Trabalho. 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Trabalho Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Trabalho 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos

3 1. Introdução O termo trabalho é usado na linguagem cotidiana significando a quantidade de esforço mecessária para executar uma tarefa. Na Física essa palavra tem um significado técnico que depende do conceito de força. Intuitivamente, você pode pensar na força que descreve o empurrar ou o puxar de um objeto por exemplo, um empurrão horizontal em um livro sobre uma mesa ou a ação da gravidade terrestre sobre uma bola. 3

4 1. Introdução Em geral, se um objeto se move ao longo de uma linha reta com função de deslocamento s(t), então a força F no objeto (na mesma direção) é definida pela Segunda Lei de Newton do Movimento como o produto de sua massa m pela sua aceleração: F = 2 d s m dt 2 4

5 1. Introdução No Sistema Métrico Internacional (SI), a massa é medida em quilogramas (kg), o deslocamento em metros (m), o tempo em segundos (s) e a força em Newtons (N = kg.m/s 2 ). Então, uma força de 1 N atuando em uma massa de 1 kg produz uma aceleração de 1 m/s 2. No sistema norte-americano, a unidade de força escolhida é a libra. 5

6 1. Introdução No caso de aceleração constante, a força F também é constante, e o trabalho feito é definido pelo produto da força F pela distância d que o objeto se move: W = Fd trabalho = força x distância Se F é medido em Newtons e d em metros, então a unidade para W é o Newton x metro, a qual é chamada Joule (J). Se F é medida em libras (lb) e d em pés (foot), então a unidade de trabalho é a libra x pé ou libra x foot, a qual é cerca de 1,36 J. 6

7 Exemplo 1: (a) Quanto trabalho é realizado quando se levanta um livro de 1,2 kg do chão até uma carteira de altura 0,7 m? Use g = 9,8 m/s 2. (b) Quanto trabalho é realizado levantando-se um peso de 20 lb a uma altura de 6 pés do chão? 7

8 (a) A força exercida é igual e oposta à força exercida pela gravidade. F W = mg = 1,2 x 9,8 = 11,76 N = Fd = 11,76 x 0,7 8,2 J 8

9 (b) Aqui a força dada é F = 20 lb; portanto o trabalho realizado é W = Fd = 20 x 6 = 120 lb.pé Note que na parte (b), ao contrário da parte (a), não tivemos de multiplicar por g, porque o dado era o peso (o qual é força) e não a massa do objeto. 9

10 A equação W = Fd define trabalho desde que a força seja constante. Mas o que acontece se a força é variável? Suponha que o objeto se mova ao longo do eixo x na direção positiva de x = a até x = b, e em cada ponto x entre a e b uma força f(x) atua no objeto, onde f é uma função contínua. 10

11 Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos com o extremo x 0, x 1,, x n e larguras iguais a x. Escolhemos o ponto de amostragem x i* no i-ésimo subintervalo [x i-1, x i ]. Então a força naquele ponto é f (x i* ). Se n é grande, então x é pequeno, e como f é contínua, os valores de f não variam muito ao longo do intervalo [x i-1, x i ]. 11

12 Em outras palavras, f é praticamente constante no intervalo e então o trabalho W i que é executado no movimento da partícula de x i-1 a x i é dado aproximadamente pela equação abaixo. W f x x i * ( i ) por Então podemos aproximar o trabalho total n W f x x i = 1 * ( i ) 12

13 Parece que a aproximação torna-se cada vez melhor quando n é grande. Portanto definimos o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b como o limite dessa quantidade quando n. Como o lado direito da equação anterior é uma soma de Riemann, reconhecemos seu limite como uma integral definida e então n b * lim ( ) i ( ) n i = 1 a W f x x = f x dx 13

14 Exemplo 2: Quando uma partícula está localizada a uma distância de x pés da origem, uma força de (x 2 + 2x) lb age sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo-a de x = 1 a x = 3? 14

15 Solução: x 2 W x x dx x ( 2 ) = + = = lb.pé 3 + = =

16 No próximo exemplo usaremos uma lei da Física: a Lei de Hooke estabelece que a força necessária para manter uma mola esticada x unidades além do seu comprimento natural é proporcional a x: f ( x) = kx onde k é uma constante positiva (chamada constante elástica). A Lei de Hooke vale desde que x não seja muito grande, conforme a figura a seguir. 16

17 (a) Posição natural da mola Superfície sem atrito (b) Posição esticada da mola 17

