Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

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1 Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre Aulas 1 e 2

2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I, 5ª edição. Thomson Learning, Biblioteca da UFABC possui vários exemplares. Avaliação: Provas. 2

3 Definição de função Funções surgem quando uma quantidade depende da outra. Definição: Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x em um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função. O número f(x) é o valor de f em x. Deve ser lido como f de x A imagem de f é o conjunto de todos os valores de f(x) quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número qualquer no domínio de uma função f é denominado de variável independente. O símbolo que representa um número qualquer na imagem de f é chamado de variável dependente. 3

4 Como considerar uma função? Diagrama de máquina Diagrama de flechas 4

5 Gráfico de uma função O gráfico é um conjunto de pares ordenados {(x,f(x)) x A}. Também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y. 5

6 Exercício 1 Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função: f(x) = 2x 1 g(x) = x2 6

7 Representação de funções Quatro maneiras possíveis de se representar uma função: Verbalmente Numericamente Por meio de tabelas de valores; Visualmente Descrevendo-a com palavras; Através de gráficos. Algebricamente Utilizando-se uma fórmula específica. 7

8 Teste da reta vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função x se e somente se nenhuma reta vertical corta a curva mais de uma vez. Uma função não pode fazer corresponder dois valores para um dado valor no domínio. 8

9 Teste da reta vertical - exemplo A parábola x = y2 2 não é uma função, pois falha no teste da reta vertical. Mas contém os gráficos de duas funções de x. Metade superior e inferior da parábola são os gráficos de cada uma dessas funções. 9

10 Função definida por partes São definidas por fórmulas diversas em diferentes partes de seu domínio. 1 x,se x 1 Exemplo: x, se x> 1 2 f x = { } 10

11 Simetria par Se uma função f satisfazer f(-x) = f(x) para todo x em seu domínio, então f é chamada de função par. O seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Isso significa que se fizermos o gráfico de f para x 0, é possível obter o gráfico inteiro, refletindo o que temos em torno do eixo y. Ex: f(x) = x2 11

12 Simetria ímpar Se f satisfizer f(-x)= - f(x) para todo número x em seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Se tivermos o gráfico de f para x 0, é possível obter o restante do gráfico girando 180, o que já temos, em torno da origem. Ex: f(x) = x3 12

13 Exercício 2 Determine se a função é par, ímpar ou nenhum desses dois. f(x) = x5 + x g(x) = 1 - x4 h(x) = 2x - x2 13

14 Funções crescentes e decrescentes Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I. Analogamente, ela é denominada decrescente em I se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I. 14

15 Modelo matemático - 1 É uma descrição matemática de um fenômeno no mundo real, com o propósito de entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre um comportamento futuro. Processo de modelagem Dado um problema do mundo real, o primeiro passo é formular um modelo matemático por meio da identificação e especificação de variáveis dependentes e independentes, e da realização de hipóteses que simplifiquem o fenômeno o suficiente para torná-lo matematicamente tratável. Usar uma lei física ou coletar dados para identificar um padrão. O segundo passo é aplicar a matemática que sabemos ao modelo matemático formulado para tirar conclusões. 15

16 Modelo matemático - 2 No terceiro estágio, interpretamos as conclusões matemáticas como informações sobre o fenômeno original e oferecemos explicações ou fazemos predições. Finalmente, as predições devem ser validadas no mundo real. Se as predições não se ajustam bem à realidade, podemos refinar o modelo ou criar um outro, começando novamente o ciclo. Notas importantes sobre modelos matemáticos. O modelo matemático é uma idealização da realidade. Existem vários tipos de funções que podem ser usadas para modelar as relações observadas no mundo real. 16

17 Modelos lineares Se a função y é dita função afim de x, quer dizer que o gráfico dessa função é uma reta. Fórmula dessa função: y=f x =mx+b As funções afim variam de forma constante. Exemplo: modelo linear para temperatura do ar seco em função da altura. Onde m é o coeficiente angular da reta e b é o intercepto y. Temperatura no solo = 20 C Temperatura a uma altura de 1 km = 10 C. Expressar a temperatura T em função da altura h, supondo que o modelo linear seja apropriado. Pode ser que não exista uma lei ou princípio que ajude a formular o modelo, sendo necessário se basear em dados coletados. Um modelo empírico pode ser criado com uma função que ajuste os dados, capturando sua 17 tendência.

