CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 )

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 0: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente. Objetivos da Aula Denir taxa de variação média e a derivada como a taxa de variação instantânea; Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. Taxa de Variação Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y f(x). Se x variar de x a x 2, então a variação em x (também chamada de incremento) será x 2 x e a variação correspondente em y será De posse destas informações, denimos: y f(x 2 ) f(x ). Denição (Taxa média de variação de y em relação a x). O quociente das diferenças y f(x 2) f(x ) x 2 x é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x, x 2 ] Vejamos alguns exemplos: Exemplo. Consideremos a reação A + B C onde A e B são os reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente A é o número de mols por litro e é denotada por [A]. A concentração varia durante a reação, desse modo, [A], [B] e [C] são funções do tempo t. A taxa média da reação do produto em um intervalo de tempo t t t 2 é dada por [C] t [C](t 2) [C](t ) t 2 t Uma observação importante é que na reação acima, a taxa de reação do produto é positiva e dos reagentes é negativa (Por quê?). Exemplo 2. A temperatura Fahrenheit F é dada em termos da temperatura Celsius C pela fórmula F, 8C Determine a taxa média de variação de F em relação a C quando a temperatura passa de 20 C a 30 C.

2 Considerando o intervalo dado: [20, 30], temos: F C F (30) F (20) , 8 F/ C. Isto signica que no intervalo considerado, cada aumento de C corresponde a um aumento de,8 F, ou seja, a temperatura em Farenheit aumenta,8 vezes mais rapidamente que em Celsius. Exemplo 3. Considere um círculo de área A e raio r. Determine a taxa de variação média da área desse círculo em relação ao seu raio quando r varia de 2 a 2,. Sabemos que A(r) πr 2 Logo, A r A(2, ) A(2) 0, 4, 4π 4π 0, 0, 4π 0, 4, π. Exemplo 4. Se uma barra ou pedaço de o forem homogêneos, sua densidade linear será uniforme e estará denida como a massa por unidade de comprimento. ρ m L onde ρ é a densidade linear, m é a massa e L é o comprimento. Suponha que a barra não seja homogênea, mas que sua massa, medida a partir da extremidade esquerda até um ponto x seja m f(x). A massa da parte da barra que está situada entre x e x 2 é dada por Logo, a densidade média daquela parte da barra é m f(x 2 ) f(x ) m f(x 2) f(x ) x 2 x Considere agora que f(x) 3 x e que x e x 2,. Então, a densidade média da parte da barra entre x e x 2 é dada por m f(, ) f(), 3, 3 0,, 032 0, 0, 032 0, 0, 32kg/m 2 Taxa Instantânea de Variação Se uma quantidade y é função de uma quantidade x, isto é, y f(x), já vimos que a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, no intervalo [x, x + ], é dada por: y f(x + ) f(x ). O "limite" deste quociente, quando 0, isto é, f(x + ) f(x ) lim () e o que denimos como a taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2

3 Exemplo 5. Usando a função dada no Exemplo 3, determine a taxa de variação de A em relação a r quando r 2. r 0. Inicialmente vamos calcular a taxa média de A em relação a C no intervalo [2, 2 + r], com Assim, a taxa instantânea é dada por: Taxa Média A r A(r + r) A(r) r π(r + r)2 πr 2 r πr 2 2πr r + π( r) 2 πr 2 r r(2πr + π r) r 2πr + π r lim (2πr + π r) 2πr r 0 Então se r 2, temos que a taxa instantânea de variação é 4π. Observação. Você observou que a taxa de variação instantânea da área do círculo resultou na expressão do comprimento da circunferência? Você saberia explicar esse fato? Tente explicar geometricamente. Exemplo 6. Considerando a função f(x) dada no exemplo 4, determine a densidade linear exatamente em x. Calculemos a taxa média de variação entre x e x +, isto é: m f( + ) f() 3 + Agora, calculemos o limite das taxas médias de variação para 0. m ρ 3 kg/m ( 3 + ) ( 3 + ) (( 3 + ) ) (( 3 + ) ) ( 3 + ) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3

4 Velocidade e Aceleração Suponha que uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal com sua posição no instante t dada pela função posição x(t). Quando o tempo sofre uma variação de t a t + t, a partícula se move da posição x(t) a x(t + t). O deslocamento da partícula, neste intervalo de tempo, é então dado por: x(t + t) x(t). Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslocamento. Assim, x(t + t) x(t) v t E denimos a velocidade instantânea v da partícula no instante t, como o limite da velocidade média, quando t 0, isto é, x(t + t) x(t) v(t) dx t 0 t dt. (2) De modo análogo, denimos a aceleração a da partícula como a taxa de variação instantânea de sua velocidade: v(t + t) v(t) a(t) dv t 0 t dt. (3) Além desses exemplos, podemos abordar outros que conrmam e enfatizam a importância de estudarmos as taxas de variações instantâneas, entre eles podemos citar ainda: Corrente elétrica Compressibilidade Taxa de crescimento Instantâneo O custo marginal Taxa do uxo de calor Gradiente de temperatura Potência Gradiente de velocidade do sangue Taxa de divulgação de um boato Taxa de desenvolvimento de desempenho Mesmo com nomes diferentes, todos eles são a derivada. Segue a denição de derivada da função f num ponto x p. Denição 2. Seja y f(x) uma função real e p D f. Dizemos que a função f é derivável em x p se existir a taxa de variação instantânea de f em x p e caso ocorra, escrevemos f (p) df f (p) dx f(p + ) f(p) Exemplo 7. O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função: C(x) 0 + 4x + 0, 02x 2 Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x 40. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 A taxa pedida é a derivada da função custo C em x 40. C C (40) 5, 6 C(40 + ) C(40) 0 + 4(40 + ) + 0, 02(40 + ) 2 ( , ) , 6 + 0, 02() , 6 + 0, 02() 2 (4 +, 6 + 0, 02) (4 +, 6 + 0, 02) 3 Derivada e Reta Tangente Começaremos essa seção falando do problema da tangente. A ideia de tangente é conhecido desde os gregos antigos, porém de uma forma um tanto que imprecisa. Nessa seção, procuramos resolver o seguinte problema: Dada uma curva y f(x) como determinar a reta tangente à curva em um ponto P dado?. Então, considere uma função y f(x). Sabemos que, dado um ponto (x 0, f(x 0 )) pertencente à reta, a equação da mesma é dada da forma: y f(x 0 ) m(x x 0 ) Logo, nosso problema se resume em: Determinar o coeciente angular da reta tangente ao gráco da função f(x) no ponto (x 0, f(x 0 )). Desse modo, considere um número x 0 D f e o ponto (x 0, f(x 0 )) sobre o gráco da função, representado pela letra P. Seja x D f e considere o ponto Q como sendo o ponto (x, f(x)). Figura : Gráco de uma Função f Assim, podemos traçar uma reta que liga os dois pontos e notamos que essa reta é secante ao gráco da função f. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

