Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução.

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1 Universidade Federal do ABC Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução. BCN FUV

2 Suporte ao aluno Site da disciplina: Site do prof. Annibal: fuv-funcoes-de-uma-variavel

3 CÁLCULO DA ÁREA ENTRE DUAS CURVAS

4 Dedução Sejam as funções f(x) e g(x) contínuas em um intervalo fechado [a, b], tal que f(x) g(x) para todo x em [a, b]. A Queremos encontrar a área da região delimitada por duas curvas y = f(x) e y = g x e as retas x = a e x = b.

5 Dedução Dividimos a região em um certo número de retângulos cuja base tem comprimento x. x A área de cada retângulo vale f x i g(x i ) x x i

6 Dedução x x i varia segundo x 0 = a < x 1 < x 2 < < x i < x n = b Cada área vale: A i f x i g(x i ) x i x i

7 Dedução A área total será a soma de cada contribuição: n A = A i i=1 n i=1 f x i g(x i ) x i Aplicando o conceito de uma soma de Riemann, no limite n, temos A = n lim x i 0 i=1 f x i g(x i ) x i b A = න a f x g(x) dx

8 Dedução x A A = n lim x i 0 i=1 b f x i g(x i ) x i A = න a Soma de Riemann f x g(x) dx Integral

9 Exemplo Área entre duas curvas Encontre a área da região delimitada pelas curvas e y = x 2 y = x 2 + 4x

10 Resolução g(x) = x 2 f(x) = x 2 + 4x b A = න a f x g x dx

11 Resolução Determinação dos limites de integração: f x = g x x 2 = x 2 + 4x 2x 2 = 4x Raízes: ቊ x = 0 x = 2

12 Resolução 2 A = න 0 2 A = න 0 x 2 + 4x x 2 A = f x g x dx = න 0 2 ቤ2x 2 2 ቤ 3 x3 0 2 dx = 4x 2x 2 dx = = 8 3

13 Inversão x y Em alguns casos é mais conveniente inverter x e y. É o caso dos problemas em que as curvas apresentadas tem a forma x = f(y) ou x = g(y).

14 Inversão x y Se uma região é delimitada por curvas com equações x = f(y), x = g(y), y = c e y = d, sendo f e g contínuas e f(y) g(y) para c y d, então área é dada por A = න c d f y g y dy

15 Exemplo Encontre a área delimitada pela reta e a parábola y = x 1 y 2 = 2x + 6

16 Resolução y = x 1 y 2 = 2x + 6

17 Resolução y = x 1 f(y) = y + 1 y 2 = 2x + 6 g(y) = 1 2 y2 3 Determinação dos limites de integração: g y = f y 1 2 y2 3 = y y2 y 4 = 0 = 9 Raízes: ቊ y = 2 y = 4

18 Resolução 4 A = න 2 A = න A = න 2 A = 4 2 f y g y dy y y2 3 dy y2 + y + 4 dy y 3 อ 3 + y y 2 A = = 18 4

19 VOLUMES DE SÓLIDOS

20 Dedução a b

21 Dedução A x i x

22 Dedução

23 Dedução

24 Dedução Seja S um sólido contínuo, contido no intervalo entre os planos em um intervalo fechado x = a e x = b. Seja A(x i ) a área da seção transversal de S no ponto x i. O volume do cilindro de base A(x i ) e altura x vale V i = A(x i ) x, e x i varia segundo x 0 = a < x 1 < x 2 < < x i < x n = b

25 Dedução A x i x

26 Dedução O volume total será a soma de cada contribuição: n V = V i A(x i ) x i i=1 n i=1 Aplicando o conceito de uma soma de Riemann, no limite n, temos V = n lim x i 0 i=1 A(x i ) x i b V = න A(x)dx a

27 Exemplo Obtenha a expressão do volume de uma pirâmide cuja altura é h e a base é um quadrado de lado s.

28 Resolução A(y) h h y y z/2 s s/2

29 Resolução Por semelhança de triângulos, z/2 h y = s/2 h z = s h (h y) E, a área de cada elemento vale A y = z 2 = s2 (h y)2 h2

30 Resolução O volume da pirâmide é dado por V = න 0 s 2 h A y dy = න (h y)3 = อ h h 0 h s 2 h 2 (h y)2 dy = s2 h h3 3 V = 1 3 s2 h

31 VOLUMES DE SÓLIDOS : MÉTODO DAS CONTRIBUIÇÕES TRANSVERSAIS

32 Sólidos de Revolução: Introdução

33 Sólidos de revolução Um sólido de revolução é uma figura sólida obtida girando uma curva plana em torno de uma linha reta (o eixo de revolução) que fica no mesmo plano. Todo sólido de revolução tem simetria radial.

