula dos Mínimos Quadrados: A. + B A e B. A. n.. n. onde: Σ Soma dos produtos (multiplicações). n Número de pontos observados Σ² Soma dos quadrados dos valores de e Médias Aritméticas n n Organizando os cálculos em uma tabela: n (, ). ² (, 5) 5 5 (, ) (, ) 8 6 (5, 7) Soma Σ Prof.Ms.Carlos Henrique

16 Encontrando as médias aritméticas de e : n n n Substituindo na fórmula dos mínimos quadrados: A e. n.. n a,6 B A.,6. 7,8 B, A. + B,6. +, equação procurada Obs: A equação,6. +, representa a RETA que se aproima do conjunto de pontos dados aleatoriamente. ATIVIDADES PRÁTICAS Escrever a equação da reta que aproima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados. a. P (, ), P (, 5), P (, 8) e P (, 9) Resposta:,. +, b. P (-, ), P (, ), P (, ), P (, 6) e P 5 (, 5) Resposta:,. +,8 c. P (, ), P (, ), P (, 7), P ( 6, ) e P 5 (8 ;,5) Resposta: -,. + 8, d. P (, ), P (5, ), P (, 7) e P (5, 9) Resposta: 5,. + 5,5 Prof.Ms.Carlos Henrique 6

17 FUNÇÕES DO º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA: A. + B. + C ou f() A. + B. + C É a função f definida por A. + B. + C, com Є R e onde A, B e C são números reais quaisquer, com A. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade voltada para baio, caso A seja negativo. Eemplos: ou. + 8 CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA: A parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu cruzamento com os eios e, e seu vértice. O vértice da parábola posiciona seu eio de simetria vertical. Os pontos principais são: a. Cruzamento com o eio O. São as raízes (soluções e ) da equação do º Grau A. + B. + C b. Cruzamento com o eio O. É o ponto correspondente a, onde C. c. Vértice, corresponde ao ponto X v B ; Y v.a.a ESQUEMA GRÁFICO COM OS PONTOS PRINCIPAIS: Eio de Simetria Ponto C X X Vértice 7 Prof.Ms.Carlos Henrique

18 Eemplo: Construir a representação gráfica da função quadrática Resolução: a. Cruzamento com eio é o resultado da equação do º grau Então: A, B 5 e C 6 B.A.C (- 5)..6 5 B ±. A ( 5 ) ±. 5 ± A parábola cruza o eio nos pontos (, ) e (, ). b. Cruzamento com o eio é o ponto (, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto (, 6 ) c. Vértice da parábola Xv - B - ( - 5) 5,5.A. Yv ,5.A. O vértice da parábola tem coordenadas PV (,5 ; -,5 ). Eio de Simetria Ponto C 6,5,5 X X Ponto Vértice D(f) < < + ou R Im(f),5 < + ou [-,5 ; + [ 8 Prof.Ms.Carlos Henrique

19 ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f(). + ) f() +. 6 ) f() + ) f() ) f() FUNÇÃO CÚBICA: A.³ + B.² + C. + D ou f() A.³ + B.² + C. + D Sejam A, B, C e D números reais, sendo A não nulo. A função cúbica é uma função f:r R que para cada em R, associa A.³ + B.² + C. + D ou f() A.³ + B.² + C. + D. Eemplo: ³ ³ (,) ³ (-,-8) - - (-,-) (, ) + + (+,+) (+,+8) D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou R ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f().³ ) f().³ + + ) f() 7³ +² Prof.Ms.Carlos Henrique 9

20 FUNÇÃO RACIONAL: Definição: f: R* R* f ( ), com Eemplo: (,) - - ½ (-,-½) - - (-,-) - ½ - (-½,-) ½ + (½,+) + + (+,+) + + ½ (+,+½) ½ - - -½ +½ + + -½ - - D(f) R* Im(f) R* ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): + ) f() ) f() ) f() ( ).( ) ) f() + + FUNÇÃO IRRACIONAL: Quando é etraído a raiz de um polinômio, passa-se das funções racionais para a classe das funções algébricas. 5 Eemplos: a) f ( ) b) f ( ) + c) f ( ) + Prof.Ms.Carlos Henrique

