Comprimento de Arco. 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos 3.Função Comprimento de Arco 4.Resolução de Exemplo

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Comprimento de Arco Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Comprimento de Arco 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos 3.Função Comprimento de Arco 4.Resolução de Exemplo

3 1. Introdução O que queremos dizer com o comprimento de uma curva? Podemos pensar em colocar um pedaço de barbante sobre a curva, como na figura abaixo, e então medir o comprimento do barbante com uma régua. 3

4 1. Introdução Mas isso pode ser difícil de fazer com muita precisão se tivermos uma curva complicada. Precisamos de uma definição exata para o comprimento de um arco de uma curva, da mesma maneira como desenvolvemos definições para os conceitos de área e volume. 4

5 1. Introdução Se a curva é um polígono, podemos facilmente encontrar seu comprimento; apenas somamos os comprimentos dos segmentos de reta que formam o polígono. (Podemos usar a fórmula de distância para encontrar a distância entre os extremos de cada segmento). 5

6 1. Introdução Definiremos o comprimento de uma curva geral primeiro aproximando-a por um polígono e então tomando o limite quando o número de segmentos do polígono aumenta. Esse processo é similar para o caso de um círculo, onde a circunferência é o limite dos comprimentos dos polígonos inscritos, conforme a figura a seguir. 6

7 1. Introdução 7

8 1. Introdução Agora suponha que uma curva C seja definida pela equação y = f(x), onde f é contínua e a x b. Obtemos um polígono de aproximação para C dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos com os extremos x 0, x 1,, x n e com larguras iguais a x. Se y i = f(x i ), então o ponto P i (x i, y i ) está em C e o polígono com vértices P 0, P 1,, P n, ilustrado na figura seguinte, é uma aproximação para C. 8

9 1. Introdução 9

10 1. Introdução O comprimento L de C é aproximadamente o mesmo desse polígono e a aproximação fica melhor quando n aumenta. Veja a figura a seguir, onde o arco da curva entre P i-1 e P i foi ampliado e as aproximações com sucessivos valores menores para x são mostradas. 10

11 1. Introdução 11

12 1. Introdução Portanto, definimos o comprimento L da curva C com a equação y = f(x), a x b, como o limte dos comprimentos desses polígonos inscritos (se o limite existir). L n = lim n i = 1 P P i 1 i 12

13 1. Introdução Note que o procedimento para a definição de comprimento de arco é muito similar àquele que usamos para definir a área e o volume: dividimos a curva em um grande número de partes pequenas. Então encontramos os comprimentos aproximados das partes pequenas e os somamos. Finalmente, tomamos o limite quando n. 13

14 1. Introdução A definição de comprimento de arco dada pela equação anterior não é muito conveniente para os propósitos computacionais, mas podemos derivar uma fórmula integral para L onde f tem uma derivada contínua. Essa função f é chamada suave, porque uma pequena mudança em x produz uma pequena mudança em f (x). 14

15 1. Introdução Se tomarmos y i = y i y i-1, então ( ) ( ) ( ) ( ) P P = x x + y y = x + y i 1 i i i 1 i i 1 i Considerando a existência de um número x i * entre x i-1 e x i, tal que f ( x ) f ( x ) = f ( x )( x x ) * i i 1 i i i 1 y = f x x i * ( i ) 15

16 1. Introdução Então temos 2 2 ( ) ( ) P P = x + y i 1 i i 2 * i i i ( ) 1 = + ( ) P P x f x x 2 2 ( ) 2 * Pi 1P i = 1 + f ( xi ) x * Pi 1P i = 1 + f ( xi ) x 2 16

17 1. Introdução Portanto n n * lim 1 lim 1 i i ( i ) n n i = 1 i = 1 L = P P = + f x x Assim sendo, essa expressão é igual a b a [ ] 2 L = 1 + f ( x) dx pela definição de integral definida. 2 17

18 1. Introdução Fórmula do Comprimento de Arco Se f for contínuaem[a,b],entãoocomprimento da curvay =f(x), a x b,é b a [ ] 2 L = 1 + f ( x) dx 18

19 1. Introdução Se usarmos a notação de Leibniz para as derivadas, poderemos escrever a fórmula do comprimento de arco como a seguir: L b dy = 1+ dx a 2 dx 19

20 2. Resolução de exemplos Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y 2 = x 3 entre os pontos (1, 1) e (4, 8). 20

21 2. Resolução de exemplos Para a porção superior da curva, temos ( ) ( ) y = x y = x y = x dy dx = 3 2 x

22 2. Resolução de exemplos dá e assim a fórmula do comprimento de arco dy 9 L = 1+ dx = 1+ x dx dx

23 2. Resolução de exemplos Se substituirmos 9 9 u = 1+ x du = dx 4 4 Quando 13 x = 1 u = e x = 4 u =

24 2. Resolução de exemplos Portanto L = 9 u du = 9 3 u L 13/4 8 3 ( ) 2 13 = /4 L 1 =

25 2. Resolução de exemplos Se uma curva tem a equação x=g(y), c y d e g (y) é contínua, então, pela mudança dos papéis de x e y, obtemos a seguinte fórmula para seu comprimento. d [ ] 2 dx L = 1 + g ( y) dy = 1+ dy dy c d c 2 25

26 2. Resolução de exemplos Exemplo 2: Calcule o comprimento de arco da parábola y 2 = x de (0, 0) a (1, 1). 26

27 2. Resolução de exemplos Solução: Como x = y 2, temos dx/dy = 2y. 1 1 ( ) L 1 2y dy 1 4y dy = + = + 27

28 2. Resolução de exemplos Fazendo a substituição trigonométrica y = 1 tg θ 2 que resulta em 1 sec e tg sec dy = θ dθ + y = + θ = θ 2 28

29 2. Resolução de exemplos Quando y = 0, tg θ = 0, logo θ = 0 Quando y = 1, tg θ = 2, logo θ = tg -1 2 = α. Então: α α L sec sec d sec d = = θ θ θ θ θ = 1 1 sec tg ln sec tg 2 2 θ θ + θ + θ α 0 1 = sec tg + ln sec + tg 4 ( α α α α ) 29

30 2. Resolução de exemplos Como tg α = 2, temos: Portanto 2 2 sec α = 1+ tg α secα = 5 L 1 = ln ( ) 4 L ( + ) 5 ln 5 2 =

31 2. Resolução de exemplos A figura a seguir mostra o arco de uma parábola cujo comprimento é calculado no exercício anterior, junto com as aproximações polinomiais tando n = 1 e n = 2 segmentos de reta, respectivamente. 31

32 2. Resolução de exemplos

33 2. Resolução de exemplos Para n = 1 o comprimento aproximado é L 1 = 2 = 1,414 a diagonal de um quadrado 33

34 2. Resolução de exemplos /2 1/2 34

35 2. Resolução de exemplos Para n = 2 o comprimento aproximado é L 2 = 1,445 A tabela seguinte mostra as aproximações L n que obtemos dividindo [0, 1] em n subintervalos iguais. Note que cada vez que duplicamos o número de lados do polígono nos aproximamos do comprimento exato, que é dado pela expressão L ( + ) 5 ln 5 2 = + = 1,

36 2. Resolução de exemplos n L n 1 1, , , , , , ,479 36

37 2. Resolução de exemplos Por causa da presença da raiz quadrada na fórmula do comprimento de arco, os cálculos frequentemente nos levam a integrais muito difíceis ou mesmo impossíveis de se avaliar explicitamente. Então algumas vezes temos de nos contentar em achar uma aproximação do comprimento da curva, como no exemplo a seguir. 37

38 2. Resolução de exemplos Exemplo 3: (a) Monte uma integral para o comprimento de arco de uma hipérbole xy = 1 do ponto (1, 1) ao ponto (2, 1/2). (b) Use a Regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco. 38

39 2. Resolução de exemplos (a) Temos y 1 dy 1 = = x dx x 2 e assim o comprimento do arco é dx 1 x + 1 L = 1+ dx = 1+ dx = dx dy x x

40 2. Resolução de exemplos (b) Usando a Regra de Simpson com a = 1 b = 2 n = 10 f ( x) = 1+ 1 x 4 obtemos b a L f + f + f + + f + f + f 3n [ (1) 4 (1,1) 2 (1,2) 2 (1,8) 4 (1,9) (2)] L 1,

41 3. Função comprimento de arco É útil termos uma função que mede o comprimento de arco de uma curva a partir de um ponto inicial particular até outro ponto qualquer na curva. Então, se a curva suave C tem a equação y = f(x), a x b, seja s(x) a distância ao longo de C do ponto inicial P 0 (a, f(a)) ao ponto Q (x, f(x)). Então s é uma função, chamada função comprimento de arco, dada pela fórmula abaixo. x 0 [ ] 2 s( x) = 1 + f ( x) dx 41

42 3. Função comprimento de arco Derivando a expressão anterior, obtemos: ds dx x [ ] 2 dy = 1 + f ( x) = 1+ dx 0 2 A equação anterior mostra que a taxa de variação de s em relação a x é sempre pelo menos igual a 1, e é igual a 1 quando f (x), a inclinação da curva, é 0. ds dy = 1+ dx 2 dx 42

43 3. Função comprimento de arco e essa equação é escrita algumas vezes na forma simétrica, cuja interpretação geométrica é mostrada na figura abaixo ( ds) = ( dx) + ( dy ) 43

44 4. Resolução de exemplo Exemplo 4: Determine a função comprimento de arco para a curva 2 1 y = x ln x 8 tomando P 0 (1, 1) como o ponto inicial. 44

45 4. Resolução de exemplo Solução: f ( x) = x ln x f ( x) = 2x 8 8x [ f ( x) ] = 1+ 2x 1 4x 8x = x = 4x + + = 2x x + 8x 2 2 [ f x ] 2 x 1 = 1 + ( ) = 2 + 8x 45

46 4. Resolução de exemplo por Assim, a função comprimento de arco é dada x 1 x 1 [ ] 2 s( x) = 1 + f ( x) dx = 2x + dx = x + ln x 8x 8 x = x + ln x

47 4. Resolução de exemplo Por exemplo, o comprimento de arco ao longo da curva de (1, 1) a (3, f(3)) é 2 1 ln3 s (3) = 3 + ln3 1= s(3) 8,

48 4. Resolução de exemplo A figura abaixo mostra a interpretação da função comprimento de arco do exemplo anterior. 48

49 4. Resolução de exemplo A figura abaixo mostra o gráfico de sua função comprimento de arco. Observe que s(x) é negativo quando x é menor que 1. 49