Medida de Ângulos em Radianos

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Medida de Ângulos em Radianos Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Medida de Ângulos em Radianos 1.Ângulos e Medida em Graus 2.Medida em Radianos 3.Triângulos

3 1. Ângulos e medida em graus Conforme mostra a figura acima, um ângulo tem três partes: um lado inicial, um lado terminal e um vértice. Um ângulo está em posição padrão se seu lado inicial coincide com o eixo x positivo e seu vértice está na origem. 3

4 1. Ângulos e medida em graus A figura acima mostra as medidas em graus para diversos ângulos usuais. Note que se utiliza a letra grega minúscula θ (theta) para representar tanto um ângulo como sua medida. 4

5 1. Ângulos e medida em graus Os ângulos positivos são medidos no sentido anti-horário a partir do lado inicial. Os ângulos negativos são medidos no sentido horário. Veja o exemplo acima. 5

6 1. Ângulos e medida em graus O simples conhecimento da localização dos lados inicial e terminal de um ângulo não nos permite atribuir uma medida ao ângulo. Para medir um ângulo, devemos saber como o lado terminal resolveu. A figura acima mostra que o ângulo cuja medida é -45 o tem o mesmo lado terminal que o ângulo cuja medida é o. Ângulos deste tipo são chamados coterminais.

7 1. Ângulos e medida em graus Um ângulo superior a 360 o é um ângulo cujo lado terminal fez mais de uma revolução completa no sentido anti-horário. Veja as figuras ao lado. 7

8 1. Ângulos e medida em graus Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo coterminal θ tal que 0 o θ < 360 o : (a) 450 o, (b) 750 o, (c) -160 o e (d) -390 o. Para achar um ângulo coterminal de 450 o, subtraímos 360 o θ = 450 o o = 90 o. 8

9 1. Ângulos e medida em graus Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo coterminal θ tal que 0 o θ < 360 o : (a) 450 o, (b) 750 o, (c) -160 o e (d) -390 o. Para achar um ângulo coterminal de 750 o, subtraímos 2x360 o θ = 750 o o = 30 o. 9

10 1. Ângulos e medida em graus Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo coterminal θ tal que 0 o θ < 360 o : (a) 450 o, (b) 750 o, (c) -160 o e (d) -390 o. Para achar um ângulo coterminal de -160 o, somamos 360 o θ = -160 o o = 200 o. 10

11 1. Ângulos e medida em graus Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo coterminal θ tal que 0 o θ < 360 o : (a) 450 o, (b) 750 o, (c) -160 o e (d) -390 o. Para achar um ângulo coterminal de -390 o, somamos 2x360 o θ = -390 o o = 330 o. 11

12 2. Medida em radianos Uma segunda medida de ângulos é o radiano. Para atribuir a um ângulo θ uma medida em radianos, consideramos θ como o ângulo central de um setor circular de raio 1, conforme a figura acima. Define-se então a medida de θ em radianos como o comprimento do arco do setor. 12

13 2. Medida em radianos Recorde que a circunferência de um círculo é dada por Circunferência = (2π) (raio) 13

14 2. Medida em radianos Assim, a circunferência de um círculo de raio 1 é simplesmente 2π, e podemos concluir que a medida em radianos de um ângulo de 360 o é 2π. Em outras palavras 360 o = 2π radianos, ou 180 o = π radianos 14

15 2. Medida em radianos Exemplo 2: Converta cada medida em graus em uma medida em radianos: (a) 135 o, (b) 40 o, (c) 540 o e (d) -270 o. Para converter graus em radianos, multiplicamos a medida em graus por (π radianos)/180 o. o π radianos ( a) 135 = (135 graus ) = 180 graus o π radianos ( b) 40 = (40 graus ) = 180 graus 3π radianos 4 2π 9 radianos 15

16 2. Medida em radianos Exemplo 2: Converta cada medida em graus em uma medida em radianos: (a) 135 o, (b) 40 o, (c) 540 o e (d) -270 o. Para converter graus em radianos, multiplicamos a medida em graus por (π radianos)/180 o. o π radianos ( c) 540 = (540 graus ) = 3π radianos 180 graus o π radianos ( d) 270 = ( 270 graus ) = 180 graus 3π 2 radianos 16

17 2. Medida em radianos Exemplo 3: Converta em graus cada medida dada em radianos: (a) -π/2, (b) 7π/4, (c) 11π/6 e (d) 9π/2. Para fazer a conversão de radianos para graus, multiplicamos a medida em radianos por 180 o /(π rad). ( a) π π 180 graus radianos = radianos 2 2 π radianos = 90 7π 7π 180 graus ( b) radianos = radianos 4 4 = 315 o π radianos o 17

18 2. Medida em radianos Exemplo 3: Converta em graus cada medida dada em radianos: (a) -π/2, (b) 7π/4, (c) 11π/6 e (d) 9π/2. Para fazer a conversão de radianos para graus, multiplicamos a medida em radianos por 180 o /(π rad). 11π 11π 180 graus ( c) radianos = radianos 6 6 = 330 π radianos 9π 9π 180 graus ( d) radianos = radianos 2 2 = 810 o π radianos o 18

19 3. Triângulos Resumo de Regras sobre Triângulos 1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 o. 2. A soma dos dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90 o. 3. Teorema de Pitágoras. A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. 4. Triângulos Semelhantes. Se dois triângulos são semelhantes (têm as mesmas medidas angulares), então as razões dos lados correspondentes são iguais. 19

20 3. Triângulos Resumo de Regras sobre Triângulos 5. A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura: A = (1/2)bh. 6. Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 o. 7. Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo isósceles mede 45 o. 20

21 3. Triângulos Exemplo 4: Ache a área de um triângulo equilátero cujos lados têm 1 pé de comprimento. Para aplicar a fórmula A = (1/2)bh, devemos primeiro achar a altura do triângulo. Para isto, apliquemos o Teorema de Pitágoras à porção sombreada do triângulo h + = 1 A = bh 2 2 h = A = (1) h = A = pés quadrados

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