Área e Teorema Fundamental do Cálculo

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Área e Teorema Fundamental do Cálculo Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Área e Teorema Fundamental do Cálculo 1.Introdução 2.Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região 3.Aproximação de uma área por uma soma de Riemann 4.Aproximação da área de um triângulo 5.Aumento do número de subintervalos 6.Áreas de figuras geométricas usuais 7.Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição 8.Cálculo de uma área pelo teorema fundamental 9.Funções pares e funções ímpares

3 1. Introdução Começaremos mostrando como a área de uma região plana pode ser aproximada por meio de retângulos.

4 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Exemplo 1: Utilize os quatro retângulos indicados na figura a seguir para aproximar a área compreendida entre o gráfico de f ( x) = x 2 2 e o eixo x, de x = 0 a x = 4.

5 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região

6 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Podemos determinar as alturas dos retângulos calculando a função f no ponto médio de cada subintervalo [ 0,1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 3 ], [ 3, 4]

7 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Como a largura de cada retângulo é 1, a soma das áreas dos quatro retângulos é alt. alt. alt. alt. larg. larg. larg. larg S = ( 1) f + ( 1) f + ( 1) f + ( 1) f S = = = 10, Este valor (10,5) é uma aproximação da área da região dada.

8 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região OBSERVAÇÃO: A técnica de aproximação utilizada no Exemplo 1 é chamada Regra do Ponto Médio.

9 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região É possível generalizar o processo ilustrado no Exemplo 1. Seja f uma função contínua definida no intervalo fechado [a, b]. Para começar, subdividimos o intervalo em n subintervalos, cada um com amplitude ( ) x = b a n a = x < x < x < < x < x = b n 1 n

10 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Em cada subintervalo [x i-1, x i ], escolhemos um ponto arbitrário c, e formamos a soma ( ) ( ) ( ) ( ) S = f c x + f c x + + f c x + f c x 1 2 n 1 Esse tipo de soma é chamado uma soma de Riemann, e costuma ser escrito com notação de somatório: n i = 1 ( ) S = f ci x n

11 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Para a soma de Riemann no Exemplo 1, o intervalo é [a, b] = [0, 4], o número de subintervalos é n = 4, a amplitude de cada subintervalo é Dx = 1, e o ponto c i de cada subintervalo é seu ponto médio.

12 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região Podemos, assim, escrever a aproximação do Exemplo 1 como i i = 1 i = 1 n i = 1 ( ) S = f ci x n S = f ( c ) x = f ( c ) ( 1) i = =

13 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann Exemplo 2: Utilize uma soma de Riemann para aproximar a área da região delimitada pelo gráfico da função f (x) = -x 2 + 2x e o eixo x, para 0 x 2. Na soma de Riemann, faça n = 6 e escolha c i como o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo.

14 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann Vamos subdividir o intervalo [0, 2] em seis subintervalos, cada um com amplitude x = = 6 3 conforme a figura a seguir.

15 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann

16 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann Como c i é o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo, a soma de Riemann é dada por n i = 1 ( ) S = f ci x S = f ( 0) + f + f + f ( 1) + f + f S = =

17 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann O Exemplo 2 ilustra um ponto importante. Se uma função f é contínua e não-negativa no intervalo [a, b], a soma de Riemann n i = 1 ( ) S = f ci x pode ser usada para aproximar a área da região entre o gráfico de f e o eixo x, de x = a a x = b.

18 3. Aproximação de uma área por uma soma de Riemann Além disso, para um dado intervalo, na medida em que o número de subintervalos aumenta, melhora a aproximação da área efetiva. Este fato é ilustrado nos dois próximos exemplos com a utilização de uma soma de Riemann para aproximar a área de um triângulo.

19 4. Aproximação da área de um triângulo Exemplo 3: Com uma soma de Riemann, aproxime a área da região triangular delimitada pelo gráfico de f (x) = 2x e o eixo x, 0 x 3. Utilize uma partição de seis subintervalos e escolha c i como o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo.

20 4. Aproximação da área de um triângulo Vamos subdividir o intervalo [0, 3] em seis subintervalos, cada um com amplitude x = = 6 2 conforme a figura a seguir.

21 4. Aproximação da área de um triângulo

22 4. Aproximação da área de um triângulo Como c i é o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo, a soma de Riemann é dada por n i = 1 ( ) S = f ci x S = f ( 0) + f + f ( 1) + f + f ( 2) + f S [ ] 1 = = 2 2

23 4. Aproximação da área de um triângulo OBSERVAÇÃO: As aproximações nos Exemplos 2 e 3 são chamadas somas de Riemann à esquerda, porque escolhemos c i como o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo. Se tivéssemos escolhido os pontos extremos à direita no Exemplo 3, a soma de Riemann à direita teria sido 21/2 (Verifique!).