6 Figura 2: Gráco de uma Função f O coeciente angular m Q dessa reta secante é dado por: m Q tg θ f(x) f(x 0) x x 0 Se zermos x se aproximar cada vez mais de x 0, a cada x tomado, temos uma nova reta secante. Figura 3: Gráco de uma Função f Quando o ponto Q se aproxima do ponto P, temos que x x 0. Se m Q tender a algum número, então denimos que a reta tangente ao gráco da curva f no ponto P é a reta que passa em P e possui coeciente angular: f(x) f(x 0 ) m P (4) x x 0 x x 0 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Figura 4: Gráco da reta tangente ao gráco da função f no ponto P Dessa forma, a reta tangente ao gráco de f no ponto (x 0, f(x 0 )) é dada pela equação: y f(x 0 ) m P (x x 0 ) (5) O limite em (4) já foi visto na seção anterior e recebe o nome de derivada. Dessa forma, podemos interpretar geometricamente a derivada de f no ponto x x 0, como sendo o coeciente angular da reta tangente ao gráco de y f(x) no ponto de abscissa x x 0. Observação 2. A derivada está presente na seção anterior como a taxa de variação instantânea e nesta seção como o coeciente angular da reta tangente. Há alguma conexão entre as duas interpretações? Exemplo 8. Seja f(x) x 3.Calcule: a) f (2); df b) dx. x 5 a) f f(x) f(2) (2) x 2 x 2 Então, f (2) x x 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2 + 2x + 4) x 2 x 2 x 2 + 2x + 4 b) Então, df dx 75. x 5 df f( 5 + h) f( 5) dx x 5 ( 5 + h) 3 ( 5) 3 h h 3 5h h h 3 5h h h(h 2 5h + 75) h h 2 5h Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7

8 Exemplo 9. Determine a derivada das funções dadas nos pontos indicados em cada item. a) f(x) x e x 0 3; b) g(x) x e x 0. a) df f(x) f(3) dx x3 x 3 x 3 x 3 x x 3 ( x 3)( x + 3) x 3 x 3 x 3 (x 3)( x + 3) (x 3)( x + 3) x 3 x + 3 b) f f(h ) f( ) ( ) h h h h h h h(h ) h + h Observação 3. Para que não que nenhum resto de dúvida, se faz necessário justicar a ideia de "a reta tangente tocar em um ponto". Isso se dá por que lembramos apenas das retas tangentes a uma circunferência, mas a reta tangente não deve ser entendida como uma reta que toca em apenas um ponto do gráco da função f. Para isso, considere a função f(x) x 3 2x + 3, cujo gráco é: Figura 5: Gráco da função f(x) x 3 2x + 3 A reta tangente ao gráco da função f no ponto (, f()) é Gracamente, y x + Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8

9 Figura 6: Gráco da reta tangente à função f(x) x 3 2x + 3 no ponto (, f()) Mas, note que o ponto ( 2, ) pertence a reta, de fato, pois y( 2) 2 + E a reta y x+ é tangente ao gráco da função f no ponto (, f()). Isso mostra que existem tangentes que tocam em mais de um ponto. Usando a ideia de que o limite é uma propriedade local, podemos armar que existe então uma vizinhança do ponto x 0 na qual a reta tangente toca o gráco da função f, apenas no ponto de abscissa x 0. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 0. Seja f(x) x indicados abaixo: Determine a equação da reta tangente ao gráco de f nos pontos a) (, f()); b) ( 2, f( 2)). a) Note que f() e que f f( + h) f() (h + ) h 2 + 2h () h 2 + 2h h(h + 2) h + 2 h 2 Logo, a equação da reta tangente ao gráco de f no ponto (, f()) é dada por: y 4 2(x ) y 2x + 2 Gracamente, Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9

10 Figura 7: Exemplo b) Note que f( 2) ( 2) , e também que f ( 2) f(x) f( 2) lim x 2 x ( 2) (x 2) x 2 4 (x + 2) x + 2 x x 2 x + 2 x 2 x 2 x 2 4 x 2 x + 2 Dessa forma, a equação da reta tangente ao gráco de f no ponto ( 2, f( 2)) é y 7 4(x ( 2)) y 4x Gracamente, Figura 8: Exemplo 2 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 2.7 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 0

11 Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seção 2.7 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior