Limites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013

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1 Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Limites Prof. Ronaldo Carlotto Batista 7 de outubro de 2013

2 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados como único material didático. O conteúdo apresentado aqui está no capítulo 3 do livro Cálculo A, Flemming & Gonçalves, 6ª Ed (livro texto); ou ainda, alternativamente, no capítulo 2 do livro Cálculo, George B. Thomas, Vol. 1, 11º Ed.

3 Noção Intuitiva de Limite A noção intuitiva de ite aparece, por exemplo, se quisermos calcular a velocidade instantânea de uma partícula. Seja sua posição x (t) dada por x (t) = x 0 + v 0 t at 2. A velocidade média é dada por: v m = x t = x (t 2) x (t 1 ) t 2 t 1.

4 Noção Intuitiva de Limite A noção intuitiva de ite aparece, por exemplo, se quisermos calcular a velocidade instantânea de uma partícula. Seja sua posição x (t) dada por x (t) = x 0 + v 0 t at 2. A velocidade média é dada por: v m = x t = x (t 2) x (t 1 ) t 2 t 1. Tomando, t = h, t 1 = t e h tão pequeno quanto se queira, temos a velocidade instantânea em t dada pelo ite: x (t + h) x (t) v (t) =. h 0 h

5 Noção Intuitiva de Limite A noção intuitiva de ite aparece, por exemplo, se quisermos calcular a velocidade instantânea de uma partícula. Seja sua posição x (t) dada por x (t) = x 0 + v 0 t at 2. A velocidade média é dada por: v m = x t = x (t 2) x (t 1 ) t 2 t 1. Tomando, t = h, t 1 = t e h tão pequeno quanto se queira, temos a velocidade instantânea em t dada pelo ite: Com isso temos: x (t + h) x (t) v (t) =. h 0 h v (t) = v 0 + at.

6 Cálculo dos Limites O ite de uma função f (x) quando x x 0 pode existir mesmo que f (x 0 ) não exista. Vejamos o seguinte exemplo: x 2 1 x 1 x 1.

7 Cálculo dos Limites O ite de uma função f (x) quando x x 0 pode existir mesmo que f (x 0 ) não exista. Vejamos o seguinte exemplo: x 2 1 x 1 x 1. A função não é denida em x = 1, no entanto seu ite existe: x 2 1 x 1 x 1 = 2.

8 Denição Formal de Limite Seja f (x) denida em um aberto em torno de x 0, exceto talvez em x 0. O ite f (x) = L, x x 0 existe se para qualquer ε > 0 existir um δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ f (x) L < ε.

9 Quando o ite não existe? A ideia intuitiva de ite determina o valor para o qual uma função f (x) tende quando x x 0. Em alguns casos, o ite pode não existir, por exemplo: Exemplo 1: Justique porque o ite f (x) não existe. x 0 { 0 se x < 0 f (x) = 1 se x 0

10 Quando o ite não existe? A ideia intuitiva de ite determina o valor para o qual uma função f (x) tende quando x x 0. Em alguns casos, o ite pode não existir, por exemplo: Exemplo 1: Justique porque o ite f (x) não existe. x 0 { 0 se x < 0 f (x) = 1 se x 0 Exemplo 2: Seja g (x) = 1/x, justique porque, segundo a denição formal, o ite x 0 g (x) não existe.

11 Quando o ite não existe? A ideia intuitiva de ite determina o valor para o qual uma função f (x) tende quando x x 0. Em alguns casos, o ite pode não existir, por exemplo: Exemplo 1: Justique porque o ite f (x) não existe. x 0 { 0 se x < 0 f (x) = 1 se x 0 Exemplo 2: Seja g (x) = 1/x, justique porque, segundo a denição formal, o ite x 0 g (x) não existe. Exemplo 3: Seja h (x) = sen (1/x), justique porque o ite x 0 h (x) não existe.