24 4. Aproximação da área de um triângulo Como c i é o ponto extremo direito de cada subintervalo, a soma de Riemann é dada por n i = 1 ( ) S = f ci x S = f + f ( 1) + f + f ( 2) + f + f ( 3) S [ ] 1 = = 2 2

25 4. Aproximação da área de um triângulo Note que a área exata da região triangular do Exemplo 3 é 1 1 Área = ( base) ( altura) = ( 3) ( 6) = Assim, a soma de Riemann à esquerda nos dá uma aproximação por falta de verdadeira área, enquanto a soma de Riemann à direita dá uma aproximação por excesso da referida área.

26 4. Aproximação da área de um triângulo f ( x) = x 2

27 4. Aproximação da área de um triângulo No Exemplo 4 mostraremos que a aproximação melhora à medida que aumenta o número de subintervalos.

28 5. Aumento do número de subintervalos Exemplo 4: Seja f (x) = 2x, 0 x 3. Com o auxílio de uma planilha eletrônica, determine as somas de Riemann à direita e à esquerda para n = 10, n = 100 e n = subintervalos.

29 5. Aumento do número de subintervalos n Soma de Riemann à Esquerda Soma de Riemann à Direita 6 7, , , , , , , , , , , , , , , , , ,000009

30 5. Aumento do número de subintervalos Os resultados do Exemplo 4 sugerem que as somas de Riemann tendem para o limite 9 quando n tende para o infinito. É esta observação que motiva a seguinte definição de integral definida. Nesta definição, consideramos a partição de [a, b] em n subintervalos de igual amplitude ( ) x = b a n a = x < x < x < < x < x = b n 1 n

31 5. Aumento do número de subintervalos Além disso, tomamos c i como um ponto arbitrário no i mo subintervalo [x i-1, x i ]. Dizer que o número de subintervalos tende para infinito equivale a dizer que a amplitude, Dx, dos subintervalos tende para zero.

32 5. Aumento do número de subintervalos Definição de Integral Definida Se f é uma função contínua definida no intervalo fechado [a, b], a integral definida de f em [a, b] é b n n f ( x) dx = lim f ( c ) x = lim f ( c ) x 0 a i x n i = 1 i = 1 i

33 5. Aumento do número de subintervalos OBS 1: Se f é contínua e não-negativa no intervalo [a, b], a integral definida de f em [a, b] dá a área da região delimitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas verticais x = a e x = b. OBS 2: O cálculo de uma integral definida por meio de sua definição como limite pode ser difícil. Entretanto, há ocasiões em que podemos resolver uma integral definida reconhecendo nela a área de uma figura geométrica comum.

34 6. Áreas de figuras geométricas usuais Exemplo 5: Faça um esboço da região correspondente a cada uma das integrais definidas a seguir. Calcule então cada integral utilizando uma fórmula geométrica a. 4 dx b. ( x + 2) dx c. 4 x dx 1 0 2

35 6. Áreas de figuras geométricas usuais

36 6. Áreas de figuras geométricas usuais a. A região associada a esta integral definida é um retângulo de altura 4 e largura 2. Além disso, como a função f(x) = 4 é contínua e não-negativa no intervalo [1, 3], concluímos que a área do retângulo é dada pela integral definida. Assim, o valor da integral definida é 4dx = 4 (2) = 8 1 3

37 6. Áreas de figuras geométricas usuais b. A região associada a esta integral definida é um trapézio com altura 3 e bases paralelas de comprimentos 2 e 5. A fórmula da área de um trapézio é ½h(b 1 + b 2 ); temos, pois, ( x + 2) dx = (3) (2 + 5) = 2 2

38 6. Áreas de figuras geométricas usuais c. A região associada a esta integral definida é um semicírculo de raio 2. A área é, pois, ½πr 2, e temos 1 4 x dx = π (2) = 2π

39 6. Áreas de figuras geométricas usuais Para algumas funções simples é possível calcular integrais definidas pela definição como soma de Riemann. No próximo exemplo, recorremos ao fato de que a soma dos n primeiros números inteiros é dada pela fórmula n = i = 1 2 n i = 1 n ( n + 1) 2 para calcular a área da região triangular dos Exemplos 3 e 4.