18 Exemplo 3: Uma força de 40 N é necessária para manter uma mola esticada do seu comprimento natural de 10 cm para um comprimento de 15 cm. Quanto trabalho é realizado esticando-se a mola de 15 cm para 18 cm? 18

19 Solução: De acordo com a Lei de Hooke, a força necessária para manter uma mola esticada x metros além do seu comprimento natural é f(x) = kx. Quando a mola é esticada de 10 cm para 15 cm, a quantidade esticada é 5 cm = 0,05 m. f ( x) = kx 40 = k 0,05 k = 800 N/m 19

20 Então, f(x) = 800x, e o trabalho realizado para esticar a mola de 15 cm para 18 cm é 0,08 0,08 2 W = 800x dx = 400x 0,05 0,05 = = (0,08) (0,05) 1,56 J 20

21 Exemplo 4: Um cabo de 200 lb tem 100 pés de comprimento e está pendurado sobre a borda de um edifício alto. Qual o trabalho necessário para puxar o cabo para o topo do edifício? 21

22 Solução: Aqui não temos uma fórmula para a função força, mas podemos pensar na resolução do problema utilizando a soma de Riemann. Para tanto, vamos posicionar a origem no topo do edifício e o eixo x apontando positivamente para baixo, conforme a figura a seguir. 22

23 23

24 Dividimos o cabo em pequenos pedaços iguais de comprimento x. Se x i* é um ponto do i-ésimo intervalo, então todos os pontos nesse intervalo são içados por aproximadamente a mesma quantidade, a saber x i*. O cabo pesa 2 lb por pé, logo o peso da i-ésima parte é 2 x. Assim, o trabalho realizado nessa i-ésima parte, em lb.pé, é * * 2 x x 2 i = xi x força distância 24

25 Teremos o trabalho total realizado somando todas essas aproximações, fazendo o número de partes se tornar grande ( x 0). n 100 * lim 2 i 2 n i = 1 0 W = x x = x dx x 0 = = lb.pé 25

26 Se tivéssemos colocado a origem na extremidade do cabo e o eixo x apontando positivamente para cima, teríamos obtido W 100 = 2(100 x) dx 0 que nos dá a mesma resposta. 26

27 Exemplo 5: Um tanque tem o formato de um cone circular invertido de altura 10 m e raio da base 4 m e está cheio de água até uma altura de 8 m. Calcule o trabalho necessário para esvaziar o tanque bombeando toda a água pelo topo do tanque. (A densidade da água é de kg/m 3 ). 27

28 Solução: Vamos medir as profundidades a partir do topo do tanque introduzindo uma coordenada vertical como na figura a seguir. 28

29 A água se estende de uma profundidade de 2 m até uma profundidade de 10 m e então dividimos o intervalo [2, 10] em n subintervalos com extremos x 0, x 1,, x n e escolhemos x i* no i-ésimo subintervalo. Isso divide a água em n camadas. A i-ésima camada é aproximada por um cilindro circular de raio r i e altura x. 29

30 Podemos calcular r i por similaridade de triângulos usando a figura a seguir. 30

31 r 4 2 r 10 x = = i * i 10 i 10 5 ( * x ) i Então uma aproximação para o volume da i-ésima camada de água é 4 2 π V ( 10 * ) 2 i = π ri x = xi x 25 e, dessa forma, sua massa é m i = densidade x volume 31

32 4π ( ) 2 ( ) 2 * * mi = x 10 xi x = 160π 10 xi x 25 A força necessária para elevar essa camada de água deve ser maior que a força da gravidade, e assim ( * ) 2 F = m g (9,8) 160π 10 x x i i i ( * ) 2 F = m g 1.570π 10 x x i i i 32

33 Cada partícula na camada deve se mover a uma distância de aproximadamente x i*. O trabalho W, feito para elevar essa camada até o topo é aproximadamente o produto da força F e da distância x i*. ( ) 2 W = F x 1.570π x 10 x x * * * i i i i i 33

34 Para determinar o trabalho total realizado para esvaziar o tanque, adicionamos as contribuições de cada uma das n camadas e então tomamos o limite quando n. n n i = 1 ( ) 2 i * * W = lim 1.570π xi 10 x x 10 2 ( ) W = 1.570π x 10 x dx 2 34

35 10 π 2 ( 2 ) W = x x + x dx 10 π 2 ( 2 3 ) W = x 20x + x dx x W = π 50x x W 3,4 x 10 J