PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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1 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos eplicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero. 1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos Eistem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo aiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N{1,,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades. - Conjunto dos Números Naturais (N) Propriedades: 1) 1 N. ) n N,! n+1 N e n+1 é o sucessor de n. 3) m, n N se m+1 n+1 m n. 4) Seja S N com as propriedades: a) 1 S. b) s S s+1 S. Logo, S N (Princípio da Indução) Assim tem-se: N {1,,3,...} A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação. Eemplo: Sejam a, b N a + b e a.b São equações que têm solução em N. Porém + a b ou a. b nem sempre tem solução em N. 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 1

2 - Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, eiste (-a) tal que a + (-a) 0. Com isso nós incorporamos o zero. Z {...,-3,-,-1,0,1,,3,...} O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a. b nem sempre tem solução em Z. Eemplo: 5 5 Z - Conjunto dos Números Racionais (Q) Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q, onde p e q Z e q 0. Esses números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos. Eemplo:,3 ; 0, ;,33... O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, eceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação a Eemplo: Q. Demonstração que Q : O quadrado de um número par é par:.n onde n é inteiro. (.n) 4.n é PAR..(.n ) N O quadrado de um número ímpar é ímpar: n + 1 (n + 1) 4n + 4n + 1.(n + n) + 1 é ÍMPAR. N Demonstração por contradição: Suponha que Q a Q a 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página:

3 m m a a n n m n m é par. m, n 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares Se m é par m.k, então: (.k).n 4k n k n n é par. O que contradiz a hipótese logo Q. Eemplos de números não racionais:, ; ;π;e. - Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais. - Conjunto dos Números Irracionais (Q ) É o conjunto dos números tais que a equação a tem sempre solução quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos. Eemplos:, , π, e. Q Q' φ ou { } Q Q' R Propriedades dos Números Reais: 1) Lei comutativa da adição, y R + y y + ) Lei comutativa da multiplicação, y R. y y. 3) Lei associativa da adição, y, z R ( + y) + z + (y + z) 4) Lei associativa da multiplicação, y, z R (. y). z. (y. z) 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 3

4 5) Lei da eistência do elemento neutro da adição o 0 R / + 0 : R 6) Lei da eistência do elemento neutro da multiplicação 1 R / 1. : R 7) Lei da eistência do elemento simétrico (oposto) da adição R, (-) R / + (-) 0 8) Lei da eistência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação R, 0, -1 R / ) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição, y, z R (y + z).y +.z 10) Lei do fechamento da adição, y R + y R 11) Lei do fechamento da multiplicação, y R. y R 1) Lei do cancelamento em relação a adição, y, z R se + z y + z y 13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação, y, z R e z 0 se. z y. z y 14) Lei da tricotomia, y R, vale uma e somente uma das afirmações: > y ou < y ou y Obs.: fazendo y 0, temos: > 0 ou < 0 ou 0 15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição, y, z R se + z > y + z > y 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 4

5 16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação, y, z R e z > 0 se > y. z > y. z Obs.: se z < 0 : > y. z < y. z 17) Lei da transitividade, y, z R se > y e y > z > z Eercícios: 1) Responda (V) ou (F) e justifique. a) Se é um número positivo 5 é um número positivo b) Se < 3 e y > 3 < y c) Se y -5-5y d) Se 9 3 e) Se e y > y > 0 Respostas: (V) É certo pois se é positivo, 5 multiplicado por um número positivo () sempre terá como resultado um número positivo.] (V) É verdadeiro porque se < 3, é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim < y. (V) Podemos simplificar a equação: -5-5y em y. (F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: 9 9 ± (V) y > y > a) 1.) Representação Geométrica dos Números Reais Eiste uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta negativos 0 positivos 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 5

6 1.3) Espaço Real Unidimensional Definições 1) Conjunto linear representativos. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos ) Intervalos São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b) a) Intervalo fechado de etremos a e b. [ [ ] { R / a b} a b [a, b] b) Intervalo aberto de etremos a e b. ( ou ] [ ] { R / a < < b} a b (a, b) ou ]a, b[ c) Intervalos reais semi-abertos: c.1) à esquerda ( ] { R / a < b} a b (a, b] ou ]a, b] c.) à direita [ ) { R / a < b} a b [a, b) ou [a, b[ d) Intervalos reais ilimitados d.1) (-, b] { R / b} ] b d.) (-, b) { R / < b} ) b d.3) [a, ) { R / a} [ a d.4) (a, ) { R / > a} ( a 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 6

