Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA: Carlene Paula Silva de Farias Cleiton Cruz Serafim Cristóvão Porciano do Nascimento Júnior Edson José da Costa Santos Flávio Maux Viana da Silva Francisco Biagione de Lima Júnior George Barbosa de Araújo Ivandson Praeiro Sousa Jadson Tadeu Dantas Souza Maxwell Santana Libório Rafaela Medeiros de Souza Rodrigo dos Santos Candreva Valmar da Silva Sobrinho 2011 NATAL-RN

2 Sumário 1. Operações Básicas e Funções... 2 Conjuntos Numéricos... 2 Funções... 3 Funções Crescentes e Decrescentes... 3 Funções Pares e Ímpares... 3 Operações com funções... 4 Translação de funções... 4 Composição de funções Funções Polinomiais... 5 As funções polinomiais de n-ésima ordem têm a seguinte forma:... 5 Função constante... 5 Função afim... 5 Sinal de uma função... 6 Inequações... 7 Função Quadrática: Inequações de 2 o grau: Funções de grau superior ( 3) Funções Trigonométricas Identidades Trigonométricas Limite e Funções Contínuas Revisão Limites Limites laterais e condição de existência de limites Propriedade dos limites Continuidade Funções Exponenciais Funções exponenciais Propriedades Função exponencial na base e O que é o número e? Gráficos e transformação de funções exponenciais Funções hiperbólicas Funções Logarítmicas Propriedades Logaritmos com base e

3 1. Operações Básicas e Funções Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais 0, 1, 2, 3,. Dados dois elementos e, temos que: e. Conjunto dos números inteiros, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,. Dados dois elementos e, temos que:, e. Note que. Conjunto dos números racionais ;, e q 0. Dados dois elementos e, temos que:,, e. Note que. Conjunto dos números irracionais,, 2,. Note que o conjunto dos números reais. Exercícios 1. Quais das proposições são verdadeiras? a) 3 ; b) ; c) ; d) ; e) Efetue: a) b) 2

4 c) 2 d) e) f) g) h) i) Funções 0 Uma função de um conjunto para um conjunto é uma regra que associa um único elemento em a cada elemento em. Sejam, e : uma função tal que. Funções Crescentes e Decrescentes Seja : uma função. Dizemos que é estritamente crescente se, sempre que, dados,, com, tivermos. Seja : uma função. Dizemos que é estritamente decrescente se, sempre que, dados,, com, tivermos. Funções Pares e Ímpares Uma função par ocorre quando, e um função ímpar ocorre quando. O produto de uma função par por uma função par tem como uma função par. O produto de uma função ímpar por uma função ímpar tem como uma função par. E o produto de uma função ímpar por uma função par tem como uma função ímpar. 3

5 Operações com funções ; ; ; / /, 0 ; Translação de funções Podemos fazer uma translação vertical unidades para cima numa função, com 0. 1 Podemos fazer uma translação horizontal unidades para esquerda numa função, com 0. 2 Composição de funções A função composta entre duas funções e é definida como: 3 Exercícios: 1. Classifique as seguintes funções (se são funções crescentes ou decrescentes, pares ou ímpares): a) ; b) ; c) ; d) ; 2. Dadas as funções 2 1 e 2. a) Encontre translação vertical da função 3 unidades para baixo; b) Encontre translação horizontal da função 1 unidades para esquerda; c) Encontre translação vertical da função 2 unidades para cima; d) Encontre translação horizontal da função 2 unidades para esquerda; e) Encontre. 4

6 2. Funções Polinomiais As funções polinomiais de n-ésima ordem têm a seguinte forma: Mais estaremos interessados apenas em estudar funções polinomiais de 1ª e 2ª ordem. Função constante R. Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado o mesmo elemento c ϵ f(x) = c Função afim Função Identidade: Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado o próprio x. f(x) = x Função linear: Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado um elemento mx ϵ R, tal que m 0. f(x) = mx 5

7 Caso geral da função afim: funções f de R em R, da forma: f(x) = mx + b, com m 0. Para m = 1 e b = 0 tem-se a função identidade (e também linear) e para b = 0 e qualquer valor de m ( 0, claro), tem-se uma função linear. Importante: i) O gráfico da função afim é sempre uma reta, sendo que para obtê-lo são necessários pelo menos dois pontos (dois valores de x e seus correspondentes valores de f(x) no plano cartesiano). ii) O termo m é conhecido com coeficiente angular, o qual representa a inclinação da reta, ou seja, é o valor da tangente do ângulo : Onde é o coeficiente angular que representa a inclinação da reta, ou seja, é o valor da tangente do ângulo : iii) O termo b é conhecido como coeficiente linear e representa o valor de f quando x é zero, ou seja, o ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas. iv) O de x para o qual f(x) é zero é denominado zero da função, nesse ponto (x,0) a reta corta o eixo das abscissas. v) O sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente, ou seja, se para maiores valores de x se obtém maiores ou menores valores de f(x). Para m>0 a função é crescente, para m<0 a função é decrescente. Sinal de uma função Dada uma função f de R em R definir para quais valores de x f é negativa, nula ou positiva significa determinar o sinal da função. Esse procedimento é útil no cálculo de inequações. Ex: 6

