Cálculo Diferencial e Integral I CDI I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa de ites laterais 2 Limites envolvendo sen θ θ 3 Limites finitos quando x ± 4 Limites no infinito de funções racionais a Assíntotas horizontais e verticais b Assíntotas obíquas

2 Introdução Limites laterais e ites envolvendo o infinito: Limites Laterais: os ites quando x se aproxima do número x 0 pela esquerda (x < x 0 ) ou pela direita (x > x 0 ) apenas. Limites envolvendo o infinito: análise gráfica de funções racionais e de funções que apresentam comportamento de ite à medida que x ±.

3 Limites Laterais Ideia: Para termos f(x) = L, f(x) deve ser definida em ambos os lados x x0 de x 0 e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de x 0 de cada lado. Por isso, ites comuns são bilaterais Se f(x) não tem um ite bilateral em x 0, ainda pode ter um ite lateral, ou seja, um ite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Qual o comportamento do ite quando x 0 x x?

4 Limite lateral à direita Ideia : Se f(x) é definica num intervalo (x 0, x 0 + δ), onde x 0 < x 0 + δ e se f(x) fica arbritariamente próximo de L conforme x se aproxima de x 0 nesse intervalo, então f tem ite lateral à direita L em x 0. Escrevemos: x x + o f(x) = L x x + o significa que consideramos apenas valores de x maiores que x 0. Assim, x x 0 + x = 1

5 Limite lateral à esquerda Analogamente: Se f(x) é definido num intervalo (x 0 δ, x 0 ), onde x 0 δ < x 0 e se f(x) fica arbritariamente próximo de M, conforme x se aproxima de x 0 nesse intervalo, então f tem ite lateral à esquerda M em x 0. Escrevemos: x x o f(x) = M x x o significa que consideramos apenas valores de x menores que x 0. Assim, x x 0 x = 1 1 Exemplo: Considere f(x) = r 2 x 2. Analise os ites laterais em r e r.

6 Teorema Teorema: Uma função f(x) terá um ite quando x se aproxima de x 0 se e somente se tiver um ite lateral à direita e um à esquerda, e os dois ites laterais forem iguais: f(x) = L x 0 f(x) = L e f(x) = L x 0 + x 0 2 Exemplo: Seja Determine: a) f(x) x 2 + b) f(x) x 2 c) f(2) f(x) = 3 x, x < 2 2, x = 2 x 2, x > 0 d) Existe x 2 f(x)? e) Se existe, qual? f) Se não, por quê?

7 Definição precisa de ites laterais Dizemos que f(x) tem um ite à di- Limites à direita e à esquerda: reita L em x 0 e escrevemos x x + 0 f(x) = L se para qualquer número ɛ > 0 existe um número correspondente δ > 0, de maneira que, para todos os valores de x, x 0 < x < x 0 + δ = f(x) L < ɛ. Dizemos que f(x) tem um ite à esquerda L em x 0 e escrevemos x x 0 f(x) = L se para qualquer número ɛ > 0 existe um número correspondente δ > 0, de maneira que, para todos os valores de x, x 0 δ < x < x 0 = f(x) L < ɛ.

8 Limites laterais à direita Ilustração Gráfica

9 Limites laterais à esquerda Ilustração Gráfica

10 Exemplos 3 Exemplo: Calcule os ites abaixo: a) x 1 + 2x(x 1) x 1 b) x 1 2x(x 1) x 1 4 Exemplo: y = sen ( ) 1 x

11 Limite envolvendo sen(θ) θ Ideia: Medindo em radianos, seu ite quando θ 0 é 1. Teorema: sen θ θ 0 θ = 1 (θ em radianos ) 5 Exemplo: Calcule os ites abaixo: a) x 0 1 cos x x 2 b) x 0 sen 3x x