40 6. Áreas de figuras geométricas usuais Para demonstrar a expressão anterior, observe os passos a seguir: S = ( n 2) + ( n 1) + n S = n + ( n 1) + ( n 2) Adicionando os dois somatórios, obtemos: 2 S = ( n + 1) + ( n + 1) + + ( n + 1) n vezes

41 6. Áreas de figuras geométricas usuais Portanto, concluímos que 2 S = n ( n + 1) S = n ( n + 1) 2 n i = 1 i = n ( n + 1) 2

42 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Exemplo 6: Calcule a integral definida 3 0 2x dx Seja ( b a) 3 x = = n n e selecionemos c i como o ponto extremo esquerdo de cada subintervalo. c i = 3 i n

43 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição n n 2 lim ( ) lim x dx = f ci x = i x n i = 1 i = 1 n n n n ( n + 1) = lim i = lim n 2 2 n n i = 1 n n n 9 = lim + = lim 9 + n 2 n 2 2 n n

44 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Em particular, quando n tende para infinito, vemos que 9/n tende para zero, e o limite é 9. Concluímos, pois, que 3 2 x dx = 9 0

45 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Pelo Exemplo 6, vemos que pode ser difícil calcular, por somas de Riemann, a integral definida até de funções bastante simples. Um computador pode auxiliar no cálculo de tais somas para valores grandes de n, mas tal processo daria apenas uma aproximação da integral definida.

46 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Felizmente, o Teorema Fundamental do Cálculo nos dá uma técnica para o cálculo de integrais definidas utilizando antiderivadas, e por esta razão costuma ser considerado o teorema mais importante do cálculo. Vamos mostrar como as derivadas e as integrais estão inter-relacionadas através do Teorema Fundamental do Cálculo.

47 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Vamos supor que f é uma função contínua e não-negativa definida no intervalo [a, b]. Seja A (x) a área sob o gráfico de f de a a x, conforme a figura abaixo. A (x)

48 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição A área sob a região sombreada na figura abaixo é A (x + x) A (x). A (x + x) A (x)

49 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Se x é pequeno, então esta área é dada aproximadamente pela área do retângulo de altura f (x) e largura x. Temos, assim, A (x + x) A (x) f (x) x. Dividindo por x, vem f ( x) A( x + x) A( x) x

50 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Passando ao limite quando x tende para zero, vemos que A( x + x) A( x) f ( x) = lim = A ( x) x 0 x Estabelecemos, assim, o fato de que a função área A(x) é uma antiderivada de f. Embora tenhamos suposto f contínua e não-negativa, o desenvolvimento acima é válido desde que a função f seja simplesmente contínua no intervalo fechado [a, b]. Utilizamos este resultado na prova do Teorema Fundamental do Cálculo.

51 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Teorema Fundamental do Cálculo Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então b f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) a onde F é uma função arbitrária tal que F (x) = f (x) para todo x em [a, b].

52 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição O Teorema Fundamental estabelece que se conhecermos uma antiderivada F de f, então podemos calcular b f ( x ) dx a simplesmente subtraindo os valores de F nos extremos do intervalo [a, b]. É muito supreendente que a integral acima, definida por um procedimento complicado envolvendo todos os valores de f (x) para a x b, pode ser encontrado sabendo-se os valores de F (x) em somente dois pontos, a e b.

53 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Embora o teorema possa ser surpreendente à primeira vista, ele fica plausível se o interpretarmos em termos físicos. Se v (t) for a velocidade de um objeto e s (t) for sua posição no instante t, então v (t) = s (t), portanto s é umaantiderivadadev. Para um objeto que se move sempre no sentido positivo, a área sob a curva da velocidade é igual a distância percorrida. Em símbolos b ( ) ( ) v ( t ) dt = s b s a a

54 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Cabem três comentários sobre o Teorema Fundamental do Cálculo. 1. O Teorema Fundamental do Cálculo indica uma maneira de calcular uma integral definida, e não um processo para achar antiderivadas. 2. Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, é conveniente utilizar a notação b f ( x) dx = F( x) = F( b) F( a) a ] b a

55 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição 3. A constante de integração C pode ser omitida porque b [ ] f ( x) dx = F( x) + C a [ F( b) C] [ F( a) C] = + + = F( b) F( a) + C C = F( b) F( a) b a

56 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição No estabelecimento do Teorema Fundamental do Cálculo, supusemos f não-negativa no intervalo fechado [a, b]. Como tal, a integral definida foi definida como uma área. Mas, com o Teorema Fundamental do Cálculo, a definição pode ser estendida de modo a incluir funções que são negativas em todo o intervalo fechado [a, b] ou em parte dele.

