CÁLCULO I Aula 26: Área de Superfície de Revolução e Pressão

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1 CÁLCULO I Aula 26: Área de e Pressão Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 1 Área de 2

3 Uma superfície de revolução é um superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo que se situa no mesmo plano da curva. Por exemplo, a superfície de uma esfera pode ser gerada ao girar um semicírculo em torno de seu diâmetro e a superfície lateral de um cilindro pode ser gerada pela rotação de um segmento de reta em torno de um eixo paralelo a ele.

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5 Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.

6 Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.

7 Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, inserindo os pontos x 1, x 2,..., x n 1 entre a = x 0 e b = x n. Os pontos correspondentes do gráco de f denem um caminho poligonal que aproxima a curva y = f (x) acima do intervalo [a, b].

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10 Quando esse caminho poligonal gira em torno do eixo x, gera uma superfície que consiste em n partes, cada uma delas sendo um tronco de cone circular reto.

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12 Vamos tomar o k-ésimo tronco de cone com raios f (x k 1 ) e f (x k ) e altura x k.

13 Denição Se f for uma função contínua e não negativa em [a, b], então a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x é denida por: S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx.

14 Quando for conveniente, essa fórmula pode ser expressa como S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx = b a 2πy 1 + ( ) 2 dy dx dx

15 Além disso, se g for não negativa e x = g(y) for uma curva contínua em [c, d], então a área da superfície gerada quando a parte da curva x = g(y) entre y = c e y = d gira em torno do eixo y, pode ser expresso como d S = 2πg(y) d ( ) 2 dx 1 + [g (y)] 2 dy = 2πx 1 + dy dy c c

16 Exemplo Encontre a área da superfície gerada pela rotação da parte da curva y = x 3 entre 0 e 1 em torno do eixo x.

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18 Exemplo Encontre a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da parte da curva y = x 2 entre x = 1 e x = 2.

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20 Exemplo A curva y = 4 x 2, com 1 x 1, é um arco do círculo x 2 + y 2 = 4. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.

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22 Exemplo Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráco de y = x 2, de 0 a 1. 2

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24 Exemplo Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, de f (x) = sen (x), de 0 a π.

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26 Exemplo Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e x, com 0 x 1, em torno do eixo x.

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28 Denição (Pressão) Se uma força de magnitude F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo P = F A.

29 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído.

30 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad,

31 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim,

32 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad.

33 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto:

34 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgad

35 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgad em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim: P = F A = ρgd.

36 Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade d em um uido com densidade de massa ρ é dada por: P = ρgd = δd.

37 Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.

38 Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.

39 A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F.

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42 Denição Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para a x b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por F = b a ρh(x)w(x) dx.

43 Exemplo Área de A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 100 pés e extensão de 200 pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere ρ = 62, 4 lb/pé 3.

44 Exemplo Área de Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 10 pés e altura 4 pés, é imersa verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido exerce sobre a superfície da placa se a densidade do óleo for ρ = 30 lb/pé 3.