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1 Esboço de Curvas Material online: h-p://

2 Roteiro para esboçar uma curva A. Verifique o domínio da função Exemplo: f(x) = 1 x {x x = 0}

3 Roteiro para esboçar uma curva B. Intersecções com os eixos Intersecção com o eixo y: (0, f(0)) Exemplo: f(x) = x 2-1 f(0) = = -1 (0,-1) é intersecção com o eixo y Intersecção com o eixo x: { (x, f(x)) f(x) = 0 } Exemplo: f(x) = x - 1 f(x) = 0 x 1 = 0 x = 1 (1, 0) é intersecção com o eixo y

4 Roteiro para esboçar uma curva C. Simetria Funções pares: f(x) = f(-x) Exemplo: f(x) = x 2 f(-x) = (-x) 2 = x 2 =f(x) Funções ímpares: f(-x) = -f(x) Exemplo: f(x) = x 3 f(-x) = (-x) 3 = -x 3 = -f(x)

5 Roteiro para esboçar uma curva C. Simetria Funções periódicas: f(x+p) = f(x), p constante.

6 Roteiro para esboçar uma curva D. Assíntotas Assíntotas horizontais: Se lim f(x) =L ou lim f(x) =L, y = L é assíntota horizontal. x x Assíntotas verticais: Retas do tipo x = a, onde lim f(x) =± x a + ou lim x a f(x) =±

7 Roteiro para esboçar uma curva E. Intervalos de crescimento e decrescimento Calcule f (x) e os intervalos onde ela é positiva e negativa F. Valores máximos e mínimos locais 1. Encontre os pontos críticos de f { c f (c) = 0 ou f (c) não existe} 2. Use o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada G. Concavidade e ponto de inflexão Calcule f (x) e verifique seu sinal. H. Esboce a curva 1. Coloque as assíntotas tracejadas 2. Marque as intersecções com os eixos, pontos de máximo e mínimo e inflexão 3. Desenhe a curva por esses pontos, subindo ou descendo de acordo om E e G

8 A. Domínio: B. Intersecções com os eixos f(0) = 0 (0, 0) f(x) = 0 x = 0 (0, 0) C. Simetria Função par, pois f(x) = f(-x)

9 D. Assíntotas: y = 2 é assíntota horizontal Assíntotas verticais: a lim f(x) =± x a ± (a 2-1) = 0 a = ±1 são as assíntotas verticais

10 E. Crescimento e decrescimento: Quando x < 0, f (x) > 0 Quando x > 0, f (x) < 0 f crescente f decrescente F. Máximos e mínimos locais: Ponto crítico: f (x) = 0 x = 0 Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = 0 é o valor máximo.

11 G. Concavidade: Concavidade para cima Concavidade para baixo Não há ponto de inflexão, pois x = ±1 não faz parte do domínio de f.

12 Domínio: Intersecções com os eixos: (0,0) Simétrica em relação ao eixo y y = 2 é assíntota horizontal são as assíntotas verticais Quando x < 0 Quando x > 0 f é crescente f é decrescente Concavidade para baixo Concavidade para cima x = 0 é ponto de máximo local f(0) = 0 é o valor máximo local

13 A. Domínio: B. Intersecções com os eixos f(0) = 0 (0, 0) f(x) = 0 x = 0 (0, 0) C. Simetria Não há.

14 D. Assíntotas: lim x x 2 x +1 = lim x x 2 x x = lim x x x = Não há assíntota horizontal. é assíntota vertical.

15 E. F. Crescimento, decrescimento, máximos e mínimos locais: = 2x(x + 1) 1 2 x2 (x + 1) 3 2 = 4x(x + 1) x2 2(x + 1) 3 2 2(x + 1) 3 2 > 0 3x +4> 0 x> 4 3 f (x) < 0 (f decrescente) quando -1 < x < 0 f (x) > 0 (f crescente) quando x > 0 f (x) = 0 quando x = 0 Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo.