12 Ferramenta: Divisão de Polinômios Funções racionais do tipo f (x) = p (x) /q (x) são denidas em todos os reais, exceto nos pontos x que são raízes do polinômio q (x). Para calcular os ites nesses pontos é preciso fatorar os polinômios para remover as indeterminações. Exemplo: seja f (x) = x 2 + 3x 4 x 2 3x + 2, determine as raízes do polinômio no denominador e

13 Ferramenta: Divisão de Polinômios Funções racionais do tipo f (x) = p (x) /q (x) são denidas em todos os reais, exceto nos pontos x que são raízes do polinômio q (x). Para calcular os ites nesses pontos é preciso fatorar os polinômios para remover as indeterminações. Exemplo: seja f (x) = x 2 + 3x 4 x 2 3x + 2, determine as raízes do polinômio no denominador e determine f (x) e f (x). x 1 x 2

14 Ferramenta: Divisão de Polinômios Funções racionais do tipo f (x) = p (x) /q (x) são denidas em todos os reais, exceto nos pontos x que são raízes do polinômio q (x). Para calcular os ites nesses pontos é preciso fatorar os polinômios para remover as indeterminações. Exemplo: seja f (x) = x 2 + 3x 4 x 2 3x + 2, determine as raízes do polinômio no denominador e determine f (x) e f (x). x 1 x 2 Respostas: f (x) = 5 e f (x) x 1 x 2

15 Leis do Limite Sejam L, M, c e k números reais, f (x) = L e x c g (x) = M. Temos as seguintes Leis dos Limites: x c 1 Limite da Soma: x c [f (x) + g (x)] = L + M 2 Limite da Diferença: x c [f (x) g (x)] = L M 3 Limite do Produto: [f (x) g (x)] = L M x c ] f (x) 4 Limite do Quociente: = L M aqui M 0 x c [ g(x) 5 Multiplicação por constante: x c [k f (x)] = k L 6 Limite da potência: x c [f (x)] r/s = L r/s aqui r e s são inteiros e L r/s deve ser um número real.

16 Exemplo de cálculo de ites Determine os ite abaixo: Exemplo: x 0 x x 2.

17 Teorema do Confronto ou Sanduíche Sejam as funções f (x), g (x) e h (x) tais que g (x) f (x) h (x) em um intervalo aberto em torno de c, exceto possivelmente em x = c. Se [g (x)] = [h (x)] = L, x c x c então [f (x)] = L. x c

18 Teorema do Confronto - Exemplo Suponha que uma função genérica u (x) apresenta a seguinte propriedade para todo x, exceto em x = 0, 1 x 2 u (x) 1 + x 2. Usando o teorema do confronto, determine u (x). x 0

19 Teorema do Confronto - Exemplo Suponha que uma função genérica u (x) apresenta a seguinte propriedade para todo x, exceto em x = 0, 1 x 2 u (x) 1 + x 2. Usando o teorema do confronto, determine Como u (x). x 0 ( ) ( 1 x 2 = ) 1 + x 2 = 1, x 0 x 0 então o Teorema do Confronto estabelece que: u (x) = 1. x 0

20 Limite Fundamental: sen (x) /x x 0 Para determinar esse ite, podemos utilizar o teorema do confronto. A partir de uma construção geométrica, é possível mostrar que sen (x) 1 > > cos (x). x Dado que segue que 1 = cos (x) = 1, x 0 x 0 sen (x) x 0 x = 1.

21 sen (x) /x x 0 Exemplos Determine os seguintes ites: Exemplo 1: x 0 sen (6x) 3x

22 sen (x) /x x 0 Exemplos Determine os seguintes ites: Exemplo 1: sen (6x) x 0 3x Exemplo 2: sen (2x) x 0sen (5x)

23 Limites Laterais Até aqui, tratamos apenas dos ites bilaterais (ou apenas ites). Vamos agora tratar dos ites laterais. f (x) = L é o Limite Bilateral, x x 0 f (x) = L D é o Limite Lateral à Direita, x x + 0 f (x) = L E é o Limite Lateral à Esquerda. x x 0

24 Denição de Limite Lateral Seja f (x) denida em um aberto em torno de x 0, exceto talvez em x 0. O ite lateral à direita f (x) = L, x x + 0 existe se para qualquer ε > 0 existir um δ > 0 tal que x 0 < x < x 0 + δ f (x) L < ε.

25 Denição de Limite Lateral Seja f (x) denida em um aberto em torno de x 0, exceto talvez em x 0. O ite lateral à direita f (x) = L, x x + 0 existe se para qualquer ε > 0 existir um δ > 0 tal que x 0 < x < x 0 + δ f (x) L < ε. O ite lateral à esquerda f (x) = L x x 0 existe se para qualquerε > 0 existir um δ > 0 tal que x 0 δ < x < x 0 f (x) L < ε.