21 FUNÇÃO MODULAR: Definição: f: R R f ( ) Eemplo: (,) - + (-,+) - + (-,+) (, ) + + (+,+) + + (+,+) D(f) < < + ou R Im(f) < + ou [,+ [ ou R + ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) f() ) f() + ) f() ) f() 5) f() 6) f() + 7) f() + + 8) f() FUNÇÃO INVERSA: A Função inversa de f, que é indicada por f -, define uma correspondência contrária, isto é, de para, e indicamos: f - () As funções onde isso ocorre são denominadas funções bijetoras e são chamadas de funções inversíveis. ATIVIDADES PRÁTICAS Determine a função inversa das seguintes funções: ) f() 5. ) f() ³ + ) f() ) f() + 5) f() ² 6) f() 7 Prof.Ms.Carlos Henrique

22 FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R dada por f() a (com a e a > ) é denominada função eponencial de base a e definida para todo real. EXEMPLO : f() NA TABELA: 9 -, -, 9 D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou ],+ [ ou R* EXEMPLO : f() NA TABELA: - 9 -,, / 9 D(f) < < + ou R Im(f) < < + ou ],+ [ ou R* Pelos eemplos dados, podemos observar que: f() a é crescente quando a > f() a é decrescente quando < a < Prof.Ms.Carlos Henrique

23 ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): Em todos os casos o intervalo do Domínio é [ -, + ]. ) ) + ) f() ) + FUNÇÃO EXPONENCIAL e A função eponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos é a função eponencial natural cuja base é o famoso número e, que vale,78888 para nove casas decimais. Podemos definir e como o número para o qual tende a função f ( ) + quando cresce indefinidamente. Eemplo: + -,5 5,96 -, ,7 -,769 -,776,778 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS: Conceito de Logaritmo Princípios básicos dos logaritmos transformar uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração. Após anos de trabalho, o escocês John Napier (55-67), formalizou a teoria dos logaritmos com a publicação das obras Descrição das Normas dos Logaritmos Maravilhosos, em 6, e Cálculo das Normas dos Logaritmos Maravilhosos, em 69, cuja finalidade é simplificar cálculos numéricos. Para compreender o que é um logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de. Por eemplo, 8. Ao epoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que é o logaritmo de 8 na base. Em símbolos: 8 log 8 Prof.Ms.Carlos Henrique

24 Definição O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de, é o número ao qual se deve elevar a para se obter b. log b a a b Condição de Eistência: com b >, a > e a forma forma logarítmica eponencial Na forma logarítmica Na forma eponencial a base do logaritmo a base da potência log a b b logaritmando a b b potência logaritmo epoente Observação: b Aos logaritmos que se indicam log a chamamos de sistema de logaritmos de base a. Eiste uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base. Indica-se: log ou log. Quando o sistema é de base, é comum omitir-se a base na sua representação. Resolução de equações logarítmicas: a) log 6 é o epoente tal que 6 Então, temos: (transformando a equação dada em igualdade de mesma base) (com as bases iguais, igualam-se os epoentes) log 6 A Base Os logaritmos que tem base são chamados logaritmos decimais, ou de Briggs (56-6), e são os mais utilizados. Sua base não é escrita, e indicamos, simplesmente, log b. De acordo com a criação de Napier e Briggs, podemos escrever qualquer número na forma de potências de ou descobrir o valor de qualquer potência de. Prof.Ms.Carlos Henrique

