Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos

3 1. Introdução Alguns problemas de volume são muito difíceis de lidar pelos métodos das seções anteriores. Por exemplo, vamos considerar o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y pela região limitada por y = 2x 2 -x 3 e y = 0, conforme a figura a seguir.

4 1. Introdução Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixo y, obteremos uma arruela. Mas para calcularmos os raios interno e externo da arruela, teríamos de resolver a equação cúbica y = 2x 2 - x 3 para x em termos de y; isto não é fácil.

5 1. Introdução

6 1. Introdução Felizmente existe um método, chamado Método das Cascas Cilíndricas, que é mais fácil de usar em casos como esse. A figura a seguir mostra uma casca cilíndrica de raio interno r 1, raio externo r 2 e altura h. O seu volume V é calculado pela subtração do volume V 1 do cilindro interno do volume V 2 do cilindro externo.

7 1. Introdução V = V2 V1 ( ) V = πr h πr h = π r r h ( )( ) V = π r + r r r h r + r 2 ( ) 2 1 V = 2π h r2 r1

8 1. Introdução Se fizermos r = r r r = r + r 2 ( ) 2 1 (a espessura da casca) (o raio médio da casca) então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna V = 2π rh r e pode ser memorizada como V = [circunferência] [altura] [espessura]

9 1. Introdução Agora considere S como o sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada por y = f (x) [onde f (x) 0], y = 0, x = a e x = b, onde b > a 0, conforme mostrado na figura abaixo

10 1. Introdução Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [x i-1, x] i de mesma largura x e consideremos x i o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Se o retângulo com base [x i-1, x] i e altura f ( x ) i é girado ao redor do eixo y, então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio x i, altura f ( x ) i e espessura x, conforme a figura a seguir.

11 1. Introdução V = 2π rh r ( 2π ) ( ) i i V = x f x x

12 1. Introdução Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas: n n π ( ) V = V = 2 x f x x i i i i = 1 i = 1 Essa aproximação torna-se melhor quando n. Mas,peladefiniçãodeintegral,sabemosque n n i = 1 i = ( ) ( ) i π lim 2π x f x x 2 x f x dx b a

13 1. Introdução O volume do sólido na figura abaixo, obtido pela rotação ao redor do eixo y da região sob a curva y = f (x) de a até b é: b = π ( ) onde 0 V 2 x f x dx a < a b

14 1. Introdução A melhor maneira para se lembrar da fórmula anterior é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na figura abaixo, com raio x, circunferência 2πx, altura f (x) e espessura x ou dx. b V = ( 2 π x) f ( x) dx a circunferência altura

15 1. Introdução Esse tipo de argumento será útil em outras situações, tais como quando giramos ao redor de outras retas além do eixo y.

16 1. O método do disco Exemplo 1: Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pory=2x 2 x 3 e y = 0.

17 1. O método do disco Solução: Do esboço da figura abaixo, vemos que uma casca típica tem raio x, circunferência 2πx e altura f (x) =2x 2 x 3.

18 1. O método do disco Então, pelo método das cascas, o volume é: V b = 2 π x f x dx a ( ) 2 2 ( 2 3 ) ( 3 4 π ) V 2π x 2x x dx 2 2x x dx = = x x = π = = π 5 π 0

19 1. O método do disco A figura abaixo mostra o gráfico gerado pelo computador do sólido resultante:

20 1. O método do disco Exemplo 2: Determine o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entrey =x e y=x 2.

21 1. O método do disco Solução: A região e uma casca típica são mostradas na figura abaixo. Vemos que a casca tem raio x, circunferência 2πx e altura x x 2.

22 1. O método do disco Então o volume é: V b = 2 π x f x dx a ( ) 1 1 ( 2 ) ( 2 3 π ) V 2π x x x dx 2 x x dx = = π x x π = 3 4 = π =

23 1. O método do disco O exemplo a seguir mostra que o método da casca funciona bem também quando giramos ao redor do eixo x. Simplesmente, temos de desenhar um diagrama para identificar o raio e a altura da casca.

24 1. O método do disco Exemplo 3: Use cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva y =x 1/2 de0a1.

25 1. O método do disco Solução: Para usar as cascas escrevemos y = x 1/2 como x = y 2, conforme a figura abaixo.

26 1. O método do disco Pela rotação ao redor do eixo x, vemos que uma casca típica tem raio y, circunferência 2πy e altura 1 y 2. Então o volume é V b = 2 π y f y dy ( ) a ( ) π ( ) V 2π y 1 y dy 2 y y dy = = π y y π = 2 4 = π =

27 1. O método do disco Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x x 2 e y = 0 ao redor da reta x = 2.

28 1. O método do disco Solução: A figura abaixo mostra a região e a casca cilíndrica formada pela rotação ao redor da reta x = 2. Esta tem raio 2 x, circunferência 2π (2 x) e altura x x 2.

29 1. O método do disco Ovolumedosólidoé V b = 2 π x f x dx a ( ) 1 1 ( )( 2 ) ( 3 2 π ) V 2π 2 x x x dx 2 x 3x 2x dx = = π x x x 2π 1 1 π = + = + =