7 Intervalo degenerado a { R / a} [a, a] 3) Supremo (limite superior) Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se ( ) são verificadas as seguintes condições: L, A Dado L 1 < L, então ( ) A / L 1 < < L. 4) Ínfimo (limite inferior) Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a são verificadas as seguintes condições: l, A Dado l 1 > l A / l < < l 1. 5) Máimo de um conjunto Um número real L é máimo de um conjunto linear A são verificadas as seguintes condições: L é supremo de A L A. 6) Mínimo de um conjunto Um número real l é mínimo de um conjunto linear A são verificadas as seguintes condições: l é ínfimo de A l A. Eercício: A (, 5] B { R / > } C { R / 3} Determinar: 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 7

8 Superior (A) : 5 Superior (B) : Superior (C) : 3 Ínfimo (A) : Ínfimo (B) : Ínfimo (C) : Máimo (A) : 5 Máimo (B) : Máimo (C) : 3 Mínimo (A) : Mínimo (B) : Mínimo (C) : 7) Distância em R (unidimensional) Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente e a < b. A distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por b a P Q a b a b b a (b a) d (P, Q) b a ou d (P, Q) (b a) 8) Vizinhança em R (unidimensional) Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P 0 (X 0 ) e de raio δ (delta) δ R a todo conjunto de pontos P () R / d (P, P 0 ) < δ. V (P 0, δ) { R / 0 d (P, P 0 ) < δ}, onde é a abscissa do ponto P P 0 ( ) 0 -δ X 0 0 +δ 0 0 < δ δ δ 9) Vizinhança perfurada em R Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P 0 (X 0 ) e de raio δ R a todo o conjunto de pontos P () R / 0 < d (P, P 0 ) < δ V (P 0, δ) { R / 0 < d (P, P 0 ) < δ} V (P 0, δ) 0 < - 0 < δ 10) Ponto de acumulação Um ponto P 0 (X 0 ) é A se e somente se V (P 0 ) eistir pelo menos um ponto P R / P A e P V (P 0 ). a P 0 b ( ( ) ( ) ( ] ) 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 8

9 OBS.: Um ponto de acumulação pode não pertencer a um conjunto (sendo o supremo do conjunto ou ínfimo). 11) Valor absoluto ou módulo de um número real Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número R, o número definido por se se < 0 Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse número seja positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo. Geometricamente o módulo de um número real ( ) representa a distância que um ponto P () se encontra da origem. 0 P Q P -3 5 Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até Q poderá ser calculada por: d (P, Q) b a b a d (P, Q) (b a) (b a) Propriedades decorrentes da definição: 1) 0 e 0 0 ) 3) 4). y. y 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 9

10 5) se y 0 y y 6) + y + y desigualdade triangular 7) y ± y Seja a 0 a ± a 8) a -a a 9) a -a ou a Demonstrações das propriedades acima P1) 0 e 0 0 R Pela Lei da Tricotomia; ou > 0 ou < 0 ou 0. Se > 0: mas > 0 > 0 Se < 0: - mas < 0 - > 0 > 0 Se 0: 0 P) Se > 0: Se < 0: - (-) Se 0: P3) a indica a raiz quadrada positiva de um número a 0. pela propriedade 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 10

11 P4). y. y. y (. y). y. y (. y).y. y. y. y. y y P5) ( y 0) y P6) + y + y ( + y) + y + y ( + y) + y + y Obs.: y y y y ( + y) + y + y + y ( + y ) + y + y P7) y ± y y y ± y P8) a 0 a 0 [ ] a < a -a -a [ -a [ ] a -a a 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 11

12 P9) a a ou -a 0 a a [ < a -a ] a ] a a[ a ou -a Eemplos: Resolver as equações e inequações: a) 3 a ± a b) Resposta: 5 ou 1. b) y ± y c) Resposta: - ou 3. c) a -a a Resposta: º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 1

13 d) > > a > a ou < -a d) > < - > -1 < 3 7 Resposta: > -1 ou < 3 7. ) Sistema de Coordenadas Cartesianas.1) Par Ordenado É um conjunto de elementos, y indicado por (, y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada. (, y) (y, ) y (1, y1) (, y) 1 e y1 y No par ordenado (, y) o elemento é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o elemento y é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada..) Produto Cartesiano Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e se indica por A B. O conjunto de todos os pares ordenados (, y)/ A e y B. A B {(, y) / A e y B}.3) Plano Cartesiano Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado pelo seguinte conjunto: R R R. No plano cartesiano os pares ordenados (, y) são referidos como pontos e o elemento é chamado abscissa e o elemento y ordenada do ponto. 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 13

