Exemplos de aplicação das leis de Newton e Conservação da Energia

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1 Exemplos de aplicação das leis de Newton e Conservação da Energia

2 O Plano inclinado m N Vimos que a força resultante sobre o bloco é dada por. F r = mg sin α i Portanto, a aceleração experimentada pelo bloco é dada por (em módulo): P α F r = mg sin α = ma a = gsenα Podemos calcular a velocidade, usando a equação do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado: v v ad 0 v g send

3 O plano inclinado Contudo, podemos expressar o seno do ângulo α em função do comprimento do plano inclinado e de sua altura: Logo: sen h d h v g send g d d v gh

4 Energia potencial gravitacional Considere uma partícula que é elevada do solo até uma altura h perto da superfície da Terra: h F Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre ele. A essa ação do agente externo chamamos de Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade constante: F P mg j O trabalho, W, neste caso, é simplesmente o produto do módulo da força pela distância percorrida sob a ação desta força: W mgh P Terra Este trabalho fica armazenado na forma de energia potencial do sistema partícula Terra: W E mgh pg

5 Energia Total A Energia Total do sistema é a soma das formas cinéticas mais potenciais. No caso de uma partícula sobre a qual atua apenas a força gravitacional: Parte cinética Parte potencial 1 E mv mgh

6 Teorema da Conservação da Energia A energia total de um sistema fechado é conservada.

7 O plano inclinado usando a conservação da energia Vamos agora usar a conservação da energia para calcular a velocidade do objeto quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso. Etapa 1 Energia no topo do plano inclinado Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial: Ei Ec Ep Ep mgh Etapa Energia na base do plano inclinado Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cinética, já que a energia potencial é nula neste ponto (h=0): 1 E f Ec Ep Ep mv

8 O plano inclinado Como não temos atrito, a energia é conservada: a energia no topo do plano inclinado deve ser igual à energia na base do plano inclinado: 1 E f Ei mv mgh v gh

9 Máquina de Atwood 8,0 kg Qual o valor da aceleração do sistema e das tensões? R. Sobre a massa de 15 kg temos duas forças agindo: a força peso, para baixo e a tensão na corda, para cima: T1 15,0 kg Fr1 T1 P1 T1 m1 g m1 a (I) P1 Sobre a massa de 8,0 kg também temos duas forças agindo: T Fr P T mg T m a (II) P Observe que as duas tensões formam um par de ação e reação: T1 = T

10 Máquina de Atwood Logo, podemos escrever: T m g m a mg T ma m g m g m a m a m m m m 1 a g a 1 9,81m/s 8,0kg 8, 0kg 15, 0kg 15,0kg a,97m/s A tensão na corda será dada por: T m g m a T m1g m1g m m 1 m m 1 m m1 m m 1 T m1g 1 m1g m m1 m m1 15kg 8kg 1 9,81m/s m m1 15kg 8kg T 191, 64N m m mm T g T

11 Diagrama de energia potencial Ep E3 Pontos de equilíbrio instável E E1 x1 x x3 x4 x5 x Pontos de equilíbrio estável

12 Diagrama de Energia E1 E x1 x x3 x4 x5 x E 00 E1

13 Altura máxima de um projétil Queremos determinar a altura máxima que um projétil pode alcançar em função do ângulo de lançamento. v Vamos usar a conservação da energia, supondo que não exista atrito com o ar. Dois pontos devem ser observados; v0 α h 1) No ponto mais alto da trajetória a velocidade na direção vertical é nula; ) A velocidade na direção horizontal é constante.

14 Altura máxima de um projétil Este é um problema que envolve as duas dimensões, x e y. Inicialmente o objeto possui somente energia cinética (definimos o zero de potencial nesta posição). Logo, a energia total será dada por: 1 1 E mv mv v 0 0 x0 y0 No ponto mais alto da trajetória, temos que a energia total será dada por: 1 1 E mv mvx vy mgh Como não temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais: 1 1 E E0 mvx0 vy0 mvx vy mgh

15 Altura máxima de um projétil Usaremos agora as duas condições anunciadas antes: Logo: v v x0 y v 0 x v v v v gh v v v gh x0 y0 x y x y0 x v v gh h h g g y0 v0 sen y0

16 Energia potencial elástica F X=0 X F F kx Constante elástica da mola Posição de máxima compressão Posição de equilíbrio Posição de máxima elongação A energia potencial elástica é dada por: Ep 1 kx A distância em relação à posição de equilíbrio de chamada de elongação.

17 Um exemplo de energia potencial elástica Uma força de 800 N estica certa mola até uma distância de 0, m. Qual é a energia potencial da mola quando ela está esticada 0, m? Qual a energia potencial da mola quando ela está comprimida de 5,0 cm? a) X=0 0, m F Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual é a constante k da mola. Para isso, vamos usar que a força aplicada é igual à força restauradora no equilíbrio: F 800N F kx k 4000N/m x 0,m Logo: E p p 1 1 N kx 4000 (0,) m m E 80 J

18 Um exemplo de energia potencial elástica Podemos calcular diretamente a energia potencial: E p E p 1 1 N kx 4000 ( 0, 05) m 5 J b) 0,05 m F X=0