Técnicas de. Integração
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- Rachel Amarante
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1 Técnicas de Capítulo 7 Integração
2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO f ( xdx ) a Na definição de integral definida, trabalhamos com uma função f definida em um intervalo limitado [a, b] e supomos que f não tem uma descontinuidade infinita (veja a Seção 5.2). b
3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.8 Integrais Impróprias Nessa seção aprenderemos como resolver integrais definidas nas quais o intervalo é infinito e a função tem uma descontinuidade também infinita.
4 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Nesta seção estendemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em [a, b]. Em ambos os casos, a integral é chamada integral imprópria. Uma das aplicações mais importantes dessa ideia, distribuições de probabilidades, será estudada na Seção 8.5.
5 TIPO 1 INTERVALOS INFINITOS Considere a região infinita S que está sob a curva y = 1/x 2, acima do eixo x e à direita da reta x = 1. Você poderia pensar que, como S tem extensão infinita, sua área deve ser infinita. Mas vamos olhar mais de perto.
6 INTERVALOS INFINITOS A área da parte de S que está à esquerda da reta x = t (sombreado na Figura) é: t At () = dx= = x x 1 t t Observe que A(t) < 1 não importando quão grande seja t.
7 INTERVALOS INFINITOS Também observamos que: 1 lim At ( ) = lim 1 = 1 t t t
8 INTERVALOS INFINITOS A área da região sombreada se aproxima de 1 quando t.
9 INTERVALOS INFINITOS Assim, dizemos que a área da região infinita S é igual a 1 e escrevemos: 1 t 1 dx = lim dx = 1 x x 1 2 t 1 2
10 INTERVALOS INFINITOS Usando esse exemplo como um guia, definimos a integral de ƒ (não necessariamente uma função positiva) sobre um intervalo infinito como o limite das integrais sobre os intervalos finitos.
11 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Definição 1 a t Se f ( xdx ) a existe para cada número t a, então: a f ( xdx ) = lim f( xdx ) t t a desde que o limite exista (como um número finito).
12 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 b f ( xdx ) Se existe para cada número t a, t então: b f ( xdx ) = lim f( xdx ) t desde que o limite exista (como um número finito). t b Definição 1 b
13 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Definição 1 b As integrais impróprias são chamadas: e f( x) dx f ( xdx ) a b Convergentes se os limites correspondentes existem. Divergentes se os limites não existem.
14 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Definição 1 c Se ambas f ( xdx ) e f ( xdx ) são a convergentes, então definimos: a f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ) a a Aqui, qualquer número real a pode ser usado (veja o Exercício 74).
15 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Qualquer uma das integrais impróprias na Definição 1 pode ser interpretada como uma área, desde que f seja uma função positiva.
16 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Por exemplo, no caso (a), f(x) 0 e a integral f ( xdx ) é convergente. a Então definimos a área da região S = {(x, y) x a, 0 y f(x)} na figura como: AS ( ) = f( x) dx a
17 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Isso é apropriado porque f ( xdx ) é o a limite quando t da área sob o gráfico de f de a a t.
18 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Determine se a integral convergente ou divergente. Exemplo 1 (1/ x) dx 1 é
19 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 1 De acordo com a parte (a) da Definição 1, temos: 1 t t 1 dx = lim dx = lim ln x 1 x t 1 x t 1 = lim(ln t ln1) t = lim ln t = t O limite não existe como um número finito e, assim, a integral imprópria é divergente.
20 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Vamos comparar o resultado do Exemplo 1 com o exemplo dado no início desta seção: 1 dx x converge x dx d diverge Geometricamente, isso quer dizer que, embora as curvas y = 1/x 2 e y = 1/x sejam muito semelhantes para x > 0 a região sob y = 1/x 2 à direita de x = 1 tem uma área finita, enquanto a correspondente região sob y = 1/x tem uma área infinita.
21 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Observe que 1/x 2 e 1/x aproximam-se de 0 quando x, mas 1/x 2 aproxima-se de 0 mais rápido que 1/x. Os valores de 1/x não diminuem rápido o suficiente para que sua integral tenha um valor finito.
22 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 0 xe x dx Calcule Exemplo 2 Usando a parte (b) da Definição 1, temos: 0 0 x xe dx = lim t t x xe dx
23 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2 Integramos por partes com u = x, dv = e x dx de modo que du = dx, v = e x : t x x x xe dx = xe e dx t = te 1+ t t e t
24 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2 Sabemos que e t 0 quando t -, e pela Regra de L Hôspital temos: lim t te t = = lim t lim t 1 = lim ( e ) = t 0 e t t e t t
25 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2 Portanto 0 x t t xe dx= lim ( te 1 + e ) t = = 1
26 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Calcule 1 1+ x 2 dx Exemplo 3 É conveniente escolher a = 0 na Definição 1 (c): dx = dx + dx x 1+ x 1+ x
27 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3 Precisamos calcular as integrais no lado direito separadamente:
28 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Como ambas as integrais são convergentes, a integral dada é convergente e Exemplo 3 1 π π dx = + = 1+ x π
29 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3 Como 1/(1 + x 2 ) > 0, a integral imprópria dada pode ser interpretada como a área da região infinita sob a curva y = 1/(1 + x 2 ) e acima do eixo x (veja a Figura).