14 .4) Representação do Plano Cartesiano Eiste uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares ordenados, desta maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares. II y (eio das ordenadas) P (, y) I 0 (eio das abscissas) III IV.5) Distância Bidimensional (R ) y y Q (, y) y y1 d y1 P (1, y1) [d(p, Q)] 1 + y y1 [d(p, Q)] ( 1) + (y y1) 1 1 d (P, Q) ( 1) + (y y1) 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 14

15 .6) Vizinhança Bidimensional (R ) Denomina-se vizinhança bidimensional de um ponto P 0 ( 0,y 0 ) e raio δ > 0 ao conjunto de todos os pontos P (, y) / 0 d (P, P 0 ) < δ. V (P 0 ( 0, y 0 ), { P(, y) R / 0 d(p, P 0 < δ} δ ) ) V (P δ 0 ( 0, y 0 ), ) P(, y) R / 0 V (P 0 ( 0, y 0 ), δ ) ( + 0 ) (y y 0 ) + < δ { } P(, y) R / 0 ( 0 ) + (y y 0 ) + < δ y P 0 y 0 δ 0.7) Vizinhança Perfurada em R Denomina-se vizinhança perfurada bidimensional de um ponto P 0 ( 0, y 0 ) e raio δ > 0 o conjunto de todos os pontos P (, y) R / 0 < d (P, P 0 ) < δ. V (P 0, { P(, y) R / 0 < d(p, P 0 < δ} δ ) ).8) Ponto de Acumulação em R Dizemos que sem um ponto P 0 ( 0, y 0 ) é ponto de um conjunto A R se para toda a V (P 0 ) eistir pelo menos um ponto P (, y) R / P (, y) A e P (, y) V(P 0 ). 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 15

16 3) Relações Binárias e Funções Reais 3.1) Relações Binárias Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (, y) do produto cartesiano A B. 3.) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações a) Domínio de relações: Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por D S o conjunto linear: D S { A / y R e (, y) S} A b) Contradomínio: Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por Cd S é o conjunto B. Cd S B c) Imagem: Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por Im S é o conjunto linear: d) Gráfico: Im S { y B / R e (, y) S} B Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto: G S {(, y) R / (, y) S} e) Gráficos das principais relações: 1) {(, y) R / y } y é função y y não é função 45 o 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 16

17 ) {(, y) R / y a b} a e b R + a coeficiente angular y a>0 b coeficiente linear a tan α Se: a > 0 tan α > 0 α < 90 o : agudo b α α a<0 a < 0 tan α < 0 α > 90 o : obtuso 3) (, y) Se: R /y a + b + c parábola a > 0 a < 0 1 y 0 a + b + c 0 b ±.a b 4.a.c > 0 raízes 1 3 b < 0 não eiste V, a 4a 0 1 única raiz 3 4y 9 também é uma parábola a > 0 a < 0 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 17

18 4) (, y) PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ { R / + y 4} Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre e y é de subtração) Equação geral da circunferência ( α) + ( y β) r C ( α, β) raio r - Eemplos: - Dados R (, y) { R / + y 5} e R (, y) 4. 1 R / y, determine: 9 1) Gráfico de R 1 R ) Domínio de R 1 R 3) Imagem de R 1 R 1) y 9 + y 5 + y 5 4 y 9 Para y ) Pontos de interseção Sistema + y 5 4 9y y 9 4 9y + y 5 4 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 18

19 9y + 4y y + 9y ± y y 4 9 ± 41 y 5 8 y' 4 9y ± 3 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 81 4.(4).( 100).(4) D { R / -3 3} 3) {y R} Im Im {y R / 0 5} 3.3) Função Real de Variável Real Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo pertencente a A corresponder um único y B, então esta relação denomina-se função. Notação: F: A B y F () Domínio: Se F: A B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo A deve figurar em um único par ordenado (, y) de F. D F A Contradomínio: Se F: A B, o contradomínio de F é o conjunto B. C F B Imagem: A imagem de F é o conjunto dos y B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y B que são obtidos a partir de pela lei F, já que y F (). Im F B 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 19

20 Determinação do domínio ou Campo de Eistência de Funções Reais de Variáveis Reais Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y f (), estamos admitindo que o domínio ou campo de eistência da função é o conjunto de todo R que seja possível determinar y R e y F (). Eemplos: 1) Determinar o domínio ou campo de eistência das seguintes funções: a) f () Df Df 3 1 { R / 1 0} { R / 1} Ponto de acumulação y assíntota b) g ( ) y 1 D R º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 0