12 Limite quando x ± : O símbolo para o infinito não representa um número real. Representa o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam qualquer itante. Definição: 1. Dizemos que f(x) possui o ite L quando x tende ao infinito e escrevemos: f(x) = L x se, para cada número ɛ > 0, existe um número M correspondente tal que, para todos os valores de x, x > M = f(x) L < ɛ 2. Dizemos que f(x) possui o ite L quando x tende a menos infinito e escrevemos: x f(x) = L se, para cada número ɛ > 0, existe um número N correspondente tal que, para todos os valores de x, x < N = f(x) L < ɛ

13 Gráfico da função f(x) = 1 x

14 f(x) = 1 x 6 Exemplo: Demonstre que 1 a) x x = 0 a) x 1 x = 0

15 Leis do ite quando x ± Teorema: Se L, M e k são números reais e f(x) = L e g(x) = M x ± x ± então 1. Regra da soma f(x) + g(x) = L + M; x ± f(x) g(x) = L M; 2. Regra da diferença: x ± 3. Regra do produto: x ± f(x) g(x) = L M; 4. Regra da multiplicação por constante: x ± (k f(x)) = k L; f(x) 5. Regra do quociente: x ± g(x) = L M, M 0; 6. Regra da potenciação: Se r e s são inteiros e não têm fatores comuns, = L r s ; desde que L r s s 0, então: (f(x)) r s x ± 7 Exemplo: Aplique as regras para ites quando x ± a) x ( π + 1 x ) b) x e x 3 seja um número real.

16 Limites no infinito de funções racionais P (x) Idea: Para calcular, podemos dividir o numerador e o denominador x ± Q(x) pela maior potência de x que aparece no denominador. 8 Exemplo: Numerador e denominador de mesmo grau: x ± 2x 2 5 3x 2 + x + 2 ; 9 Exemplo: Grau (numerador) < grau (denominador): x ± 2x 2 5 3x 4 + x + 2 ; 10 Exemplo: Grau (numerador) > grau (denominador): x ± 2x 3 5 3x 2 + x + 2 ;

17 Assíntotas Horizontais e Verticais Idea: Vejamos a seguinte função f(x) = 1. Note que: x 1 i) x x = 0 e 1 x x = 0. Nesse caso dizemos que y = 0 é uma assíntota horizontal de f(x). 1 1 ii) = + e x 0 + x x 0 x =. Nesse caso dizemos que x = 0 é uma assíntota vertical de f(x).

18 Definição de Assíntotas Horizontais e Verticais Definição: A reta y = b é uma assíntota horizontal de y = f(x) se: f(x) = b ou f(x) = b x x A reta x = a é uma assíntota vertical de y = f(x) se: x a x a f(x) = ± ou f(x) = ± +

19 Exexmplo e Assíntotas Obíquas 11 Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico y = x + 3 x + 2. Assíntota Obĺıquas: Caso numerador de uma função tenha um grau maior do que o denominador, o gráfico apresentará uma assíntota obĺıqua (inclinada). Encontramos uma equação para a assíntota dividindo o numerador pelo denominador para expressar f como uma função linear mais um resto que é igual a zero quando x Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico y = x2 4 x 1.

20 Definição precisa de ites infinitos Definição: 1. Dizemos que f(x) tende ao infinito quando x tende a x 0 e escrevemos x x 0 f(x) = se para cada número real positivo B existe um δ > 0 correspondente tal que para todo x 0 < x x 0 < δ = f(x) > B 2. Dizemos que f(x) tende a menos infinito quando x tende a x 0 e escrevemos x x 0 f(x) = se para cada número real negativo B existe um δ > 0 correspondente tal que para todo x 0 < x x 0 < δ = f(x) > B

21 Definição precisa de ites infinitos Graficamente

22 Assíntota Vertical Definição: Uma reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função y = f(x) se x a x a f(x) = ± e f(x) = ± + Assíntotas não bilaterais: y = e x e y = ln x

23 Curvas com infinitas assíntotas