30 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4 Para quais valores de p a integral é convergente? 1 1 p dx x Sabemos do Exemplo 1 que se p = 1, a integral é divergente. Vamos então supor que p 1.
31 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Então, 1 dx = lim x dx 1 p t 1 x p+ 1 x = lim t p + 1 t p x= t Exemplo 4 x= = lim 1 t 1 p t p 1
32 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4 Se p > 1, então p 1 > 0. Assim, quando t, t p-1 e 1/t p-1 0. Portanto, se 1 1 dx 1 = p x p 1 p >1 E, nesse caso, a integral converge.
33 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4 Mas se p <1, então p 1 < 0. 1 p 1 E assim, t quando. p 1 t = t E a integral diverge.
34 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Definição 2 Resumimos o resultado do Exemplo 4 para referência futura: é: 1 1 dx p x Convergente se p > 1 Divergente se p 1
35 TIPO 2 INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS Suponha que ƒ seja uma função positiva contínua definida no intervalo finito [a, b), mas com a assíntota vertical em b.
36 INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS Seja S a região ilimitada sob o gráfico de f e acima do eixo x entre a e b. Para as integrais do Tipo 1, a região se estende indefinidamente em uma direção horizontal. Aqui a região é infinita em uma direção vertical.
37 INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS A área da parte de S entre a e t (a região sombreada na Figura é: t At () = f ( xdx ) a
38 INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS Se acontecer de A(t) se aproximar um número definido A quando t b -, então dizemos que a área da região S é A e escrevemos: b a f ( xdx ) = lim f( xdx ) t b t a
39 INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS Usamos essa equação para definir uma integral imprópria do Tipo 2 mesmo quando f não é uma função positiva, não importando o tipo de descontinuidade que f tenha em b.
40 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Definição 3 a Se f é contínua em [a, b) e descontínua em b, então: b a f ( xdx ) = lim f( xdx ) t b se esse limite existir (como um número finito). t a
41 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Definição 3 b Se f é contínua em (a, b] e descontínua em a, então: b a f ( xdx ) = lim f( xdx ) t a + t b se esse limite existir (como um número).
42 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Definição 3 b As partes (b) e (c) da Definição 3 são mostradas nas figuras seguintes para o caso onde f(x) 0 e f tem uma assíntota vertical em a e c, respectivamente.
43 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Definição 3 b A integral imprópria f ( xdx ) a é chamada: Convergente se o limite correspondente existir. Divergente se o limite não existir. b
44 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Definição 3 c Se f tiver uma descontinuidade em c, onde c a < c < b, e ambos f ( xdx b ) e f ( x ) dx forem a c convergentes, então definimos: b c b f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ) a a c
45 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 5 Calcule dx x 2 Observamos primeiro que essa integral é imprópria, porque f( x) = 1/ x 2 tem uma assíntota vertical x = 2.
46 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 5 Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo esquerdo de [2, 5], usamos a parte (b) da Definição 3: dx dx = lim + t x 2 x t 2 = lim 2 x 2 + t 2 = lim 2( 3 t 2) = t Então, a integral imprópria dada é convergente. + 5 t
47 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 5 Como o integrando é positivo, podemos interpretar o valor da integral como a área da região sombreada na Figura.
48 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 6 π 2 sec x dx Determine se converge ou 0 diverge. Observe que a integral fornecida é imprópria, porque: lim x ( π /2) sec x =
49 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 5 Usando a parte (a) da Definição 3 e a Fórmula 14 da Tabela de Integrais, temos: Isso porque sec t e tg t quando t (π/2) -. Então, a integral imprópria dada é divergente.
50 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 7 Calcule 3 dx 0 x 1 se for possível. Observe que a reta x = 1 é uma assíntota vertical do integrando.
51 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 7 Como esta ocorre no meio do intervalo [0, 3], devemos usar a parte (c) da Definição 3 com c = 1: onde 1 dx = dx + dx x 1 x 1 x t dx t dx = lim = lim x 1 x 1 x 1 = lim(ln t 1 ln 1) t t 1 0 t 1 t 1 Porque 1 t 0 + quando t 1 -. = lim ln(1 t) =
52 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 7 Então, 1 0 dx /( x 1) é divergente. Isso implica que 3 0 dx /( x 1) é divergente. Não precisamos calcular 1 3 dx /( x 1).