16 G. Concavidade = 3x2 +4x 2(x + 1) 3 2 4(x + 1) 5 2 > 0 3x 2 +8x +8> 0 = = 32 (seu determinante é negativo e o coeficiente de x 2 é positivo) Logo, f (x) > 0 para x > -1 e f sempre tem concavidade para cima Não há ponto de inflexão

17 Domínio: x > -1 Intersecções com os eixos: (0,0) é assíntota vertical. x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo local. f é decrescente quando -1 < x < 0 f é crescente quando x > 0 f sempre tem concavidade para cima

18 Domínio: Intersecções com os eixos: f(0) = 0.e 0 = 0 f(x) = 0 xe x = 0 x = 0 (0,0) intersecta os eixos Simetria: Não há. Assíntotas horizontais: lim x xex = 0 Aplicando a Regra de L Hospital: y = 0 é assíntota horizontal. Não há assíntota vertical.

19 Crescimento e decrescimento: e x > 0 para todo x x < -1 f (x) < 0 f decrescente x > -1 f (x) > 0 f crescente Máximos e mínimos locais: f (x) = 0 (x+1)e x = 0 x = -1 Pelo Teste da Primeira Derivada, x = -1 é ponto de mínimo local e f(-1) = -e -1 é o mínimo local.

20 Concavidade: e x > 0 para todo x x < -2 f (x) < 0 concavidade para baixo x > -2 f (x) > 0 concavidade para cima Ponto de inflexão: (-2, f(-2)) = (-2, -2e -2 )

21 Domínio: Intersecções com os eixos: (0,0) y = 0 é assíntota horizontal. Quando x < -1 Quando x > -1 f é decrescente f é crescente (-1, -e -1 ) é mínimo local. x < -2: concavidade para baixo x > -2: concavidade para cima Ponto de inflexão: (-2, -2e -2 )

22 Domínio: Simetria: Par? Ímpar? f(x+2π) = f(x). Função periódica. Intersecções com os eixos: eixo y: eixo x: f(0) = 2 cos (0) + sen (2.0) = 2 f(x) = 0 2 cos x +sin2x =0 2 cos x +2sinx cos x =0 2 cos x (1 + sin x) =0 cos x =0 x = π 2 + k π, k inteiro. (1 + sin x) =0 sin x = 1 x = 3π 2 +2kπ, k inteiro. No intervalo [0, 2π], temos os pontos de intersecção: (0, 2), π 2, 0, 3π 2, 0.

23 Assíntotas horizontais: Não há. lim f(x) =? x ± Assíntotas verticais: Não há. Não há número a tal que lim f(x) =± x a ±

24 Crescimento e decrescimento: f (x) =0 2 sin(x) 1=0 ou sin(x)+1=0 sin(x) = 1 2 sin(x) = 1 x = π 6 ou x = 5π 6 ou x = 3π 2 crescendo decrescendo crescendo crescendo

25 Mínimos e Máximos Locais f (x) =0 2 sin(x) 1=0 ou sin(x)+1=0 sin(x) = 1 2 sin(x) = 1 x = π 6 ou x = 5π 6 ou x = 3π 2 crescendo decrescendo crescendo crescendo Pelo Teste da Primeira Derivada: x = π 6 é máximo local x = 5π é mínimo local 6

26 Concavidade: = 2 cos x(1 + 4 sin x) = 2 cos x 4 2 sin x cos x cos x = 0 x = π/2 ou x = 3π/ sen x = 0 sen x = -1/4 x = α 1 ou x = α 2 (0, π/2) (π/2, α 1 ) (α 1, 3π/2) (3π/2, α 2 ) (α 2, 2π) f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) < 0

27 Concavidade: (0, π/2) f (x) < 0 concavidade para baixo (π/2, α 1 ) f (x) > 0 concavidade para cima (α 1, 3π/2) f (x) < 0 concavidade para baixo (3π/2, α 2 ) f (x) > 0 concavidade para cima (α 2, 2π) f (x) < 0 concavidade para baixo Pontos de inflexão: x = π/2, α 1, 3π/2 e α 2

28 (0, π/2) f (x) < 0 concavidade para baixo Pontos de inflexão: x = π/2, α 1, 3π/2 e α 2 (π/2, α 1 ) (α 1, 3π/2) (3π/2, α 2 ) f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 concavidade para cima concavidade para baixo concavidade para cima Intersecção com eixos: π (0, 2), 2, 0, 3π 2, 0. (α 2, 2π) f (x) < 0 concavidade para baixo x = π 6 x = 5π 6 é máximo local é mínimo local crescendo decrescendo crescendo crescendo f( π 6 )=3 3 2 f( 5π 6 )= 3 3 2