18 Polinômios Um função P é denominada polinômio se n n 1 2 P x =a x x +a n 1 x +a2 x +a1 x+a0 Onde n é um inteiro não-negativo, e os números a0, a1,...,an são constantes chamadas coeficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é R = (- ; ); O grau de um polinômio é n para o coeficiente dominante an 0. Exemplos de polinômios: Função quadrática: P(x) = ax2 + bx + c Função cúbica: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d 18

19 Polinômios - exemplos 19

20 Funções potências - 1 Função potência tem a forma f(x) = xa, onde a é uma constante. Três casos: a = n, onde n é um inteiro positivo. A forma geral depende de n ser par ou ímpar. Se n for par, será uma função par e seu gráfico será similar a f(x) = x2. Se n for ímpar, será uma função ímpar e seu gráfico será similar a f(x) = x3. 20

21 Funções potências - 2 A medida que n cresce, o gráfico fica mais achatado próximo de zero e mais inclinado para x 1. 21

22 Funções potências - 3 a = 1/n, onde n é um inteiro positivo. A função f(x) = x1/n é uma função raiz. Para n = 2, ela é a função raiz quadrada, cujo domínio é [0; ). Para outros valores pares de n, o gráfico é similar ao da raiz quadrada. Para n = 3, temos a função raiz cúbica, cujo domínio são os números reais. Similarmente, para os outros valores ímpares de n, o gráfico é similar ao da raiz cúbica. 22

23 Funções potências - 4 a = -1 A função f(x) = x-1 = 1/x é chamada de função recíproca. Seu gráfico é uma hipérbole com eixos coordenados como suas assíntotas. 23

24 Funções racionais Uma função racional f é a razão de dois polinômios: P x f x = Q x Onde P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 0. Exemplo: 24

25 Funções algébricas Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída usando-se operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) começando com polinômios. Toda função racional é automaticamente uma função algébrica. 25

26 Funções trigonométricas

27 Funções trigonométricas - 2 Tanto a função seno como a função cosseno, temos o domínio R = (- ; ) e a imagem é o intervalo fechado [-1;1]. Também são periódicas com período 2π. Interessante para modelar fenômenos repetitivos. sen x Função tangente é definida como tg x = cos x Não está definida para cos(x) = 0. Imagem é R = (- ; ) Período igual a π. 27

28 Funções exponenciais As funções exponenciais são da forma f(x) = ax, onde a base a é uma constante positiva. Pela sua importância em modelagem, serão detalhadas mais a frente. 28

29 Funções logarítmicas As funções logarítmicas são da forma f(x) = logax, onde a base a é uma constante positiva. São as funções inversas das funções exponenciais. Também pela sua importância, serão estudadas em mais detalhes mais a frente. 29

30 Funções transcendentais São as funções não-algébricas. Inclui as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, exponencial e logarítmica, mais um vasto número de outras funções. 30

31 Transformação de funções - 1 Facilitam obter o gráfico de funções correlacionadas. Deslocamentos verticais e horizontais (translações): Suponha c > 0. Para obter o gráfico de y = f(x) + c, desloque o gráfico de y = f(x) em c unidades para cima. y = f(x) c, desloque o gráfico de y = f(x) em c unidades para baixo. y = f(x c), desloque o gráfico de y = f(x) em c unidades para direita. y = f(x + c), desloque o gráfico de y = f(x) em c unidades para esquerda 31

32 Transformação de funções

33 Transformação de funções - 3 Reflexões e esticamentos horizontais e verticais: Suponha c > 1. Para obter o gráfico de y = c f(x), estique o gráfico de y = f(x) verticalmente por um fator de c. y = (1/c) f(x), comprima o gráfico de y = f(x) verticalmente por um fator de c. y = f(cx), comprima o gráfico de y = f(x) horizontalmente por um fator de c. y = f(x/c), estique o gráfico de y = f(x) horizontalmente por um fator de c. y = - f(x), reflita o gráfico de y = f(x) em torno do eixo x. y = f(-x), reflita o gráfico de y = f(x) em torno do eixo y. 33

34 Transformação de funções - 4 Exemplo: função cosseno com c = 2. Exercício: Esboce o gráfico da função y = x2 1 34

35 Combinação de funções - 1 Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f + g, f g, fg e f/g. Sejam f e g funções com domínios A e B. Então: (f + g)(x) = f(x) + g(x), com domínio A Β. (f - g)(x) = f(x) - g(x), com domínio A Β. (fg)(x) = f(x)g(x), com domínio A Β. (f/g)(x) = f(x) / g(x), com domínio {x A Β 0}. g(x) 35

36 Combinação de funções - 2 Adição gráfica. 36

37 Composição de funções Dadas duas funções f e g, começamos com um número x no domínio de g e encontramos a sua imagem g(x). Se esse número g(x) estiver no domínio de f, então podemos calcular o valor de f(g(x)). O resultado é uma nova função h(x) = f(g(x)) obtida pela substituição de g em f. Essa nova função é denominada composição de f e g, sendo denotada por f g. O domínio de f g é o conjunto de todos os x no domínio g tal que g(x) está no domínio de f. Em outras palavras, (f g)(x) está definida sempre que g(x) e f(g(x)) estiverem definidas. 37