25 Podemos escrever o número na forma de potência de base,,, ou determinar o valor de,769, que é aproimadamente 5. Esses epoentes fazem parte de uma tabela que foi elaborada por Napier e Briggs. Eles demoraram cerca de anos para construí-la. Essa tabela, conhecida como tábua de logaritmos, foi usada até há pouco tempo. Atualmente, usamos a calculadora para determinar logaritmos. Mudança de base: Suponha que apareçam bases diferentes e que precisemos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa operação é chamada mudança de base. Veja como funciona. Dado log a b, vamos indicá-lo em outra base c, temos então: b log a log log c c b a A epressão acima mostra como se efetua a mudança de um logaritmo de base a para um logaritmo de base c (arbitrária). Eemplo: Dados: log, e log,, calcule log Resolução: Como log e log estão na base, vamos passar log para a base. Casos especiais: log log,, log,. Se a base do logaritmo é igual a, dizemos que é o logaritmo decimal de e denotamos: log ().. Se a base do logaritmo é igual a e (aproimadamente,788), dizemos que é o logaritmo natural de e denotamos ln (). Tendo em vista o desenvolvimento das calculadoras eletrônicas, passaremos a utilizar sempre a base e. Prof.Ms.Carlos Henrique 5

26 Gráfico da função logarítmica: Devemos lembrar que, para eistir o logaritmo, é preciso que >. ) Construa o gráfico da função logarítmica log Atribuindo valores para, obtemos a tabela e o gráfico a seguir: log /8 / / Crescente, base: > D(f) < < + ou ],+ [ ou R* + Im(f) < < + ou R ) Construa o gráfico da função logarítmica log ½ Atribuindo valores para, obtemos a tabela e o gráfico a seguir: 8 / / / log ½ Decrescente, base: < ½ < D(f) < < + ou ],+ [ ou R* + Im(f) < < + ou R ATIVIDADES PRÁTICAS Construa o gráfico de cada uma das funções e determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f): ) log ) log ( ) ) log ) log / Prof.Ms.Carlos Henrique 6

27 FUNÇÃO COMPOSTA: Dadas as funções f: A B e g: B C, a composta f com g, denotada por gof, é função definida por gof() g(f()). Eemplos: f: A B definida por f() g: B C definida por g() ² Resolução: g(f()) ² g() ()² g(f()) ² Então, podemos afirmar que vai eistir uma função h de A em C definida por h()², que indicamos por gof ou g(f()) (lê-se: g composta com f). ATIVIDADES PRÁTICAS ) Dados f() ² e g() +, Calcule f(g()) e g(f()). ) Se f() 5 e h(), calcule f(f()) e h(h()). FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Funções que estão associadas a ângulos e retas. Elas são importantes no equacionamento de situações práticas que tenham caráter periódico. Valores de funções trigonométricas para alguns ângulos: Graus -8º -5º -9º -5º º º 5º 6º 9º 5º 8º θ (radianos) sen θ cos θ 6 tg θ 7 Prof.Ms.Carlos Henrique

28 FUNÇÃO SENO: A função seno é definida como sen: R R sen() sen - D (sen) ] -, + [ Im (sen) [, + ] Período. FUNÇÃO COSSENO: A função cosseno é definida como cos: R R cos() cos - D (sen) ] -, + [ Im (sen) [, + ] Período. 8 Prof.Ms.Carlos Henrique

29 FUNÇÃO TANGENTE: A função tangente é definida como sendo o quociente da função seno pela função cosseno. tg: A R sen ( ) tg() cos( ) tg - D (tg): ±, ±,... Im (sen) - < < + Período ALGUMAS FUNÇÕES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS: FUNÇÃO ARCO-SENO A função f: R [ ; ] definida por f() sen não é bijetora. Entretanto, restringindo o domínio ao intervalo arco-seno. ;, obtemos uma função bijetora cuja inversa denominamos função Temos, para Є ; e Є [ ; ]: sen arcsen Trocando por, e por, temos arcsen. Portanto, a função inversa de f: ; [ ; ], f() sen, é f - : [ ; ] ;, f - () arcsen 9 Prof.Ms.Carlos Henrique

30 - sen, Є [ -/ ; +/ ] arcsen FUNÇÃO ARCO-COSSENO A função f: [ ; ] [ ; ] definida por f() cos, restrição do cosseno ao intervalo [ ; ], é bijetora, e sua inversa é denominada função arco-cosseno. Temos, para Є [ ; ] e Є [ ; ]: cos arccos Trocando por, e por, temos arccos. Portanto, a função inversa de f é f - : [ ; ] [ ; ], f - () arccos - cos, Є [ ; ] arccos Prof.Ms.Carlos Henrique