8 Para x < x1 ou x>x2 y>0 Para x = x1 ou x = x2 y = 0 Para x1<x<x2 y <0 Inequações Sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade, os valores da(s) variáve(l)/(eis) que tornam a sentença verdadeira correspondem à solução da inequação. Ex: 5x + 3 > 2, solução: x> Inequações simultâneas: Inequações da forma: f(x) < g(x) < h(x), ou quaisquer outros sinais de desigualdades entre as funções, compõem inequações simultâneas. Pode-se decompô-las da seguinte forma: f(x) < g(x)...(i) g(x) < h(x)... (II) A intersecção das soluções de (I) e (II) será a solução desse sistema de inequações. Ex: - 2 < 3x 1 < 4-2 < 3x 1 x > 3x -1 < 4 x < Logo a solução final será a intersecção: < x < 7

9 Inequações-Produto: Dados duas funções f(x) e g(x) inequações do tipo f(x)g(x) > 0 ou qualquer outro sinal de desigualdade são denominadas inequações-produto. Ex: (3x+3)(5x-3) > 0 Chamando f(x) = 3x + 3 e g(x) = 5x-3, sendo o produto dessa funções é positivo implica que ou ambas funções são positivas ou ambas funções são negativas. (Lembrar do jogo dos sinais mais com mais dá mais, menos com menos dá menos). Com isso pode-se decompor a inequação em duas e resolver como o caso de inequações simultâneas, lembrando que nesse exemplo em particular há dois casos possíveis. A união das soluções dos casos possíveis será a solução final da inequaçãoproduto. 1 o Caso: 3x+3 >0...(i) 5x-3>0...(ii) Resolvendo (i): x> -1 Resolvendo (ii): x > 3/5 (i) (ii): x> 3/5 2 o Caso: 3x + 3 < 0... (i) 5x-3 <0...(ii) Resolvendo (i) : x<-1 Resolvendo (ii) : x < 5/3 (i) (ii) : x<-1 Logo, a solução final será a união dos dois casos: -1>x ou x>3/5 Inequações-quociente: Inequações da forma: > 0 ou qualquer outro sinal de desigualdades entre os membros. O procedimento de resolução é análogo ao de inequações-produto, lembrando que não se pode haver denominador nulo. Exercícios: 1. Construa o gráfico das funções definidas de R em R: a) y = -3 b) y = 3x c) y = d) y = 3x + 2 e) x + 1 8

10 2. Resolva graficamente os sistemas de equações: a) 5 1 b) c (Sugestão: Faça 3. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: a) (2,3) e (3,5) b) (3,2) e (2,-3) e ) 4. A função f é definida por f(x) = ax +b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3). 5. Obtenha as seguintes equações da reta: a) Passa pelo ponto (-2,4) e tem coeficiente angular -3. b) Passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear 4. c) Passa pelos pontos (3,1) e (9,5). 6. Determine para quais valores de m as funções abaixo serão crescentes, decrescente ou constante: a) y = (m+2)x -3 b) y = m(x-1) + 3 x 7. Estude os sinais das funções definidas nos reais (dizer para quais valores de x a função é positiva, negativa ou nula): a) y = 4 x b) y = + 8. Resolva as inequações: a) x+1 7-3x < - 1 b) 2-x < 3x + 2 < 4x + 1 c) (4-2x)(5+2x)<0 d) (5 3x)(7-2x)(1-4x) 0 e) (3x+5)² >0 f) (x-3) 5 (2x+3) 6 <0 g) (3x-2)³(x-5)²(2-x)x>0 h) 0 i) 1 j) k) + - <0 0 9

11 Função Quadrática: Funções definida de R em R com a seguinte forma geral: f(x) = ax²+bx+c, a 0 Características importantes das funções quadráticas: (i) O gráfico da função quadrática é uma parábola. (ii) O sinal do coeficiente a defina a concavidade da parábola, a>0 concavidade para cima, a<0 concavidade para baixo. (iii) Os valores de x para os quais f é nula são os chamados zeros da função. A função quadrática pode ter 0, 1 ou 2 zeros distintos. A determinação dessa quantidade provém do valor da grandeza = b²-4ac. (iv) O valor de c será o valor de f(x) para x = 0, o gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto (0,c). (v) Para o caso de a>0 a função admitirá um valor mínimo que será o valor f(x) no vértice da parábola. Já para a<0 a função admitirá um valor máximo, também no vértice da parábola. (vi) A coordenado do vértice da parábola é: (, ). Inequações de 2 o grau: Trata-se de inequações do tipo: ax²+bx+x >0, ou qualquer outro sinal de desigualdade. A resolução desse tipo de inequação leva em consideração o estudo do sinal da função quadrática. Ex: x² - 3x + 2 >0 10

