PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA

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1 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO. Problemas da OBMU nos últimos anos Problema (OBMU-26 - Segunda Fase, Problema ). Seja {a n } uma sequência de número reais tal que n an n converge. Prove que n lim a k = n n k= Problema 2 (OBMU-22 - Segunda Fase, Problema 5). Seja f : (, + ) (, + ) uma função duas vezes derivável satisfazendo f (x) < para todo x >. Para cada x > considere o triângulo cujos lados são a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) e os dois eixos coordenados. Sabemos que a área deste triângulo é igual a C (constante e independente de x). Determine os possíveis valores de f(). Problema 3 (OBMU-26 - Segunda Fase, Problema 6). Dados C, D >, dizemos que f : R R é bonita se f é de classe C 2, x 3 f(x) C e xf (x) D para todo x com x. a) Prove que se f é uma função bonita então, dado ɛ >, existe x > tal que, para x x, x 2 f (x) < 2CD + ɛ. b) Prove que, se < E < 2CD, então existe uma função bonita f : R R tal que, para todo x >, existe x > x com x 2 f (x) > E. Problema 4 (OBMU-25 - Segunda Fase, Problema 3). Mostre que, para todo b >, temos u + b I(b) = u 2 + b du > π 2. Problema 5 (OBMU-23 - Primeira Fase). Seja P (X) um polinômio com coeficientes inteiros satisfazendo P (n) = n para todo inteiro n com n 6 e P () 23. Determine quantos e quais são os possíveis valores de P (). Problema 6 (OBM 2 - Segunda Fase, Problema ). Para cada t R, seja P t (x) = x 3 2x + t, e seja (t) = max{c R P t (c) = } min{c R P t (c) = } a diferença entre a maior raiz real e a menor raiz real de P t (x). Determine o conjunto de valores que (t) pode assumir quando t varia. Problema 7 (OBMU-23 - Primeira Fase). Considere a parábola de equação y = x 2 /4. Encontre o raio da circunferência que é tangente a esta parábola e ao eixo y no foco (, ) da parábola.

2 2 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO Problema 8 (XXVI OBMU - Primeira Fase). Calcule x 24 + e x dx. Problema 9 (OBMU 22 - Primeira Fase). a) Determine o maior valor possível de sin 2 (x) sin(2x) para x R. b) Prove que para todo inteiro k, se x = 2πr, com r inteiro, então 2 k k sin(2 j x) = sin(x) sin(2x) sin(2 k x) ( 3/2) k. j= Problema (OBMU 2). Calcule π/4 x (sin x + cos x) cos x dx. Problema (OBMU 2). A função f : [, + ) R é contínua em [, + ) e diferenciável em (, + ) e satisfaz f(x + ) = cos f(x) para todo x [, + ). Sabemos que f() = e f (2) =. Mostre que existe um único número real d tal que o limite abaixo exista e pertença a (, + ): f(x) a = lim x + x d. Determine os valores de d e de a. Problema 2 (OBMU 29). Seja f : [, ] [, ] crescente, derivável e inversível tal que f(x)dx = f (x)dx. Prove que existem reais a e b, a < b, tais que f (a) = f (b) =. Problema 3 (OBMU 29). Considere a sequência a, a, definida por a =, a = π 3 e, para n, Calcule a n+ = π(a a n + a a n + a 2 a n a n a ) 3(n + ) k= a k 2 k = a + a 2 + a a Problema 4 (OBMU 28). Seja P n = k n sinn ( πk n ). Calcule n= lim n P n P n+. n Problema 5 (OBMU 28). Prove que λ (λ + n 2 ) 2 < 2 λ + n 2 para todo λ. n=

3 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO 3 Problema 6 (OBMU 25). Sejam f e f funções contínuas distintas de [, ] em (, + ) tais que f(x)dx = g(x)dx. Defina y n = Prove que {y n } n é uma sequência crescente e divergente. Problema 7 (OBMU 24). Calcule (3k + )(3k + 2)(3k + 3) k=. Problema 8 (OBMU 23). Defina a = 3 e a n+ = a 2 n 2. ln ln a Prove que lim n n n = ln 2 e calcule lim n (ln ln a n n ln 2). Dica: a n = α 2n + α2n para algum α C. Problema 9 (OBMU 2). Para todo real u, seja I(u) = 2u cos x + u 2 )dx. a) Prove que I(u) = I( u) = 2 I(u2 ). b) Calcule I(u) para todo u R. 2. Derivadas (f(x)) n+ (g(x)) dx. n π ln( Problema 2 (IMC 24). Seja f(x) = sin x x, para x >, e n um inteiro positivo. Prove que f (n) (x) < n +, aonde f (n) denota a n-ésima derivada de f. Problema 2. Calcule Dica: Considere I(t) = 3. Integrais Problema 22. Para a > b >, calcule Problema 23 (OBMU 2). Calcule x 2 ln x dx. x t ln x dx e calcule I (t). π/4 4. Funções Contínuas e ax e bx x(e ax + )(e bx + ) dx. x cos x(sin x + cos x) dx. Problema 24 (Equação de Cauchy). Determine todas as funções contínuas f : R R tais que f(x + y) = f(x) + f(y) para todos reais x e y.