26 Limites Laterais Teorema de Existência do Limite: Seja f (x) uma função real, x 0 um número real, a e b números tais que os intervalos (a, x 0 ) e (x 0, b) estejam contidos em D f. Então f (x) = f (x) = L f (x) = L x x + 0 x x x x0 0

27 Limites Laterais Exemplo Seja a função f (x) = 4 x 2. Determine seu domínio e imagem e faça seu gráco. Determine também, caso existam, os seguintes ites: (x) x 2 +f (x) x 2 +f (x) x 0 +f (x) x 2 f (x) x 2 f (x) x 0 f O que se pode dizer sobre os ites de f (x) nos pontos 2, 2 e 0?

28 Limites no Innito O ite f (x) = L, x existe se o número real L satisfaz a seguinte condição: ε > 0 M > 0 tal que x > M f (x) L < ε.

29 Limites no Innito O ite f (x) = L, x existe se o número real L satisfaz a seguinte condição: O ite ε > 0 M > 0 tal que x > M f (x) L < ε. f (x) = L, x existe se o número real L satisfaz a seguinte condição: ε > 0 N > 0 tal que x < N f (x) L < ε.

30 Limites no Innito Exemplos Determine os ites abaixo: Exemplo 1 x ( x )

31 Limites no Innito Exemplos Determine os ites abaixo: Exemplo 1 Exemplo 2 x ( x ) x 2x 2 + x + 2 x 2 + 2x 1

32 Limites no Innito Exemplos Determine os ites abaixo: Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 x ( x ) 2x 2 + x + 2 x x 2 + 2x 1 x x 2 4x + 2 2x 3 1

33 Limites no Innito Exemplos Exemplo 4 h 2 h + sen (h) h + cos (h)

34 Limites Innitos Quando uma função cresce indenidamente quando x x 0 dizemos que seu valor tende a innito. Podemos representar tal comportamento com o seguinte ite: f (x) =. x x 0

35 Limites Innitos Quando uma função cresce indenidamente quando x x 0 dizemos que seu valor tende a innito. Podemos representar tal comportamento com o seguinte ite: Alguns exemplos básicos são: f (x) =. x x 0 1 x 0 + x = 1 x 0 x = x x 2 = x 0 1 x 2 =

36 Limites Innitos - Exemplos Seja a função determine f (x) = x x 2 1, x 1 (x) e (x) +f f x 1

37 Limites Innitos - Exemplos Seja a função determine Respostas: x 1 f (x) = x x 2 1, (x) e (x) +f f x 1 x 1 (x) = + e (x) = +f f x 1

38 Assíntotas A reta y = b é uma assíntota horizontal da função f (x) se: f (x) = b ou x f (x) = b x

39 Assíntotas A reta y = b é uma assíntota horizontal da função f (x) se: f (x) = b ou x f (x) = b x A reta x = a é uma assíntota vertical da função f (x) se: (x) = ± ou x a +f (x) = ± x a f

40 Assíntotas Exemplo Para as funções dadas abaixo, faça o gráco, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos x e y : Exemplo f (x) = x + 3 x + 2

41 Continuidade Seja uma função f (x) e c D f. Se o ponto c é um ponto interior de D f, dizemos que a função f (x) é contínua no ponto c quando: f (x) = f (c). x c

42 Continuidade Seja uma função f (x) e c D f. Se o ponto c é um ponto interior de D f, dizemos que a função f (x) é contínua no ponto c quando: f (x) = f (c). x c Se o ponto c é um ponto na extreminadade de D f, dizemos que a função f (x) é contínua no ponto c quando: (x) = f (c) ou x c +f (x) = f (c). x c f Neste primeiro caso, a função é dita contínua à direita de c e no segundo é dita contínua à esquerda de c.

43 Continuidade Exemplo Exemplo Seja a função f (x) = 2 se 2 < x < 1 x 2 + x se 1 < x < 0 x se 0 x < 1 x + 1 se x 1 determine seu domínio e imagem e faça seu gráco. Essa função é contínua nos pontos 1, 0 e 1?