31 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE A função f: ; R definida por f() tg, restrição da tangente ao intervalo é bijetora e sua inversa é denominada função arco-tangente. Temos, para Є ; e Є R: Trocando por, e por, temos arctg. tg arctg Portanto, a função inversa de f é f - : R ;, f - () arctg ;, - tg, Є ] -/ ; +/ [ arctg BIBLIOGRAFIA: DOWLING, E. T. Matemática Aplicada a Economia e Administração. São Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, 98. GIOVANNI, J. R. Matemática Fundamental: º Grau: Volume Único. São Paulo: FTD, 99. GOLDSTEIN, L. J. Matemática Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman,. LEITHOLD, L. Matemática Aplicada a Economia e Administração. São Paulo: Harbra,. MACHADO, A.S. Matemática Temas e Metas: 6 Funções e Derivadas. São Paulo: Atual, 988. SILVA, S. M. Matemática: Para os Cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 999. SILVA, S.M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas,. Prof.Ms.Carlos Henrique

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02 UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL Conhecendo a teoria III Curso: Pós-graduação / MBA Campus Virtual Cruzeiro do Sul - 009 Professor Responsável: Carlos Henrique de Jesus Costa Professores Conteudistas: Carlos

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia

Leia mais

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/ . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f() = a b com a, b e a 0.

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/ SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA ISSN 794 UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE º E º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA Valeria Ap. Martins Ferreira, Viviane Carla Fortulan Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de

Leia mais

F U N Ç Ã O. Obs.: Noção prática de uma função é quando o valor de uma quantidade depende do valor de outra.

F U N Ç Ã O. Obs.: Noção prática de uma função é quando o valor de uma quantidade depende do valor de outra. Definição: F U N Ç Ã O Uma função f definida em um conjunto de números reais A, é uma regra ou lei (equação ou algoritmo) de correspondência, que atribui um único número real a cada número do conjunto

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1 APOSTILA 015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015 1 Sumário 1.Conjuntos...5 1.1 Representação de conjuntos...5 1. Operações com conjuntos...6 1. Propriedades

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista º Bimestre/0 Aluno(a): Número: Turma: ) Na função f : R R, com f()

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Função polinomial do 1 o grau

Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Função polinomial do 1 o grau Resolução das atividades complementares Matemática M5 Função polinomial do o grau p. 8 O perímetro p de um quadrado é função linear de seu lado. Qual a sentença que define essa função? p 5 O perímetro

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares.

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

Leia mais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções Resolução das atividades complementares Matemática M Funções p. Responda às questões e, tomando por base o teto abaio: (Unama-PA) O ATAQUE DOS ALIENS Caramujos africanos, medindo centímetros de comprimento

Leia mais

Maia Vest. Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de. Portanto, potência é um produto de fatores iguais.

Maia Vest. Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de. Portanto, potência é um produto de fatores iguais. Maia Vest Disciplina: Matemática Professor: Adriano Mariano FUNÇÃO EXPONENCIAL Revisão sobre potenciação Potência de expoente natural Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos

Leia mais

Funções e Aplicações. Ministrado por Bruno Tenório da S Lopes Coordenado por Profa Dra Edna Maura Zuffi

Funções e Aplicações. Ministrado por Bruno Tenório da S Lopes Coordenado por Profa Dra Edna Maura Zuffi Funções e Aplicações Ministrado por Bruno Tenório da S Lopes Coordenado por Profa Dra Edna Maura Zuffi Maio de 2011 Índice 1 - Conjuntos Numéricos... 4 Intervalos... 5 Intervalos finitos... 5 Intervalos

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países. Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.

Leia mais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA ENSINO MÉDIO ÁREA CURRICULAR: CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS DISCIPLINA: MATEMÁTICA I SÉRIE 1.ª CH 68 ANO 2012 COMPETÊNCIAS:.

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS.