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30 Domínio: Intersecções com os eixos: eixo y: f(0) = ln 4 eixo x: f(x) = 0 ln (4 x 2 ) = 0 4-x 2 = 1 x = ± 3 Simetrias: função par: ln(4 x 2 ) = ln(4 (-x) 2 ) função simétrica em relação ao eixo y Assíntotas horizontais: Não há. Assíntotas verticais: x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais

31 Crescimento e decrescimento: -2 < x < 2 4-x 2 > 0 x < 0 f (x) > 0 f crescendo x > 0 f (x) < 0 f decrescendo Ponto crítico: x = 0 Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = ln(4) é o valor máximo.

32 Concavidade: f (x) < 0 para todo x em (-2, 2). f tem concavidade para baixo. Não existem pontos de inflexão.

33 Domínio: Intersecções com os eixos: (0, ln 4), (± 3, 0) Função simétrica em relação ao eixo y x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais x < 0 f (x) > 0 f crescendo x > 0 f (x) < 0 f decrescendo (0, ln 4) é máximo local f tem concavidade para baixo. Não existem pontos de inflexão.

34 Domínio: Intersecções com os eixos: (0, ln 4), (± 3, 0) Função simétrica em relação ao eixo y x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais x < 0 f (x) > 0 f crescendo x > 0 f (x) < 0 f decrescendo (0, ln 4) é máximo local f tem concavidade para baixo. Não existem pontos de inflexão.

35 Assíntotas oblíquas A distância vertical entre uma reta y = mx + b e y = f(x) se aproxima de 0 no infinito. Ocorre em funções racionais quando o grau do numerador é um a mais que o grau do denominador.

36 Domínio: Intersecções com os eixos: eixo y: f(0) = 0 eixo x: f(x) = 0 x = 0 Simetrias: função ímpar: f(x) = - f(-x) Assíntotas verticais: Assíntotas horizontais: Não há, pois o denominador nunca se anula. Não há, pois lim = ± x ±

37 Assíntotas oblíquas: x 3 x x x 3 = x (x 2 + 1) x x 3 (x 2 + 1) = x x (x 2 + 1) f(x) =x x (x 2 + 1) quando é assíntota oblíqua, pois, m = 1, b = 0.

38 Crescimento e decrescimento f (x) > 0 para todo x f sempre cresce. Não há máximos e mínimos locais.

39 Concavidade = x4 +3x 2 (x 2 + 1) 2 f (x) = 0 x = 0 ou CB CC CB CC Pontos de inflexão: ( 3, 3 3, (0, 0), 4 ) ( 3, )

40 Domínio: Intersecções com os eixos: (0, 0) função ímpar assíntota oblíqua: f sempre cresce Pontos de inflexão CB CC CB CC Pontos de inflexão: ( 3, 3 3, (0, 0), 4 ) ( 3, )

41 Domínio: Intersecções com os eixos: eixo y: f(0) = 1 eixo x: Simetrias: f(x) = 0 Não há. e x = x (não há solução) Assíntotas verticais: Não há. Assíntotas horizontais: Não há., pois:

42 Assíntotas oblíquas: lim x ± [ex x (mx + b)] = 0 Tome m =-1, b = 0 e x lim x [ex x + x)] = lim x ex =0 A reta y = -x é assíntota oblíqua.

43 Crescimento e decrescimento: f (x) =e x 1 f (x) > 0 e x > 1 x > 0 f crescendo x < 0 f decrescendo Ponto crítico: x = 0 Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo e f(0) = 1 é o valor mínimo.

44 Concavidade f (x) =e x 1 f (x) = e x e x > 0 para todo x. f tem concavidade sempre para cima Não há ponto de inflexão.

45 Domínio: Intersecções com os eixos: (0, 1) Assíntota oblíqua: y = -x x > 0 f crescendo lim x [ex x + x)] = 0 x < 0 f decrescendo (0, 1) é mínimo local f tem concavidade sempre para cima

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