34 Alguns casos Cilindro Cone A rotação de um valor constante em torno de um dos eixos. A rotação de uma reta em torno de um dos eixos.

35 Alguns casos Paraboloide de revolução Toróide A rotação de uma parábola em torno de um dos eixos. A rotação de um círculo em torno de um dos eixos.

36 Teorema Seja f uma função contínua em [a, b] e suponha que f(x) 0 para todo x em [a, b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, o volume de S é dado por b V = π න a f(x) 2 dx

37 Exemplo Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por e Em torno do eixo y. y = x 3 y = 0 y = 8

38 Resolução y = 8 y = x 3 y = 0

39 Resolução A área de uma seção transversal na posição y vale A y = πr 2 = πx 2 = π 3 y 2 A y = πy 2/3 O volume do sólido é dado por V = න 0 8 A y dy = න 0 8 πy 2/3 dy

40 Resolução 8 V = න πy 2/3 dy 0 V = 8 π 3 ቤ 5 y5/3 0 = π /3 π /3 V = 96π 5

41 Teorema Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e suponha quef(x) g(x) 0 para todo x em [a, b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, o volume de S é dado por b V = π න a f(x) 2 g(x) 2 dx

42 Exemplo Encontre o volume do sólido gerado pela rotação m torno do eixo x da região limitada pela parábola y = x e pela reta y = x + 3. y = x y = x + 3

43 Resolução y = x y = x + 3

44 Resolução Determinação dos limites de integração: f x = g x x = x + 3 x 2 x 2 = 0 = 9 Raízes: ቊ x = 1 x = 2

45 Resolução V = π න V = π න a b a b V = π න a b f(x) 2 g(x) 2 dx x x dx x 4 x 2 + 6x + 8 dx

46 Resolução V = π 1 5 x5 1 3 x3 + 3x 2 + 8x อ 1 π V = π 2 =

47 VOLUMES DE SÓLIDOS : MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS

48 Método das cascas cilíndricas Neste método, dividimos o sólido de revolução em várias cascas de simetria cilíndrica, a partir do centro. Cada casca será uma contribuição na soma de Riemann.

49 Volume de um cilindro oco r 1 : raio interno r 2 : raio externo h: altura r: espessura Volume: V = πr 2 2 h πr 2 1 h V = πh r 2 2 r 2 1 = πh(r 2 + r 1 )(r 2 r 1 )

50 Volume de um cilindro oco V = πh(r 2 + r 1 )(r 2 r 1 ) V = 2πh (r 2 + r 1 ) (r 2 2 r 1 ) Fazendo r = r 2+r 1 2 e r = r 2 r 1 Chegamos a V = 2πhr r

51 Dedução Seja uma função f(x) contínuas em um intervalo fechado a, b, com 0 a < b, tal que f(x) 0 para todo x em [a, b]. y y = f(x) Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos x i 1, x i de largura x e consideramos o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Se o retângulo com base x i 1, x i e altura f(x) é girado ao redor do eixo y, então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio xҧ i, altura f( xҧ i ) e espessura x. a b

52 ҧ ҧ Dedução O volume da i-ésima contribuição vale V i = 2πf x i x i x O volume total será a soma de cada contribuição: n V = V i V i = 2πf i=1 n i=1 xҧ i xҧ i x Aplicando o conceito de soma de Riemann, no limite n, temos V = n lim x i 0 i=1 V i = 2πf xҧ i xҧ i x V = 2πhr r b V = න 2πx f x dx a