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS. ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS ÁLGEBRA I: 003 a 013 Funções: definição de função; funções definidas por

Leia mais

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense [Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação

Leia mais

www.cursoavancos.com.br

www.cursoavancos.com.br LISTA DE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - PROF.: ARI 0) (ANGLO) Sendo FUNÇÕES INVERSAS f a função inversa de f() = +, então f (4) é igual a : 2 a) 4 b) /4 c) 4 d) 3 e) 6 02) (ANGLO) Sejam f : R R uma função bijetora

Leia mais

MATERIAL MATEMÁTICA I

MATERIAL MATEMÁTICA I MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina

Leia mais

1. UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS

1. UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS . UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS.. INTRODUÇÃO Os logaritmos foram inventados, no começo do século XVII, como um instrumento para facilitar e simplificar o cálculo aritmético, permitindo que se efetuassem,

Leia mais

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Tema/Subtema Conteúdos Metas Nº de Aulas Previstas Org.Trat.Dados / Planeamento Estatístico Especificação do problema Recolha de dados População

Leia mais

Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Exemplos de Itens

Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Exemplos de Itens Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Eemplos de Itens TEMA III NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES Nesse tema abordam-se essencialmente

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 8.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 8.º ANO DE MATEMÁTICA 8.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de relacionar números racionais e dízimas, completar a reta numérica e ordenar números

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I Acadêmico(a): Turma: 9/ Capítulo : Funções Cálculo I. ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES.. EXERCÍCIOS Abaio estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web . (Pucrj 015) Sejam as funções f(x) = x 6x e g(x) = x 1. O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) < g(x) é: a) 8 b) 1 c) 60 d) 7 e) 10 4. (Acafe 014) O vazamento ocorrido

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD)

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínios de conteúdos: Números e Operações (NO) Geometria e Medida (GM) Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Álgebra (ALG) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínio NO7 9 GM7 33 Números racionais

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1. Função do 1 Grau. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1. Função do 1 Grau. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 Função do 1 Grau Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção Funções Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: Uma coisa depende

Leia mais

Explorações de alunos

Explorações de alunos A partir dos exemplos sugeridos e explorados pelos alunos pretende-se que possam conjecturar que, dadas duas funções reais de variável real f e g, o domínio da função quociente pode ser dado por: f f g

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

Onde usar os conhecimentos os sobre função?

Onde usar os conhecimentos os sobre função? II FUNÇÃO E LOGARITMO Por que aprender função?... As funções exponenciais e logarítmicas estão presentes no estudo de fenômenos que envolvem taxas de crescimento e de decrescimento. Onde usar os conhecimentos

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 01 É toda função do tipo f(x)=ax 2 +bx+c, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Ou, simplesmente, uma função polinomial de grau

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão

Leia mais

1 C. Logo, A B = {c} e P(A B) = {Ø, {c}}

1 C. Logo, A B = {c} e P(A B) = {Ø, {c}} MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,,...} : conjunto dos números reais : conjunto dos números compleos [a, b] = { ; a b} (a, + ) = ]a, + [ = { ; a < < + } A\B = { A; B} A C : complementar do conjunto A i: unidade

Leia mais

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas

Leia mais

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo

Leia mais

MATEMÁTICA. Aula 1 Revisão. Prof. Anderson

MATEMÁTICA. Aula 1 Revisão. Prof. Anderson MATEMÁTICA Aula 1 Revisão Prof. Anderson Assuntos Equação do 1º grau com uma variável. Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis. Equação do º grau com uma variável. Equação do 1º grau com uma

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

Lista de Exercícios - Séries Matemáticas

Lista de Exercícios - Séries Matemáticas Lista de Exercícios - Séries Matemáticas Agosto de 203 Introdução à Programação Orientada a Objetos Usando Java 2 a Edição Exercícios Introdução Cientistas da computação e programadores frequentemente

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos. Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Eresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80

Leia mais

Guião Revisões: Funções ESA-IPVC. Funções

Guião Revisões: Funções ESA-IPVC. Funções GUIÃO REVISÕES Funções Conceito de função Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles preenchido o seu boletim da seguinte forma: Boletim do Hugo Boletim do João Jogos Apostas Jogos

Leia mais