4 4 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO Problema 25 (Suécia - 989). Determine todas as funções contínuas f : R R tais que para todo x R. f(x) + f(x 2 ) = Problema 26 (Leningrado). Uma função F : R R é contínua e F (x) F (F (x)) = para todo x real. Sabendo que F () = 999, encontre F (5). Problema 27 (Bulgária - 997). Determine todas as funções contínuas f : R R tais que para todo x R. f(x) = f(x ) Problema 28. Seja f : [, ] [, ] uma função contínua tal que f f = f. Defina E f = {x [, ] f(x) = x}. a) Prove que E f. b) Prove que E f é um intervalo. Problema 29. Determine se existe f : R R contínua satisfazendo f(f(x)) = x. Problema 3. Prove que a única função contínua f : R R satisfazendo f(f(f(x))) = x é a identidade. Dica: se f é injetiva e contínua, então tem que ser monótona. Problema 3 (Curva de Peano). Prove que existe uma função contínua sobrejetiva f : [, ] [, ] [, ]. (tal função é chamada de curva de Peano) Problema 32. Dizemos que a > é corda universal se, para toda função contínua f : [, ] R com f() = f() existem x, y [, ] com x y = a e f(x) = f(y). Determine todas as cordas universais. Problema 33. Seja f : [, ] R uma função contínua. Prove que lim (n + ) x n f(x)dx = f(). n Dica: Aplique o Teorema de Aproximação de Stone-Weiestrass da seguinte maneira: primeiro demonstre o resultado para polinômios e depois use a aproximação para ver que o mesmo também é válido para funções. Teorema de Aproximação de Stone-Weiestrass: se f : [a, b] R é uma função contínua, então para todo ɛ > existe um polinômio P tal que f(x) P (x) < ɛ para todo x [a, b].

5 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO 5 Problema 34 (IMC-23). Seja g : [, ] R uma função contínua e f n : (, ] R uma sequência de funções definida por f (x) = g(c) e f n+ (x) = x x f n(t)dt para todo x (, ] e n. Determine lim n f n (x) para todo x (, ]. Dica: A mesma do problema acima. Problema 35. Seja f : [a, b] R uma função contínua tal que b a xn f(x)dx = para todo inteiro n. Mostre que f é identicamente nula em [a, b]. 5. Problemas de Análise e Teoria dos Números Problema 36. Seja A = {n N n não tem o dígito 7 em sua representação decimal }. Prove que n < + n A Problema 37. Prove que existe n N tal que os 27 primeiros dígitos de 2 n são iguais a. Dica: Se α é irracional, então a sequência {nα} n N é densa em [, ]. Problema 38. Prove que existe n N tal que os 27 primeiros dígitos de 2 n são iguais a e os 27 primeiros dígitos de 3 n são iguais a 2. Dica: Se α = (α,, α n ) R n tem coordenadas racionalmente independentes então a sequência {nα} n N é densa em [, ] n. (α,, α n são racionalmente independentes se m α + +m n α n = m, m, m,, m n Z, implica que m = m = = m = ) Problema 39. a) Seja p(x) um polinômio de grau n com coeficientes inteiros e seja α R Q tal que p(α) =. Prove que existe c > tal que α p/q > c/q n para quaisquer p, q Z, q >. b) Prove que α = n! é transcedente, isto é, não existe nenhum n= polinômio não nulo de coeficientes racionais com p(α) =. k= 2n Problema 4. Seja S n = k. Calcule lim n S n. k=n+ n Dica: Escreva S n = n + k e veja como uma soma de Riemann. n Problema 4. Calcule S n = lim n n 2 i<j n Problema 42. Prove que para todo α R, lim sup cos n (nα) =. n sin i + j n.

6 6 PROBLEMAS DE OLIMPÍADA UNIVERSITÁRIA CÁLCULO Problema 43. Prove que as séries n, n ln n, n= n= n= são divergentes. Dica: Utilize o teste da integral. n ln n(ln ln n), n= n ln n(ln ln n) (ln ln n) Problema 44 (XXIV OBM-U). Dados x R, definimos ln (x) = x e, para cada k N, se ln k (x) >, definimos ln k+ (x) = ln(ln k (x)), onde ln é o logaritmo natural. Dado n inteiro positivo, definimos k(n) como o maior k tal que ln k (n), e a n = π k(n) j= ln j(x) = n ln n(ln ln n) ln k(n) (n). Diga se a série converge ou diverge. a n n= Problema 45 (IMC 2). Sejam x = 5 e x n+ = x 2 n 2. Calcule x x 2 x n lim. n x n+ Dica: x n = α 2n + α2n para algum α C.