53 Exemplo Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por e y = 2x 2 x 3 y = 0

54 Exemplo y = 2x 2 x 3

55 Resolução Determinação dos limites de integração: Quando y = 0: 2x 2 x 3 = 0 x 2 2 x = 0 Raízes: ቊ x = 0 x = 2

56 Resolução Pelo método das cascas cilíndricas, temos V = න a b 2πx f x dx b V = න 2πx 2x 2 x 3 a V = 2π න a b 2x 3 x 4 dx dx

57 Resolução V = 2 2π 1 อ 2 x4 1 5 x5 0 V = 2π V = 16 5 π

58 ÁREAS DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

59 Áreas de superfícies de revolução Para calcular a área de uma superfície de uma superfície de revolução, dividimos esta superfície em várias fatias e depois aplicamos a soma de Riemann.

60 Áreas de superfícies de revolução Cada contribuição de superfície pode ser aproximada para a forma de um tronco de cone.

61 Área de um tronco de cone r 1 : raio do topo r 2 : raio da base h: altura l: linha geratriz A r 1 h l Área da superfície lateral: r 2 A = 2πrl onde r = r 1+r 2 2

62 Dedução Considere a superfície mostrada obtida pela rotação da curva y = f(x), a x b, ao redor do eixo x, em que f é positiva e tem derivada contínua. Para definirmos sua área de superfície, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos com as extremidades x 0, x 1, x 2, x n e largura igual a x. x

63 Dedução Se y i = f(z), então o ponto P i (x i, y i ) está sobre a curva. A parte da superfície entre x i 1 e x i é aproximada ao tomarmos o segmento da reta P e girá-lo em torno do eixo x.

64 Dedução O resultado é uma faixa com geratriz l = P i 1 P i e raio médio r = 1 2 (y i 1 + y i ) Logo, sua área de superfície é S i = 2π y i 1 + y i 2 P i 1 P i

65 Cálculo do segmento P i 1 P i P i y i y i 1 P i 1 x P i 1 P i 2 = y i y i x 2 Sabemos que y i = y i 1 + f (x i ) x y i y i 1 = f (x i ) x

66 Cálculo do segmento P i 1 P i P i 1 P i 2 = f (x i ) x 2 + x 2 P i 1 P i 2 = x 2 f (x i ) 2 + x 2 P i 1 P i 2 = x f (x i ) 2 P i 1 P i = 1 + f (x i ) 2 x

67 Dedução Também sabemos que Então y i 1 +y i 2 = f(x i ) S i = 2π y i 1 + y i 2 Pode ser escrito como P i 1 P i S i = 2π f(x i ) 1 + f (x i ) 2 x

68 Dedução A superfície total será a soma de cada contribuição: n S i=1 S(x i ) Aplicando o conceito de uma soma de Riemann, no limite n, temos S = n lim x i 0 i=1 S(x i ) b S = න 2π f x i 1 + f x i 2 dx a

69 Dedução Como y = f(x), podemos também escrever: b S = න 2π y 1 + dy a dx 2 dx Para rotações em torno do eixo y, a expressão torna-se d S = න 2π x 1 + dx c dy 2 dy

70 Dedução Usando a notação ds para um diferencial de superfície, onde ds = 1 + dy 2 b dy e S = dx a 2πy ds Se a superfície de revolução for construída em torno do eixo y, então ds = 1 + dx dy 2 dx e S = c d 2πx ds

71 Exemplo O arco da parábola y = x 2 de (1,1) a (2,4) é girado em torno do eixo y. Calcule a área da superfície resultante. y (2,4) y = x 2 (1,1)

72 Resolução Sendo y = x 2, temos dx dy = 2x A fórmula da área da superfície de revolução é Então S = c d 2πx ds, com ds = 2 S = න 2π x dx dy 1 + 2x 2 dx 2 dx

73 Resolução 2 S = 2π න x 1 + 4x 2 dx 1 Fazendo a substituição u = 1 + 4x 2 du = 8x dx xdx = 1 8 du x = 1 u = 5 x = 2 u = 17

74 Resolução 17 1 S = 2π න 5 8 u du = π 4 න 5 = π 4 2 อ 17 3 u3/2 5 = π u uቚ 5 u 1/2 du S = π