21 c) f ( ) ( 4 )(. + 3) D f { R/ ( 4 )(. + 3) 0} ( 4 )(. + 3) { R / 3 ou 4} D f -3 y 4 d) f () 9 D f R / y { R / 3 < 0 ou 3} D f > 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 1

22 e) f () D f 0 e 9 { R / 0 e 9 > 0} 9 > y 0 3 { R / 3} D f > f) f () log D f R / 3 + > > { R / 1 < < 1 ou } D f > 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página:

23 g) f () log arcsen ( 1) D f R / 1 1 e 1 > 0 e / 1 1 > 0 > { R /1 < } D f < 3.4) Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras a) Função Injetora: Uma função y F () de A em B é injetora se os elementos y B são imagens de um único A. b) Função Sobrejetora: Uma função y F () de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio de F, isto é, todo y B deve ser imagem de pelo menos um A. c) Função Bijetora: Uma função y F () é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora. 3.5) Classificação das Funções As funções são classificadas em dois grandes grupos: I) Funções Algébricas Elementares a) Funções Algébricas Racionais a.1) Inteiras a.) Fracionárias b) Funções Algébricas Irracionais 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 3

24 II) Funções Transcendentais a) Trigonométricas b) Eponenciais c) Logarítmicas I) Funções Algébricas Elementares São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). E são classificadas como segue: a) Funções Algébricas Racionais: As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram abaio de radicais ou não estão elevadas a epoentes fracionários e se classificam em: a.1) Racionais Inteiras: São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou não estão elevadas a epoentes negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS. E.: f() a 0. n +a 1. n a n a.) Racionais Fracionárias: f () São funções da forma Q (), onde f() e g() são funções g() a 0. racionais inteiras. E.: f () b. 0 n n + a 1 + b. 1. n-1 n a b b) Funções Algébricas Irracionais: São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a epoentes fracionários positivos ou negativos. n n II) Funções Transcendentais: São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da eponenciação e da logaritmização. Eemplos: Classificar as seguintes funções: 1) 3 f () função algébrica elementar racional 1 ) g() + 1 função algébrica irracional º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 4

25 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 3) f () função algébrica elementar racional inteira 4) t f (t) função algébrica racional fracionária 3 t + 5 5) sen + 4 g() função transcendental + 1 6) h () log( + 1) função transcendental + 7) f () 3. 4 função algébrica racional inteira 8) F() função algébrica irracional 5 Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser classificadas em: a) Funções Eplícitas: São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma variável em função da outra. ( y f() ) E.: y +3 b) Funções Implícitas: São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(, y)0) E.: y +. 5.y 3 +.seny0 3.6) Composição de Funções Se f e g são funções tais que pelo menos um elemento pertencente a imagem de g pertencer ao domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por: fog f ( g () ) Eemplo: 1) Determinar fog e gof, sendo f () 3 e g () + 4 fog f ( g () ) 3 (+4) gof g ( f () ) º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 5

26 3.7) Função Inversa Duas funções f e g são inversas se e somente se: a) A imagem de g está contida no domínio de f; b) Para todo ao domínio de f, fog ; c) A imagem de f deve estar contida no domínio de g; d) Para todo do domínio de f, gof. Nestas condições f é dita invertível. Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora. Notação: Se y f () é invertível, a inversa de f é indicada por f -1 (y) ou g (y). Gráfico: O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y. TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO 1) Isola-se na equação original. ) Troca-se por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano que usualmente a variável independente é e a variável dependente é y. Eemplos: Determinar as inversas das seguintes funções: 1) f () + 4 y + 4 y 4 y 4 Função inversa 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 6

27 ) 3 y + ( + )y 3 y + y 3 y 3 y (y 1) 3 y 3 y y 1 3 y y Função inversa + 1 3) y arctan 8 8 tan y tan y 8 tan y Função inversa 8 4) 4 y e 4 ln y 1 4 ln y ln 4 y y ln 4 Função inversa 5) y log 3 10 y y y 3.10 Função inversa 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 7

28 3.8) Funções Pares e Funções Ímpares Função Par: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Seja y f () definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo D, - D e f (-) f (). Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eio dos y. - Função Ímpar: Seja y f () definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo D, - D e f (-) - f (). Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem f() f(-) Eemplos: Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar: + 1) f () 4 f ( ) ( ) f ( ) f () f ( ) Função par 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 8