38 Funções exponenciais - 1 Gráficos dos membros da família de funções y = ax para vários valores de base a. Note que todos os gráficos passam por (0;1) e que a função exponencial cresce mais rapidamente à medida que a fica maior (para x > 0). 38

39 Funções exponenciais - 2 Existem três tipos de função exponencial: Se 0 < a < 1, a função exponencial decresce; Se a = 1, ela é uma constante; Se a > 1, ela cresce. 39

40 Lei dos expoentes Se a e b forem números positivos e x e y, números reais quaisquer, então: ax+y = axay ax-y = ax / ay (ax)y = axy (ab)x = axbx 40

41 Aplicações das funções exponenciais A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos da natureza e da sociedade. Exemplo 1: crescimento de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Através de amostras da população em certos intervalos se constata que a população dobra a cada hora. y(t) = 2t P, onde P é a população inicial. Exemplo 2: desintegração do estrôncio-90. Possui vida média igual a 25 anos, isto é, metade de qualquer quantidade vai se desintegrar nesse tempo. m(t) = 2-(t/25) M, onde M era a massa original da amostra. 41

42 Número e As formas de cálculo ficam simplificadas se a base a escolhida resulta em uma reta tangente se a base a escolhida resulta em uma reta tangente y = ax com inclinação exatamente igual a 1. Esse número é denotado por e (e 2,71828). 42

43 Funções um a um Uma função f é chamada de função um a um se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, f(x1) f(x2) sempre que x1 x2. Teste da reta horizontal Uma função é um a um se e somente se toda reta horizontal intercepta seu gráfico em apenas um ponto. 43

44 Função inversa Seja f uma função um a um com domínio A e imagem B. Então sua função inversa f -1 tem domínio B e imagem A, sendo definida para todo y em B como 1 f f x =y Isso quer dizer que se f transforma x em y, então f -1 transforma de volta y em x. Note que: x =x Domínio de f -1 = imagem de f. Imagem de f -1 = domínio de f. Equações de cancelamento: f -1(f(x)) = x, para todo x em A. f(f -1(x)) = x, para todo x em B. 44

45 Como achar a função inversa Três passos para se achar a função inversa: Escreva y = f(x). Resolva essa equação para x em termos de y (se possível). Para expressar f 1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f -1(x). Exercício: Encontre a função inversa de f(x) = x

46 Achando a função inversa no gráfico f -1 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta y = x. 46

47 Funções logarítmicas - 1 Se a > 0 e a 1, a função exponencial f(x) = ax possui inversa f -1, chamada de função logarítmica com base a, sendo denotada por loga log a x=y a y =x As equações de cancelamento ficam assim: log (ax) = x, para todo x R a alogax = x, para todo x > 0 A função logarítmica loga tem o domínio (0; ) e a imagem R. 47

48 Funções logarítmicas

49 Leis dos logaritmos Se x e y forem números positivos, então: loga(xy) = logax + logay loga(x/y) = logax logay loga (xr) = r logax As leis dos logaritmos resultam das propriedades correspondentes das funções exponenciais. 49

50 Logaritmos naturais - 1 Os logaritmos na base e são chamados de logaritmos naturais e tem uma notação especial: logex = ln x ln x=y e y =x Propriedades: ln (ex) = x eln x = x Se x = 1, então ln e = 1. Mudança de base: Para todos os números a > 0 e a 1, temos: ln x log a x= Gustavo ln a S. Pavani 50

51 Logaritmos naturais - 2 Embora ln x seja uma função crescente, o seu crescimento é muito lento para x > 1. ln x cresce mais lentamente que qualquer potência de x. 51

52 Funções inversas trigonométricas As funções trigonométricas não são um a um e, portanto, não tem inversa. Mas é possível restringir o domínio dessas funções de forma a torná-las um a um. Exemplo: função seno não é um a um. Mas a função f(x) = sen x, -π /2 x π /2 é um a um! 52

53 Função inversa do seno Função inversa do seno ou arcsen: 1 sen π /2 y π / 2 O cancelamento de equações torna-se: x=y sen y=x, sen-1(sen x) = x, para -π /2 x π /2 sen(sen-1 x) = x, para 1 x 1 A função inversa do seno tem domínio [-1;1] e imagem [-π /2; π /2] 53

54 Função inversa do cosseno Função inversa do cosseno ou arccos: 1 cos 0 y π As equações de cancelamento são: x=y cos y=x, cos-1(cos x) = x, para 0 x π cos(cos-1 x) = x, para 1 x 1 A função inversa do cosseno tem domínio [-1;1] e imagem [0; π ] 54

55 Função inversa da tangente Função inversa da tangente ou arctg: tg 1 x=y tg y=x π / 2 y π / 2 A função inversa da tangente tem domínio R e imagem [-π /2; π /2]. 55

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Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

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