57 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Especificamente, se f é uma função arbitrária que é contínua em um intervalo fechado [a, b], então a integral definida de f(x) de a a b se define como b f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ), a onde F é uma antiderivada de f. Tenha em mente que as integrais definidas não representam necessariamente áreas, podendo ser negativas, zero ou positivas.

58 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição OBS: É importante distinguir entre integrais indefinidas e integrais definidas. A integral indefinida f ( x) dx denota uma família de funções, cada uma das quais é uma antiderivada de f, ao passo que a integral definida é um número. b f ( x ) dx a

59 7. Cálculo de uma integral definida por meio de sua definição Propriedades das Integrais Definidas Sejam f e g contínuas no intervalo fechado [a, b]. b 1. k f ( x) dx = k f ( x) dx, k b é uma constante a [ ] a b b b 2. f ( x) ± g( x) dx = f ( x) dx ± g( x) dx a a a b c b 3. f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx, a < c < b a a c a 4. f ( x ) dx = 0 a b a 5. f ( x) dx = f ( x) dx a b

60 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Exemplo 7: Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de 2 f ( x) = x 1, 1 x 2

61 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Note que f (x) 0 no intervalo 1 x 2, conforme a figura a seguir. Portanto, podemos representar a área da região por uma integral definida. Para calcular a área, aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

62 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental

63 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental ( x ) Área = x = x dx ( ) 3 ( ) = = 4 3 Definição de integral definida Determinar a antiderivada Aplicar o Teorema Fundamental Simplificar

64 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Assim, a área da região é 4/3 unidades quadradas. OBS: É fácil cometer erros de sinais no cálculo de integrais definidas. Para evitar tais erros, inclua em conjuntos separados de parênteses os valores da antiderivada nos limites superior e inferior, conforme feito no slide anterior.

65 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Exemplo 8: Calcule a integral definida 1 ( t + ) dt e faça um esboço da região cuja área é representada pela integral.

66 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental

67 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental = 1 t dt t dt Multiplicar e dividir por ( 4 + 1) = ( 4 + 1) ( 4) ( 4t + 1) 3 ( ) 3 ( ) = = Determinar a antiderivada Aplicar o Teorema Fundamental Simplificar

68 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Exemplo 9: Calcule as integrais definidas a. e 3 2x b. dx 1 x dx c. 4 3 x dx 1

69 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental 3 3 2x 1 2x 1 = = ( 6 0 a. e dx e ) e e 201, = ] 2 b. dx ln x = ln2 ln1= ln2 0, x

70 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental 2 c. 3 x dx = 3 x dx Escrever com expoente racional x = 3 = 2 x Determinar a antiderivada ( ) ( ) = = = 14 Aplicar o Teorema Fundamental

71 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental OBS: Pelo Exemplo 4c, vemos que o valor de uma integral pode ser negativo.

72 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Exemplo 10: Calcule a integral definida 2 2 x 1 dx 0

73 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Pela definição de valor absoluto, podemos escrever 2x 1, x 2x 1 = ( 2x 1 ), x < A figura a seguir mostra a região representada pela integral definida.

74 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental

75 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental Aplicando a Propriedade 3 das integrais definidas, podemos escrever a integral como soma de duas integrais definidas.

76 8. Cálculo de uma área pelo teorema fundamental ( ) ( ) 2x 1dx = 2x 1 dx + 2x 1 dx = x + x + x x = + ( 0 + 0) + ( 4 2) = 5 2

77 9. Funções pares e funções ímpares Muitas funções comuns têm gráficos simétricos em relação ao eixo y ou à origem, conforme mostra a figura seguinte. Se o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y, então f ( x) = f ( x), Função par e f é chamada função par.

78 9. Funções pares e funções ímpares Simetria em relação ao eixo y

79 9. Funções pares e funções ímpares Se o gráfico de f é simétrico em relação à origem, conforme a figura a seguir, então f ( x) = f ( x), Função ímpar e f é chamada função ímpar.

80 9. Funções pares e funções ímpares Simetria em relação à origem

81 9. Funções pares e funções ímpares Integração de Funções Pares e de Funções Ímpares 1. Se f é uma função par, então a f x dx a = a 0 ( ) 2 f ( x ) dx 2. Se f é uma função ímpar, então a f ( x ) dx = 0 a

82 9. Funções pares e funções ímpares Exemplo 11: Calcule as integrais definidas a. x dx b. x dx 2 3 2

83 9. Funções pares e funções ímpares a. Como f (x) = x 2 é par, x 8 16 = 2 x dx = 2 = 2 0 = x dx 2 0 b. Como f (x) = x 3 é ímpar, x dx = 0