29 ) f () PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ + f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( + ( ) + ) Não é par nem ímpar 3 + 3) f () 4 f ( ) ( ) f ( ) 3 f ( ) ( + 4( ) ) f ( ) f () Função ìmpar 4) f () cos f ( ) cos( ) f ( ) cos f ( ) f () Função Par 5) f () sen f ( ) sen( ) f ( ) sen f ( ) f () Função ímpar 6) e f () + e e + e f ( ) f () f ( ) Função par 7) e f () e e e f ( ) e e f ( ) + f ( ) f () Função ímpar 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 9

30 4) Limite e Continuidade de Funções 4.1) Noção Intuitiva 4 Seja f (), Df { R / }. 4 ( )( + ) Se f () + ( ) Se f () + f() f() ,5 3,5,5 4,5 1,9 3,9,1 4,1 1,99 3,99,01 4,01 4 ( ) Note que para todo V (, δ) f() V (4, ε) podemos dizer que o limite de f() quando tende para é igual a 4 e podemos escrever: 4 lim 4 De modo geral se y f () definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação. L+ε L-ε a -δ a a +δ lim f () a L 4.) Definição Formal de Limite Sendo f () definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f () tem limite L quando tende para a, e se indica por: lim f () a L se e somente se para todo ε > 0, δ > 0 / f () L < ε sempre que 0 < a < δ 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 30

31 Eemplos: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Usando a definição de limite, mostre que: 1) lim(5 + 4) 9 1 (5 + 4) 9 < ε 5 5 < ε 5.( 1) < ε 5.( 1) < ε 5. ε 1 < 5 1 < δ ε δ 5 1 < ε ) lim (3 + 1) ( 5) < ε < ε 3.( + ) < ε 3.( + ) < ε ε + < 3 ( ) < δ + < δ ε δ 3 Se f () y (Função Identidade) lim a a P1 -a < ε -a < δ ε δ Se f () k y k lim k a k P 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 31

32 4.3) Propriedades Operatórias do Limite 1) lim a a ) lim k k a 3) lim[ f () ± g() ] lim f () ± lim g() a a a 4) lim f ().g() lim f (). lim g() a a a 5) lim c.f () c. lim f () a a f () lim f () a 6) lim lim g() 0 a g() lim g() a a 7) lim[ f ()] a n lim f () a n 8) lim n f () n lim f () a a 9) lim( f ()) a g() lim f () a lim g() a 10) lim log a b f () log b lim f () a 11) lim sen( f ()) a sen lim f () a 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 3

33 Eemplo: 1) lim lim + lim + lim + lim +. lim 5 1 lim 5 lim 1 5 lim ) Limites Unilaterais f () Df 4 { R / 4} 4 ( ) lim f () 4 não eiste f () < 1 ( ) 1 lim f () lim f () não eiste 1 lim f () 1 1 Limite à direita: a c Seja f uma função definida em um intervalo (a, c) ( ) e L um número real, a afirmação sempre que lim f () L, significa que para todo ε > 0, δ > 0 / f () L < ε + a 0 < a < δ a < < a + δ a a+δ ( ) Limite à esquerda: Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação lim f () L a significa que para todo ε > 0, δ > 0 / f () L < ε sempre que -δ < a < 0 a-δ < < a, a-δ a ( ) 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 33

34 4.5) Teorema 1) lim f () L lim f () lim f () L a + a a Eemplos: 1) 1 se 1 f () se < 1 lim f ()? 1 lim f () (.1 1) são iguais lim f () 1 lim f () (1) ) f () se > + 4 se lim f ()? lim f () 7 + lim f () 0 são diferentes lim f () não eiste 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 34

35 4.6) Continuidade das Funções y y a a f (a) y y c b f (a) a a f (a) OK! lim f () a lim f () b + a lim f () c a f (a) OK! lim f () OK! a f (a) lim f () a Condições: 1) f (a) ) lim f () a 3) f (a) lim f () a 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 35

36 Eemplos: 1) Verificar se 3 f () 1+ se 1 é contínua para 1 : se > 1 i) f (1) OK! ii) lim f ()? 1 lim f () lim f () São iguais lim f () 1 OK! iii) f (1) lim f () OK! 1 Resposta: É contínua ) Verificar se f () 7 i) f (3) 7 OK! 9 3 se 3 se 3 é contínua para 3 : ii) lim f () indeterminação ( 3)( + 3) lim 6 3 ( 3) como 3 OK! iii) f (3) lim f () 3 Resposta: Não é contínua 1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/99 página: 36

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