12 Seja a função: f(x) = x² - 3x + 2, graficamente tem-se: Nota-se que os valores para os quais f(x) >0 são: x<1 ou x>2 Exercícios: 1. Construa os gráficos das seguintes funções definidos nos reais: a) y = x² b) y = x² - 2x Determine uma função quadrática tal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) = Seja f(x) = ax²+bx+c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = -2, determine o produto abc. 4. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m-1)x² + (2m+3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 5. Determine os valores de m para que a função f(x)= mx² + (m+1)x + (m+1) tenha um zero real e duplo. 6. Determine o parâmetro m na equação x²+mx+m²-m-12 = 0, de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva. 7. Obtenha uma equação do segundo grau com raízes 1+ 3 e

13 8. Determine os vértices das parábolas: a) y = -x²+3x b) y = x²- - x Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo. 10. Resolva as inequações: a) x² - 6x b) x² + x +10>0 c) (1-4x²)(2x²+3x)>0 d) ² ² 1 e) 4<x²-12 4x 11. Determine m de modo que a equação (m-1)x² + (2m+3)x+m =0 admita raízes de sinais contrários. 12. Sejam p e q reais, se a equação em x: x² +p²x+q²+1 =0 tem duas raízes reais, x1 e x2, qual o sinal dessas raízes? Funções de grau superior ( 3) Tais funções aparecem com menos freqüência em problemas elementares, seu estudo faz-se mais convenientemente utilizando-se ferramentas do cálculo, como derivadas, o que será visto na disciplina Cálculo I. O número máximo de raízes reais distintas que tais funções podem apresentar é igual ao grau da função. 12

14 3. Funções Trigonométricas São funções periódicas cujo valor da função depende do ângulo descrito no círculo trigonométrico. O valor do cosseno do ângulo está representado no gráfico no eixo horizontal entre o intervalo 1; 1, o valor do seno do ângulo está representado no gráfico no eixo vertical entre o intervalo 1; 1, e o valor da tangente do ângulo está representado no gráfico no eixo vertical deslocado uma unidade para direita entre o intervalo ;. Identidades Trigonométricas As identidades trigonométricas são as seguintes: 1 1 essa identidade pode ser demonstrada utilizando o teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras tan cos, cotan sen, sec 1 cos, cosec 1 sen 13

15 1 2 Demonstração da identidade (2): cos cos cos 3 Demonstração da identidade (3): Temos que os pontos são os seguintes: cos; 1; 0 cos ; cos ; cos ; Note que a distância entre os pontos e é igual à distância entre os pontos e. Temos que: cos cos senb sena cosa b 1 sen a b 2 2coscos 2sensen cos a b 2 cosa b 1 sen a b 2coscos 2sensen 2 cosa b cosa b coscos sensen cos cos tan tan tan 1 tan tan

16 Exercícios: 1. Mostre que 2. Mostre que 3. Mostre que 4. Mostre que 1 cos2 2 1 cos2 2 cos cos 2 sen sen 2 5. Esboce no gráfico abaixo as funções trigonométricas, e. 15

17 4. Limite e Funções Contínuas Revisão a) Função de uma variável: Uma relação entre dois números é chamada de função se, e somente se, dado dois conjuntos onde um é a imagem e outro é o domínio. Onde um elemento do domínio se relacione com apenas um elemento da imagem. b) Podemos denotar uma função como sendo y=f(x), nesse caso o conjunto de todos os valores que x pode assumir chama-se domínio e os valores que y pode assumir chama-se imagem. c) Uma função f(x) é igual a g(x) se, e somente se, todos os elementos dos conjuntos imagem e domínio das duas funções forem iguais. d) O gráfico de uma função, como o próprio nome já diz, mostra a relação entre os dois conjuntos imagemdomínio graficamente. É importante frisar que se temos a relação algébrica, temos o gráfico automaticamente, mas se tivermos apenas alguns pontos particulares é necessário cuidado, pois não necessariamente podemos esboçar o gráfico somente com eles. e) O gráfico de uma função pode ser esboçado em qualquer sistema de coordenadas, porém o mais comum é o plano cartesiano. Limites Imagine uma função que relaciona um valor da aresta com o valor da área do quadrado. É claro que essa função seria do tipo: ² Nesse caso cada valor da aresta se relaciona com apenas um valor de área. Porém note que para valores simétricos (2,-2) temos o mesmo valor de área. Agora imagine que nos aproximamos do valor de aresta igual a 3, é claro que quanto mais se aproximamos do valor de 3 mais a área tende a 9. Nesse caso dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a 3 é 9. Em notação matemática temos: lim 9 Agora se tivermos uma função qualquer: g(x)=y, tal que g(x) L sempre que x, ou seja, sempre que x tende a um valor de x particular. Então dizemos que: lim Assim temos uma representação do limite. Podemos encarar o limite como uma função ( Função limite ). Existe uma definição formal para o limite, mas não iremos preocupar-se com ela nesse curso de nivelamento, pois não é de grande utilidade nos problemas da Física. Por hora trataremos apenas da noção intuitiva de limite. OBS.: Nem sempre existe o limite para um ponto em particular da função, um limite só existe se obedecer às duas condições que iremos mostrar mais tarde. Por hora faremos exemplos em que os limites em questão sempre existam. 16