53 ATENÇÃO Se não tivéssemos observado a assíntota x = 1 no Exemplo 7 e em vez disso tivéssemos confundido essa integral com uma integral ordinária, então poderíamos ter feito erroneamente o seguinte cálculo: 3 3 dx = ln x 1 0 x 1 0 = ln 2 ln1 = ln 2 Isto é errado, porque a integral é imprópria e deve ser calculada em termos de limite.
54 ATENÇÃO De agora em diante, quando você se b deparar com o símbolo f ( xdx ) a, deverá decidir, olhando a função f no intervalo [a, b], se ela é uma integral definida ordinária ou uma integral imprópria.
55 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 8 Calcule 1 0 ln x dx Sabemos que função f(x) = ln x em uma assíntota vertical em 0 porque lim ln x =. x 0 Assim, a integral dada é imprópria e temos: ln xdx= lim ln 0 t 0 + t xdx
56 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 8 Agora, usamos a integral por partes com u = ln x, dv = dx, du = dx/x e v = x: t ln xdx = x ln x dx ] t = 1ln1 tln t (1 t) = tln t 1+ t t
57 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 8 Para calcular o limite do primeiro termo usamos a Regra de L Hôspital: lim tln t = lim + + t 0 t 0 1/ = lim+ t 0 1/ t 0 ln 1/ = lim( t) = 0 + t t t t 2
58 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 8 Portanto, 1 ln xdx= lim( tln t 1 + t) 0 t 0 + = = 1
59 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2 Exemplo 8 A Figura mostra a interpretação geométrica desse resultado. A área da região sombreada acima de y = ln x e abaixo do eixo x é 1.
60 UM TESTE DE COMPARAÇÃO PARA INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma integral imprópria, mas ainda assim é importante saber se ela é convergente ou divergente. Nesses casos, o teorema seguinte é útil. Apesar de afirmarmos isso para as integrais do Tipo 1, um teorema análogo é verdadeiro para as integrais do Tipo 2.
61 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Suponha que f e g sejam funções contínuas com f(x) g(x) 0 for x a. f ( xdx ) a. Se é convergente, então gxdx ( ) é a a convergente. f ( xdx ) b. Se gxdx ( ) é divergente, então é a a divergente.
62 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Omitiremos a demonstração do Teorema da Comparação, mas a Figura o faz parecer plausível.
63 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Se a área sob a curva superior y = f (x) for finita, então a área sob a curva inferior y = g(x) também é finita. E se a área sob y = g(x) for infinita, então a área sob y = f(x) também é infinita.
64 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Observe que a recíproca não é necessariamente verdadeira: gxdx ( ) f ( xdx ) Se é convergente, pode ser ou a não convergente. f ( xdx ) g ( xdx ) Se é divergente, pode ser ou a não divergente. a a
65 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Exemplo 9 Mostre que 0 e x 2 dx é convergente. Não podemos calcular a integral diretamente. Porque a primitiva de e -x2 não é uma função elementar (como explicado na Seção 7.5).
66 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Escrevemos: Exemplo 9 1 x x x e dx= e dx+ e dx Observamos que a primeira integral do lado direito é apenas uma integral definida ordinária.
67 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Exemplo 9 Na segunda integral usamos o fato de que para, x 1, temos x 2 x. Assim, x 2 -x e, portanto, e -x2 e -x.
68 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Exemplo 9 A integral de e -x é calculada facilmente: t x x e dx = lim 1 t t = lim( e e ) = t e e dx
69 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Exemplo 9 Então, tomando f(x) = e -x e g(x) = e -x2 no Teorema da Comparação, vemos que 2 x e dx é convergente. 1 Segue que 0 e x 2 dx é convergente.
70 TEOREMA DE COMPARAÇÃO No Exemplo 9 mostramos que x e dx 0 é convergente sem calcular seu valor. 2 No Exercício 70 indicamos como mostrar que seu valor é aproximadamente 0,8862. Na teoria de probabilidade é importante saber o valor exato dessa integral imprópria. usando os métodos do cálculo em diversas variáveis pode ser mostrado que o valor exato é π /2.
71 TEOREMA DE COMPARAÇÃO A Tabela 1 ilustra a definição de integral imprópria revelando como os valores t 2 (gerados por computador) de x e dxse 0 aproximam de π /2quando t se torna grande. De fato, esses valores convergem bem depressa, porque e -x2 0 muito rapidamente quando x.
72 TEOREMA DE COMPARAÇÃO Exemplo 10 x 1 + e A integral dx é divergente pelo 1 x x 1+ e 1 Teorema da Comparação porque >. x x (1/ xdx ) é divergente pelo Exemplo 1 [ou 1 por (2) com p = 1].
73 TEOREMA DE COMPARAÇÃO A Tabela 2 ilustra a divergência da integral do Exemplo 10. Parece que os valores não se aproximam de nenhum número fixado.
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