18 Exercícios 1) lim 5 3 2) lim ² 3) lim ² 4) No caso do exemplo 4 como é gráfico da função em qual é estudada o limite? DICA: Você já deve ter percebido que o limite de uma função existe mesmo que ela não esteja definida no ponto em questão. Podemos dizer que: Na determinação do limite de f(x), quando x tende para a, não interessa como f está definida em a (nem mesmo se f está definido). A única coisa que interessa é como f está definida para valores de x na vizinhança de a. 5) lim ² 6) Dada: Calcule: lim Limites laterais e condição de existência de limites Limite lateral a direita de quando tende a : lim Limite lateral a esquerda de quando tende a : lim O limite da função quando tende a existe e é igual a se e somente se ambos os limites laterais existe e são iguais a. Ou seja, Exercícios lim lim lim 1) Mostre que todos os limites acima existem e dê um exemplo de um limite que não existe. DICA: para a segunda parte do exercício use uma função parecida com a do exercício 7. Propriedade dos limites Os limites obedecem algumas propriedades, ou seja, algumas relações algébricas que são verdadeiras quando são utilizadas com limites. Abaixo seguem algumas dessas propriedades: 17

19 Seja, onde é uma constante, temos que: lim lim 1 Seja: lim lim temos que: lim lim 2 3 lim,, 0 4 lim lim, 0 5 lim lim 6 Exercícios Resolva os limites abaixo utilizando as propriedades acima e sabendo que lim 9 e lim 4. a) lim b) lim 3 2 c) lim d) lim Continuidade Uma função é contínua em se: está definida em, ou seja existe; lim ; lim. Exercícios Indique quais das 7 funções do primeiro exercício são continuas e quais não. 18

20 5. Funções Exponenciais Funções exponenciais Sejam a e b constantes reais, uma função exponencial em x é uma função que pode ser escrita na forma:. Onde 0, 0 1. A constante a é o valor da função quando 0 e b é a base. Propriedades Função exponencial na base e Qualquer número exponencial pode ser escrito em termos da base e: O que é o número e?. É a inicial do nome de Leonhard Euler ( ), responsável por introduzir a notação. Como tem propriedades especiais no cálculo que simplificam muitas contas, então e é a base natural da função exponencial, definida como: lim 1 1 2, Gráficos e transformação de funções exponenciais lim 1 lim lim 0 1 lim

21 a) b) Funções hiperbólicas Podemos escrever funções hiperbólicas definidas a partir de combinações de funções exponenciais, tais como: cosh 2 senh 2 Exercícios 1. Identifique o valor da constante e da base das funções abaixo: a) 3 b) 6 c) 2. 1,5 d) Esboce o gráfico das funções exponenciais a seguir: a) b) c) 4. d) 3. Defina as funções hiperbólicas, sech, csch coth em termos de funções exponenciais. 4. Mostre que cosh²(t) - senh²(t) = 1. Funções Logarítmicas Teorema: Seja : uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que para quaisquer x,y Є. Então existe a>0 tal que log para todo x Є. 20

22 Se 0 01, então: log se, e somente se, Exemplos: a) log 83, pois 2 8 b) log 3, pois 3 3 c) log 10, pois 4 1 Propriedades 1) Regra do Produto: log log log 2) Regra do Quociente: log log log 3 Regra da Potência: log log Logaritmos com base e Os chamados logaritmos naturais ou ln são a inversa da função exponencial. log ln Assim: ln se, e somente se, Gráficos f(x) = x f(x) = ln x Exercícios 1. Calcule: a) log b) log 25 c) log 7 d) log 4 2. A partir das propriedades dos logaritmos, transforme ln 8 em uma soma logarítmica. 3. Transforme ln 2ln em apenas um logaritmo, utilizando as suas propriedades. 4. Esboce o gráfico das seguintes funções: a) ln 2 b) ln 3 21

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